3-李-Rinehart代數(shù)的結(jié)構(gòu)

白瑞蒲 李曉娟

摘要：定義了一類新的3元代數(shù)結(jié)構(gòu)——3-李-Rinehart代數(shù)，并對3-李-Rinehart代數(shù)的基本結(jié)構(gòu)進行了研究，用3元任意次可微函數(shù)、已知的3-李代數(shù)的模及3-李代數(shù)的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)分別構(gòu)造了3-李- Rinehart代數(shù)及李-Rinehart代數(shù).

關(guān)鍵詞：3-李代數(shù);交換結(jié)合代數(shù);3-李-Rinehart代數(shù)

中圖分類號：O152.5文獻標志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.002

The structure of 3-Lie-Rinehart algebras

BAI Ruipu1，2，LI Xiaojuan1，2

（1. College of Mathematics and Information Science，Hebei University，Baoding Hebei 071002. China;

2. Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence of Hebei Province）Baoding Hebei 071002，China）

Abstract：In this paper，we introduce a class of 3-ary algebras，called the 3-Lie-Rinehart algebra，and we discuss the basic structure thereof. The 3-Lie-Rinehart algebras are constructed using 3-ary differentiable functions，modules of known 3-Lie algebras，and inner derivatives of 3-Lie algebras.

Keywords：3-Lie algebra;commutative associative algebra;3-Lie-Rinehart algebra

0引言

1953年，Herz在文獻[1]中提到了一類二元代數(shù)，且Palais和Rinehart在文獻[2-3]中對這類代數(shù)的結(jié)構(gòu)做了進一步研究.1997年，Huebschmann將這類代數(shù)定義為李-Rinehart代數(shù)[4]，并對李- Rinehart代數(shù)在李代數(shù)胚上的作用進行「研究[5-7].2016年，Mandal等定義了Hom-李-Rinehart代數(shù)[8]，并研究了Hom-李-Rinehart代數(shù)的低維擴張問題.2018年，Castiglioni等在文獻[9]中研究了李- Rinehart代數(shù)的泛中心擴張，并將非交換張量積與泛中心擴張緊密結(jié)合起來.

3-李代數(shù)的研究受到人們的廣泛關(guān)注.3-李代數(shù)在幾何、物理等方面都發(fā)揮了重要作用. Yang- Baxter方程的解與局部上循環(huán)3-李雙代數(shù)、Pre-3-李代數(shù)、3-李代數(shù)的Rota-Baxter算子存在密切關(guān)系[10-12].著名的Bagger-Lambert-Gustavsson代數(shù)模型就是基于實數(shù)域上3-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)，3-李代數(shù)在膜和弦理論中被廣泛應(yīng)用[13-15].本文要將交換結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)、3-李代數(shù)結(jié)構(gòu)、3-李代數(shù)的模結(jié)構(gòu)以及交換代數(shù)的模結(jié)構(gòu)結(jié)合在一起，并利用交換結(jié)合代數(shù)的導(dǎo)子給出模之間的相容性條件，定義一類新的3元代數(shù)結(jié)構(gòu)——3-李-Rinehart代數(shù)，并對3-李-Rinehart代數(shù)的基本結(jié)構(gòu)進行研究.利用實數(shù)域上3元任意次可微函數(shù)空間及已知的3-李代數(shù)的內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)分別構(gòu)造3-李-Rinehart代數(shù)及李- Rinehart代數(shù).

除非特別聲明，文章所討論的代數(shù)和向量空間的基域F的特征為零，用A表示F上的交換結(jié)合代數(shù)，V表示F上的向量空間，對，記<S>為S在V中張成的子空間，R是實數(shù)域.

13-李-Rinehart代數(shù)的基本結(jié)構(gòu)

3-李代數(shù)[16]L是具有線性運算[，，]：L→L的向量空間，滿足：?x，x，x，y，y∈L，

[[x，x，x]，y，y]=[[x，y，y]，x，x]+[[x，y，y]，x，x]+[[x，y，y]，x，x].（1）

設(shè)L是F上的3-李代數(shù)，如果F-線性映射D：L→L滿足：?x，y，z∈L，

D[x，y，z]=[Dx，y，z]+[x，Dy，z]+[x，y，Dz]，

則稱D是L的導(dǎo)子[16]，L的導(dǎo)子全體記為Der（L）.

