一道題的錯解引發(fā)的思考

陳春芳

江蘇省錫山高級中學(xué) (214174)

一、案例

下面的解析幾何題是我校高三的一次測試中的填空題，在講評課上我按照自己的解法講解了 ，當(dāng)時沒有發(fā)現(xiàn)問題，也沒有學(xué)生表示異議，事隔幾天后，一位學(xué)生拿著試卷來問我這道題 目.當(dāng)時我還有點不耐煩地說，不是上課已經(jīng)講評過了嗎?沒聽懂?這位學(xué)生說，你的解法我 聽懂了，但是我的解法跟你的解法不一樣，得出來的結(jié)果也不同，我覺得我做的也是對的. 下面我們一起來看一下這道題的兩種不同解法.

題目 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F恰好是雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F，則該雙曲線的離心率為 .

1.教師的解法

解：如圖1所示，設(shè)拋物線與雙曲線的兩個交點分別為A、B，則由題意可知x瑼=x瑽=c，又∵拋物線的焦點F是雙曲線的右焦點，∴p2=c，即p=2c.∵點A在拋物線上，∴將x瑼=c代入y2=2px，得y瑼=2c,得點A(c,2c)，將之代入x2a2-y2b2=1，得c2a2-4c2b2=1.∴b2c2-4a2c2=a2b2,將b2=c2-a2,代入整理得a4-6a2c2+c4=0.兩邊同時除以a4得e4-6e2+1=0,∴e2=3±22.∵e>1,∴e2=3+22，即e=1+2.

2.學(xué)生的解法

解：∵拋物線的焦點F是雙曲線的右焦點，∴p2=c，即p=2c.聯(lián)立y2=2px,

x2a2-y2b2=1,消去y得b2x2-4a2cx-a2b2=0,∵拋物線與雙曲線有兩個交點，不妨設(shè)為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程b2x2-4a2cx-a2b2=0的兩根，∴x1+x2=4a2cb2,∵兩條曲線交點的連線過焦點F，∴x1=x2=2a2cb2,又x1=x2=x璅=c,∴2a2cb2=c,即2a2=b2.將b2=c2-a2，代入上式得3a2=c2,∴e=3.

3.究竟錯在哪里?

不同的解法得出了不一樣的結(jié)果，難道是題目錯了?帶著疑問我對兩種解法進(jìn)行了剖析.第一種解法是根據(jù)A是兩曲線的交點，利用點在曲線上，用字母表示出交點的坐標(biāo)，從而得出了離心率的值.而第二種解法是根據(jù)交點坐標(biāo)即為方程組的解，然后運(yùn)用韋達(dá)定理將根的關(guān)系轉(zhuǎn)化成系數(shù)之間的關(guān)系從而得出了離心率的值.在這兩種解法中交點的坐標(biāo)的求法不同，難道問題就出在這里?但是哪一種解法不對呢?是什么原因呢?只有回到具體的解題過程中才能找到問題的所在.

我們就第二種解法進(jìn)行分析，這里采用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即韋達(dá)定理，但是我們熟知韋達(dá)定理的完整內(nèi)容是x1+x2=-ba,獂1?x2=ca(其中a,b,c是方程ax2+bx+c=0的系數(shù)).而在此解答過程中只用到x1+x2=-ba，那么我們再看看x1?x2=-a2，看起來這個等式對于本題的解答無關(guān)緊要，但是我們仔細(xì)分析將發(fā)現(xiàn)問題的所在.我們再看原題，A、B兩點是拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線x2a2-y2b2=1圖像的兩個交點，我們借助圖形來分析，拋物線位于y軸的右側(cè)，即兩個交點均在y軸的右側(cè)，那么它們的橫坐標(biāo)應(yīng)該滿足x1>0,x2>0，這與x1?x2=-a2<0矛盾.而在學(xué)生的解法中，她錯誤地認(rèn)為兩根都是正根.當(dāng)時，我沒有就她的解法深入地研究下去，只是粗略地分析了一下，而且還對她說第二種解法是錯誤的，這道題目不能這么解.

4.學(xué)生的解法能否改進(jìn)?

