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    一個(gè)特殊四維左對(duì)稱(chēng)代數(shù)上的Rota睟axter算子

    2021-10-18 09:44丁夢(mèng)菲侯冬平李黎明
    科技風(fēng) 2021年28期
    關(guān)鍵詞:算子同理線性

    丁夢(mèng)菲 侯冬平 李黎明

    摘?要:RotaBaxter算子的產(chǎn)生源于對(duì)某一類(lèi)分析和組合問(wèn)題的研究,后來(lái)被廣泛用于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的許多領(lǐng)域。本文對(duì)一類(lèi)四維復(fù)的冪零左對(duì)稱(chēng)代數(shù)上的RotaBaxter算子進(jìn)行了研究,給出了這類(lèi)代數(shù)上的所有權(quán)為零的RotaBaxter算子,并以這些算子為基礎(chǔ)構(gòu)造出一系列的左對(duì)稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)。

    關(guān)鍵詞:RotaBaxter算子;左對(duì)稱(chēng)代數(shù);李代數(shù)

    中圖分類(lèi)號(hào):0152??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    RotaBaxter?Operators?on?a?Four?Dimensional?Leftsymmetric?Algebra

    Ding?Mengfei?Hou?Dongping?Li?Liming

    College?of?Mathematics?Yunnan?Normal?University?YunnanKunming?650500

    Abstract:RotaBaxter?algebras?were?introduced?to?solve?some?analytic?and?combinatorial?problems?and?have?appeared?in?many?fields?in?mathematics?and?mathematical?physics.In?this?paper,we?give?all?RotaBaxter?operators?of?weight?zero?on?a?four?dimensional?leftsymmetric?algebra.Moreover,interesting?leftsymmetric?algebra?series?are?obtained?from?the?RotaBaxter?operators.

    Keywords:RotaBaxter?operators;Leftsymmetric?algebras;Lie?algebras

    1?緒論

    RotaBaxter算子最早是由G.Baxter在解決一個(gè)分析問(wèn)題的過(guò)程中提出來(lái)的[1]。此后,很快被應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域,如組合數(shù)學(xué)[23],標(biāo)準(zhǔn)shuffle關(guān)系的一種推廣[4]。在最初的一段時(shí)間里,人們主要研究結(jié)合代數(shù)上的RotaBaxter算子,即RotaBaxter代數(shù)。隨著研究的深入,RotaBaxter算子很快被推廣到其他代數(shù)體系上,如李代數(shù),左對(duì)稱(chēng)代數(shù)[5]。李代數(shù)上的權(quán)為0的RotaBaxter算子恰好給出經(jīng)典YangBaxter方程的變形的算子形式[5]。

    左對(duì)稱(chēng)代數(shù)(也稱(chēng)為預(yù)李代數(shù)),是一類(lèi)非常重要的非結(jié)合代數(shù)。左對(duì)稱(chēng)代數(shù)與很多數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)物理的許多領(lǐng)域都有密切的關(guān)系,如仿射流形[6]、李群上的仿射結(jié)構(gòu)[7]、李代數(shù)[8]、經(jīng)典和量子的YangBaxter方程[910]、量子場(chǎng)論[11]等。文獻(xiàn)[12]中,給出所有復(fù)數(shù)域上的2維左對(duì)稱(chēng)代數(shù)和部分3維的左對(duì)稱(chēng)代數(shù)上的權(quán)為0的RotaBaxter算子。然而,對(duì)于更高維數(shù)的左對(duì)稱(chēng)代數(shù)上的RotaBaxter算子,還知之甚少。

    在文獻(xiàn)[13]中,給出了四維偽黎曼左對(duì)稱(chēng)代數(shù)的分類(lèi),本文其中一類(lèi)4維非對(duì)稱(chēng)無(wú)平移的冪零左對(duì)稱(chēng)代數(shù)A0,設(shè)e1,e2,e3,e4為它的一組基,則:

    A0=0000000000000e10-e3

    其中矩陣的i,j元為ei與ej的乘積。

    本篇論文中,我們主要給出四維復(fù)左對(duì)稱(chēng)代數(shù)A0上的所有權(quán)為0的RotaBaxter算子。并且以這些得到的RotaBaxter算子為基礎(chǔ),構(gòu)造出一系列左對(duì)稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)。

    2?基本概念

    定義2.1?設(shè)g是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間,在g中定義雙線性乘法:(x,y)→[x,y],滿(mǎn)足等式:

    [x,y]=-[y,x](2.1)

    [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0(2.2)

    其中x,y,z∈g,則稱(chēng)g是一個(gè)李代數(shù)。

    定義2.2?設(shè)A是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間,在A中定義雙線性乘法:

    (x,y)→x·y

    滿(mǎn)足等式:

    (x,y,z)=(y,x,z),x,y,z∈A(2.3)

    其中(x,y,z)=(x·y)·z-x·(y·z),也稱(chēng)為結(jié)合子,則稱(chēng)A是一個(gè)左對(duì)稱(chēng)代數(shù)或預(yù)李代數(shù)。此時(shí),定義李括號(hào):

    [x,y]=xy-yx,x,y∈A(2.4)

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