由式（1），對于x，y∈L，左乘映射adx，y：L→L，adx，y（z）=[x，y，z]，及其線性組合是導(dǎo)子[16]，稱為內(nèi)導(dǎo)子，且滿足：?x，x，y，y∈L，.內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)記為ad（L）.

如果F-線性映射滿足：?xi∈L，1≤i≤4，

[ρ（x，x），ρ（x，x）]=ρ（[x，x，x]，x）-ρ（[x，x，x]，x），（2）

ρ（[x，x，x]，x）=ρ（x，x）ρ（x，x）+ρ（x，x）ρ（x，x）+ρ（x，x）ρ（x，x），（3）

則稱（V，ρ）是3-李代數(shù)L的表示，簡稱（V，ρ）為L-模[17].子空間稱作ρ的核.

由式（1）可知，（L，ad）是3-李代數(shù)L的表示，稱作3-李代數(shù)L的正則表示，其中，ad（x，y）=adx，y，且是3-李代數(shù)L的中心.

設(shè)G是F上的李代數(shù)，A是交換結(jié)合代數(shù)，（A，ρ）是滿足的G一模，G是4一模，且滿足[x，az]=a[x，z]+（ρ（x）a）z，ρ（ax）=aρ（x），?x，z∈G，a∈A，則稱（G，ρ）為李-Rinehart 代數(shù)[18].若ρ=0，則G叫作李A(yù)-代數(shù).

定義1設(shè)A是交換結(jié)合代數(shù)，3-李代數(shù)L是A-模，（A，ρ）是滿足的L-模，如果

[x，y，az]=a[x，y，z]+（ρ（x，y）a）z，?x，y，z∈L，a∈A，（4）

則稱（L，A，ρ）為弱3-李-Rinehart代數(shù).進一步規(guī)定：

1）若ρ是A-模同態(tài)，則稱（L，A，ρ）為3-李-Rinehart代數(shù)，即

ρ（ax，y）=ρ（x，ay）=aρ（x，y），?x，y∈L，a∈A.（5）

2）若ρ=0，則稱（L，A）為3-李A(yù)-代數(shù).

由定義1可得，如果S是3-李代數(shù)L的子代數(shù)，并且對?a∈A，x∈S，有ax∈S，則是3-李-Rinehart代數(shù)，稱為3-李-Rinehart代數(shù)（L，，A，ρ）的子代數(shù).

如果I是3-李代數(shù)L的理想，并且對?a∈A，x∈I滿足ax∈I，則稱為3-李-Rinehart代數(shù)（L，A，ρ）的次理想.進一步，若ρ（I，L）=0，則（I，A）是3-李A(yù)-代數(shù)，稱為3-李- Rinehart代數(shù)的理想.

對于3-李-Rinehart代數(shù)（L，A，ρ），記

，，

分別為A關(guān)于L的零化子和L關(guān)于ρ的中心.由式（4）可得，Zρ（L）為（L，A，ρ）的理想.

定理1設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，則rya，b∈A，xW ￡J W」W 5 ，下列等式成立：

證明應(yīng)用式（1）-式⑸進行計算可得結(jié)論，過程省略.證畢.

定理2設(shè)I和K是3-李-Rinehart代數(shù)（L，A，ρ）的理想，則有

1）是3-李-Rinehart代數(shù)，其中，

2）I+K和I∩K是（L，A，ρ）的理想.

3）Z（L）是3-李-Rinehart代數(shù)（L，A，ρ）的理想，并且Z（A）是A的理想.

證明結(jié)論2）和結(jié)論3）可由定義直接推得.因為ρ（I，L）=0，所以，按上述定義的有意義，且?x∈L，1≤i≤4，b∈A，有

因此，是3-李-Rinehart代數(shù)，得到結(jié)論1）.證畢.

定義2設(shè)（L，A，ρ）和（L′，A，ρ′）是3-李-Rinehart代數(shù)，f：L→L′是3-李代數(shù)同態(tài).如果f滿足：

f（ax）=af（x），ρ′（f（x），f（y））=ρ（x，y），?a∈A、x，y∈L，（10）

則稱f為3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài).進一步地，如果f是雙射，則稱f是同構(gòu)映射;如果f是滿射，并且，則稱f為中心滿同態(tài).