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題.既然這道題目沒有問題，那么從代數(shù)的角度也能夠有解決該問題的方法.學(xué)生的解法是代數(shù)的方法，應(yīng)該也能夠解決該幾何問題.于是，我就研究了第二種方法錯誤的原因，從而得出了如下正確的解法.

解：∵拋物線的焦點F是雙曲線的右焦點，∴p2=c，即p=2c.聯(lián)立y2=2px

x2a2-y2b2=1消去y得b2x2-4a2cx-a2b2=0.設(shè)x1,x2是方程b2x2-4a2cx-a2b2=0的兩根，則x1+x2=4a2cb2,

x1?x2=-a2,由此可知方程有一正根一負(fù)根.

∵拋物線與雙曲線有且只有兩個不同的交點，則方程b2x2-4a2cx-a2b2=0有且只有一個正根滿足題意，另一個負(fù)根必為增根.不妨設(shè)x1>0,由題意可設(shè)A(x1,y1),B(x1,y2)，則x1=x璅=c.將x1=c代入方程b2x2-4a2cx-a2b2=0可得，b2c2-4a2c2-a2b2=0.將b2=c2-a2代入整理得a4-6a2c2+c4=0,兩邊同時除以a4得e4-6e2+1=0,∴e2=3±22，∵e>1,∴e2=3+22，即e=1+2.

二、思考

1.學(xué)習(xí)過程中我們可以采用類比的方法，但不能照搬

學(xué)生提供的解法錯誤的原因是什么呢?根據(jù)方程研究直線與直線、直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是平面解析幾何的重要內(nèi)容，求交點的方法也都可以通過聯(lián)立方程組，方程組的解即為交點坐標(biāo).對于直線與曲線的交點問題，我們通常通過建立方程組ax+by+c=0(1)

Ax2+By2+C=0(2)消元得到方程Dx2+Ex+F=0(*).如果方程(*)無解，則直線與曲線無交點，如果方程(*)有唯一的解，則直線與曲線有且只有一個交點，如果方程(*)有兩個不等的實數(shù)解，則直線與曲線有兩個交點.原方程組解的個數(shù)與方程(*)解的個數(shù)相同.但是這個結(jié)論在本題中不能套用，拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線x2a2-y2b2=1的交點問題仍然可以聯(lián)立方程組y2=2px(3)

x2a2-y2b2=1(4)消去y得b2x2-2a2px-a2b2=0(**).如果方程(**)無實根，則原方程組無解，如果方程(**)有一個正根，將之代入(3)或(4)都可以得到兩個根，也就是原方程組有兩組解，對應(yīng)的拋物線與雙曲線有兩個交點.如果方程(**)有一個負(fù)根，則代入(3)可知這個根不滿足原方程組，這就是本題中導(dǎo)致第二種解法錯誤的原因.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)有兩種對象結(jié)構(gòu)特征相似時，不加以深思，就進(jìn)行類比，盲目地把解法照搬，這樣得出的結(jié)果常常是牽強(qiáng)附會的，有時還會是錯誤的.

2.由“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化一定要等價，不能顧此失彼

我們常將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，處理代數(shù)問題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題.這種思想貫穿于平面解析幾何的始終，但是在“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化的過程中應(yīng)遵循等價 性原則.

下面舉例簡要說明.

例1 已知拋物線y2=6x與圓(x-a)2+y2=4沒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：根據(jù)題意畫出示意圖，由圖2可知當(dāng)圓位于y軸左側(cè)，容易得到a<-2時滿足沒有公共點條件，但是當(dāng)圓位于y軸右側(cè)時很難從“形”的角度分析出臨界位置，因此需要從“數(shù)”的角度進(jìn)行精確分析，正所謂“形缺數(shù)時難入微”.

解：聯(lián)立方程組y2=6x,

(x-a)2+y2=4,消去y得x2+(6-2a)x+a2-4=0(***) ∵拋物線與圓沒有公共點，∴方程(***)無非負(fù)實根，即方程(***)無實根或者有兩個負(fù)實根，∴△<0或△≥0，

x1+x2=2a-6<0,

x1?x2=a2-4>0,∴a<-2或a>2.

