用示差法和電阻法測(cè)定楊氏模量

我們知道，傳統(tǒng)的測(cè)定楊氏模量的方法中要通過光杠桿來完成被拉伸鋼絲微小變化量的放大測(cè)定。這種方法已在各大高校力學(xué)實(shí)驗(yàn)室中沿用了許久，但是它有一定的不足。比如：在使用鏡筒望遠(yuǎn)鏡的過程中，使用者的眼睛會(huì)經(jīng)受一個(gè)非常的疲勞過程；標(biāo)尺的精確度不高；所需實(shí)驗(yàn)空間大；一個(gè)人不方便完成實(shí)驗(yàn)等等?；谝陨显颍覀兿氲搅擞闷渌椒ù嬖瓉淼墓飧軛U完成對(duì)于楊氏模量的測(cè)定。

通過示差法來顯示微小變化測(cè)定楊氏模量

胡克定律指出，在彈性限度內(nèi)，彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變成正比?，F(xiàn)設(shè)有一根長(zhǎng)為；橫截面積為；直徑為的鋼絲，在外力的作用下伸長(zhǎng)了，則有：……（1）

式中的比例系數(shù)E稱為楊氏模量。

……（2）

現(xiàn)在令，則上式可變?yōu)椤?）

顯然關(guān)鍵的問題是要確定微小的長(zhǎng)度變化量。通常它是一個(gè)非常小的量。在1Kg砝碼的重力作用下，它的值小于0.1mm。只要測(cè)得相關(guān)量就可以由上式算得楊氏模量。

現(xiàn)在我們采用（如下圖）裝置同時(shí)用示差法和光杠桿法進(jìn)行楊氏模量的測(cè)量。

在鋼絲限位器處，將原來夾鋼絲用的夾子換成一個(gè)既可以夾同時(shí)又和固定支架聯(lián)系的圓柱形游標(biāo)卡尺即可完成對(duì)于長(zhǎng)度微小變化量的測(cè)定。而我們采用光杠桿和游標(biāo)卡尺同時(shí)對(duì)一鋼絲作楊氏模量作測(cè)定取得如下比對(duì)數(shù)據(jù)：

鋼絲長(zhǎng)度=0.814m（用精度1mm的測(cè)得）

光標(biāo)桿前后尖足的垂直距離=0.085m（用精度為0.02mm的游標(biāo)卡尺測(cè)得）

鋼絲直徑=0.505mm（用精度為0.01mm千分尺測(cè)得）

鏡面到標(biāo)尺的距離=1.1903m，標(biāo)尺精確度1mm；環(huán)境溫度25℃

從理論分析可知，當(dāng)使用傳統(tǒng)的光杠桿方法來測(cè)定時(shí)，所得楊氏模量的不確定度來源于鋼絲長(zhǎng)度測(cè)定，鋼絲直徑測(cè)定，光標(biāo)桿前后足尖距離的測(cè)定，反射鏡到標(biāo)尺距離的測(cè)定，以及測(cè)定形變量擬合直線時(shí)的不確定。不確定度如下：

}……(4)

它由五項(xiàng)構(gòu)成。而如果使用游標(biāo)卡尺測(cè)量，不確定為

=++……（5）

通過前表格中的各示數(shù)的計(jì)算可以知道，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于。

以下是造成這種差別的主要原因：一是用光杠桿測(cè)量時(shí)標(biāo)尺的精確度為1mm，而游標(biāo)卡尺的精確度為0.02mm；二是用光杠桿法測(cè)量時(shí)，一定要用米尺來測(cè)量反射鏡到標(biāo)尺的距離，而用示差法來測(cè)量時(shí)就避免了它。從不確定度的構(gòu)成形式來看，用光杠桿測(cè)定楊氏模量時(shí)，不確定的表達(dá)式（4）要比用游標(biāo)卡尺測(cè)量時(shí)的不確定度（5）多兩項(xiàng)。所以，用游標(biāo)卡尺來測(cè)量楊氏模量能提高測(cè)量的精確度，使不確定度減小，且減小了測(cè)量時(shí)的所需空間，更便于測(cè)量者的操作。