定理3設(shè)（L，A，ρ）和（L′，A，ρ′）是3-李-Rinehart代數(shù)，f：L→L′是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài).則下列結(jié)論成立：

1）是3-李-Rinehart代數(shù)（L，A，ρ）的理想.

2）是（L′，A，ρ′）的子代數(shù)，且同構(gòu)于商代數(shù).

3）（L，A，ρ）中包含Ker（f）的子代數(shù)與的子代數(shù)一一對應(yīng)，且理想對應(yīng)著理想.

證明直接應(yīng)用定義1和定義2可得結(jié)論.證畢.

23-李-Rinehart代數(shù)的構(gòu)造

定理4設(shè)是實數(shù)域上的3元任意次可微函數(shù)構(gòu)成的向量空間，A=L（作為向量空間）按照函數(shù)的通常乘法構(gòu)成的交換結(jié)合代數(shù)，并且對?f（x，y，z），g（x，y，z），h（x，y，z）∈L，a（x，y，x）∈A，有，，

則（L，A，ρ）是弱3-李-Rinehart代數(shù)，但不是3-李-Rinehart代數(shù).

證明由文獻[10]可知L按照式（11）定義的運算構(gòu)成3-李代數(shù)，且是A-模.對?f，g，h，d∈L，a，b∈A，有，ρ（f，g）（ab）=aρ（f，g）（b）+bρ（f，g）（a），所以ρ（f，g）∈Der（A），

所以（A，ρ）是3-李代數(shù)L-模，且（L，A，ρ）是弱3-李-Rinehart代數(shù).

因為對s=x∈A，f=x，g=y，h∈L，有，得（L，A，ρ）不是3-李-Rinehart代數(shù).證畢.

定理5設(shè)是實數(shù)域上的交換結(jié)合代數(shù)，

則T按照式（11）定義的運算構(gòu)成3-李代數(shù)，且（T，B，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù).

證明進行簡單計算可知，T是定理4中3-李代數(shù)的子代數(shù)，B是交換結(jié)合代數(shù)A的子代數(shù)，由定義1可知，（T，B，ρ）是弱3-李-Rinehart代數(shù).再由式（11）直接計算可知，對?u，v∈T，a，b∈B，有ρ（au，v）（b）=ρ（u，av）（b）=aρ（u，v）（b），因此，ρ是A-模同態(tài).所以，（T，B，ρ）是3- 李-Rinehart代數(shù).證畢.

下面從已知的3-李-Rinehart代數(shù)（L，A，ρ）出發(fā)來構(gòu)造新的3-李-Rinehart代數(shù).

定理6設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，，則（M，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，其中?x，x，x∈L，a，a，a，

證明由式（6）—式⑼可知，M按照式（13）定義的運算構(gòu)成3-李代數(shù)，且M按照A的自然作用是是-模.由式（2）、式（3）和式（13），?x∈L，a，b∈A，1≤i≤4，有

所以，（A，ρ）是3-李代數(shù)M-模.由式（12）和式（14），得到

因此，（M，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù).證畢.

定理7設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，.則E按式（15）構(gòu)成A-模，且是3-李-Rinehart代數(shù)，其中?a，b，c∈A，x，y，z∈L，，

證明由式（15）可知E是A-模，且由式（16）定義的3元線性乘法是斜對稱的.再由式（8）得到

所以，式（1）成立.因此，E是3-李代數(shù).

由式（17）可得，.對?x∈L，a∈A，1≤i≤4，有

得到式（2）成立，且是E-模.再由式（16）可得

所以式（4）成立.再由式（17）可知式（5）成立，因而是3-李-Rinehart代數(shù).證畢.

設(shè)L是3-李代數(shù)，線性空間L∧L上的運算[x∧y，u∧v]=[x，y，z]∧v+u∧[x，y，z]不具有反對稱性，因此，L∧L按照上述運算不構(gòu)成李代數(shù).為此，令J是由張成的L∧L的子空間.在商空間中定義

由式（1）可知，由式（18）規(guī)定的運算滿足李代數(shù)的Jacobi等式.再由式（1），?x，y，u，v，z∈L，有

得到.所以，（（L∧L）/J，[，]）構(gòu)成李代數(shù).