上述解法是用代數(shù)的方法處理了幾何問題，但是在將兩條曲線無交點的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的過程中往往易出現(xiàn)錯誤.例如容易轉(zhuǎn)化為方程(***)無實根，這種錯誤解法產(chǎn)生的原因是忽略了拋物線y2=6x中隱含的條件“x≥0”，從而得到的結(jié)論與原來的命題不等價.

3.注意“數(shù)形結(jié)合”在解析幾何中的應(yīng)用，不可“純代數(shù)化”

解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，但是要注意代數(shù)與幾何的相互作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的結(jié)合.借助數(shù)形結(jié)合可以克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性，增加數(shù)學(xué)語言和符號的直觀性.實際上，首先應(yīng)該明確面臨的幾何問題是什么，然后才能用代數(shù)方法研究之.所以，一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理、論證和求解”.如果過多地把注意力集中在代數(shù)角度研究，雖然能達(dá)到細(xì)致入微的境界，但是沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質(zhì)，有時甚至?xí)?dǎo)致解題變得更繁瑣.因此解決解析幾何的問題時一定要注意數(shù)形結(jié)合，選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?

例2 若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓x24+y2m=1總有公共點，求m的取值范圍.這是一道作業(yè)題，當(dāng)時近半數(shù)同學(xué)的解答過程是這樣的：

解：聯(lián)立方程組y=kx+1,

x24+y2m=1,消去y得(14+k2m)x2+2kmx+1m-1=0(****)，若直線與橢圓總有公共點，則不論實數(shù)k取何值，方程(****)在x∈［-2，2］時總有解，這個代數(shù)問題既涉及了恒成立問題，又涉及了閉區(qū)間上有解的問題，這是高中數(shù)學(xué)的難點，幾乎大部分學(xué)生都是束手無策，本解法只能就此擱淺.

這些學(xué)生基本上是套用現(xiàn)成的結(jié)論，曲線無公共點即聯(lián)立曲線方程應(yīng)該無解，而他們忽略了本題是含有參數(shù)的問題，如果從數(shù)的角度思考，難度無形中就增加了很多.解決解析幾何問題，分析圖形特征仍是首要的任務(wù).本題只需要畫出圖形，如圖3，直線盡管不是確定的，但是這些直線是過定點(0，1)，當(dāng)直線的位置發(fā)生變化時，只要保證定點(0，1)在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓總會有公共點，也就是只要024+12m<1,同時由于橢圓焦點在x軸上，所以m<4，最后解得正確答案1≤m<4.

很多學(xué)生在討論解析幾何問題時，沒有畫圖的習(xí)慣，完全變成了代數(shù)的恒等變換，這樣做不好.解析幾何是研究圖形的學(xué)科，“圖”在解析幾何研究中發(fā)揮著很重要的作用，它可以幫助我們確定解題的方向.教師在解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，促進(jìn)“數(shù)形結(jié)合”思想的逐步形成.

4.注重“同伴互助”，促進(jìn)師生共同進(jìn)步

同伴互助是在強(qiáng)調(diào)自我反思的同時，開放自己，主動與教學(xué)伙伴進(jìn)行合作性的切磋和討價還價式的探討，共同探究問題，共同分享經(jīng)驗.在新課程中更應(yīng)強(qiáng)調(diào)同伴互助和合作，師生之間應(yīng)建立積極的伙伴關(guān)系，建立一種新的促進(jìn)師生合作、發(fā)展的教育文化，形成寬松的環(huán)境和開放的氛圍，加強(qiáng)師生之間教學(xué)、學(xué)習(xí)活動中的交流與對話、溝通、協(xié)作、合作，使不同的理念、思想在不斷的交流與沖突中升華.教師要時時積極準(zhǔn)備參與學(xué)生的競爭，這對教師提出了極高的要求，甚至是極嚴(yán)峻的考驗.學(xué)生不盲從長者，不迷信權(quán)威，這標(biāo)志著時代的進(jìn)步，也是我們教育的成功.