實(shí)驗(yàn)開始前掛鋼絲時(shí)一定要將游標(biāo)尺的兩零線調(diào)節(jié)對(duì)齊，如果未對(duì)齊則讀數(shù)與沒有掛重物時(shí)相減才是實(shí)際伸長(zhǎng)量。另外所制游標(biāo)卡尺的圓柱形游標(biāo)尺半徑和限位孔半徑不能相差太大或太小，最好相差0.5mm。這樣在做實(shí)驗(yàn)時(shí)只要先調(diào)平底座，即可順利完成實(shí)驗(yàn)。

通過測(cè)量電阻來完成對(duì)于楊氏模量的測(cè)量

現(xiàn)設(shè)有一根長(zhǎng)為；電阻率為；橫截面積為；直徑為的鋼絲，在外力的作用下伸長(zhǎng)了，則有：……（1）

對(duì)于此導(dǎo)體而言，它的電阻由電阻定律可知，與導(dǎo)線的長(zhǎng)度成正比而與導(dǎo)線的橫截面積成反比。即：……（2）

將上式右端上下同乘以則有：……（3）

作變形有……（3.1）

將上式兩端作微分計(jì)算有：……（4）

現(xiàn)在將（4）式兩端同時(shí)除以可得

再將（3.1）代入上式得：……（4.1）

現(xiàn)在將（4.1）式代入（1）式中，并整理后得出……（5）

令則有：……（6）

利用（6）式即可測(cè)定出金屬絲的楊氏模量。

[實(shí)驗(yàn)儀器和用具]：鋼絲掛架（可使用楊氏模量測(cè)定儀架），螺旋測(cè)微器（測(cè)鋼絲直徑用），卷尺（測(cè)鋼絲長(zhǎng)度用），穩(wěn)壓源（010伏可調(diào)），鋼絲（長(zhǎng)于1米），砝碼（等質(zhì)量的五個(gè)），最小倍率為的電橋（如沒有，則可用傳感器來完成）；標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)線若干（保證長(zhǎng)度）。依據(jù)下圖安裝并作相應(yīng)的測(cè)量。

[實(shí)驗(yàn)過程]：將實(shí)驗(yàn)儀器按前圖安裝。注意將兩夾線夾子在金屬絲的接觸要緊密。

打開電源，觀察電源電壓，觀察平衡指針是否指零。穩(wěn)

定后即可調(diào)節(jié)電橋的比較臂到0.0001倍，然后調(diào)節(jié)比較臂的電阻值，按下“B”與“G”，觀察平衡指針，直到指針指零。記錄此時(shí)的電阻值=0.0001，其中是比較臂的電阻之和。然后再次緩慢加砝碼，再次記錄……

不確定度的來源主要有以下幾個(gè)方面。一是由于鋼絲直徑用千分尺測(cè)定時(shí)產(chǎn)生的，二是由于多次測(cè)量電阻而產(chǎn)生的。因此分別算得而合成即可。

……（7）

實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)：實(shí)驗(yàn)中一定要注意不能將導(dǎo)線晃動(dòng)，這樣易引起電阻變化的不穩(wěn)定。其次應(yīng)當(dāng)在使用電橋時(shí)每一次都先將“B”按鈕按下幾秒后再按“G”按鈕。每次加減砝碼一定要輕拿輕放。為了避免加碼過多引起的非彈性形變，我們可以采用只放四個(gè)砝碼循環(huán)加減砝碼來得到多組數(shù)據(jù)。

[結(jié)論]應(yīng)用示差法和測(cè)量電阻的變化來測(cè)定楊氏模量可以避免眼睛長(zhǎng)時(shí)間對(duì)鏡筒的觀察而帶來的視力傷害。而且比傳統(tǒng)的光杠桿法更易操作，因此整個(gè)裝置可以更集中。

[致謝]在完成本論文的過程中得到舒國浩老師的大力支持和幫助，在此表示衷心的感謝。

[1]楊述武.普通物理實(shí)驗(yàn)[J].

[2]邱關(guān)源.電路[J].

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。