設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù).?x，y∈L，若[x，y，L]=0，則由式（4），?a∈A，z∈L，有（ρ（x，y）a）z=[x，y，az]-a[x，y，z]=0.得到ρ（x，y）（A）L=0.因此，可定義線性映射

直接計算可知，（A，ρ）是李代數(shù)（L∧L）/J-模.

為方便起見，在下面的討論中，將李代數(shù)（（L∧L）/J，[，]）簡記為L∧L，并且?x，y∈L，簡記為x∧y，式（18）可簡寫為

定理8?&nbsp;? 設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，則（L∧L，ρ）是李-Rinehart代數(shù)，其中

證明根據(jù)定義1，式（19）和式（20），?b，b′∈A，x，y，z∈L，有

因此，L∧L是A-模.根據(jù)式（21），?x，x，y，y∈L，b∈A，有

并且ρ（b·（x∧y））=b·ρ（x∧y）.因此，（A，ρ）是李代數(shù)L∧L-模.由式（4）、式（19）和式（20），?x，x，y，y∈L，b∈A，有

因此，（L∧L，ρ）是李-Rinehart代數(shù).證畢.

設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，A）是3-李A(yù)-代數(shù)，且由定理8可得，（L∧L，ρ）是李-Rinehart代數(shù).定義的子空間W（L，R，A）如下：

定理9設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，A）是3-李A(yù)-代數(shù)，則（W（L，R，A），ρ）是李- Rinehart代數(shù)，其運算定義為

其中，.

證明由式（20）和式（22）可知，W（L，R，A）按式（23）定義的運算構(gòu)成A-模.

根據(jù)定理8，W（L，R，A）按運算（25）構(gòu)成李代數(shù).由式（24），，有

所以（A，ρ）是李代數(shù)W（L，R，A）-模，并且.又由式（22）和式（25），?b∈A，.因此，（W（L，R，A），ρ）是李-Rinehart代數(shù).證畢.

33-李-Rinehart代數(shù)在3-李A(yù)-代數(shù)上的作用

定義3設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，A）是3-李A(yù)-代數(shù)，β：L∧L→Der（R）是-線性映射.如果β和R滿足：

（1）（R，β）是3-李代數(shù)L-模;

（2）β（ax，y）=β（x，ay）=aβ（x，y），?a∈A，x，y∈L;

（3）β（x，y）（ar）=aβ（x，y）r+ρ（x，y）（a）r，?a∈A，r∈R，x，y∈L.

則稱β是（L，A，ρ）在（R，A）上的作用.進一步地，如果R是Abel的，即[R，R，R]=0，則稱（R，β）是3-李- Rinehart代數(shù)（L，A，ρ）-模.

定義4設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，A）和（R，A）是Abel 3-李A(yù)-代數(shù)，并且（R，β），（R，β）是（L，A，ρ）-模.若A-模同態(tài)f：R→R滿足：

則稱f是從（R，β）到（R，β）的3-李-Rinehart模同態(tài).

定理10設(shè)（L，A，ρ）和（L′，A，ρ′）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，A）是Abel 3-李A(yù)-代數(shù)，（R，β）是（L，A，ρ）-模.如果f：L′→L是3-李-Rinehart同態(tài)，則（R，β′）是（L′，A，ρ′）-模，通常稱（R，β′）為由f誘導(dǎo)的（L′，A，ρ′）-模，其中

證明因為（R，β）是（L，A，ρ）-模，由式（2）和式（3），，有

因此，（R，β′）是3-李代數(shù)L′-模.因為f是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài)，由式（10）和式（25），?x′，y′∈L′，a∈A，r∈R，得到，，，，..因此，（R，β′）是（L′，A，ρ′）模.證畢.

定理11設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，A）是Abel 3-李A(yù)-代數(shù)，（R，β）是3-李代數(shù)L-模，則（R，β）是（L，A，ρ）-模當(dāng)且僅當(dāng)是3-李-Rinehart代數(shù)，其3-李代數(shù)的運算為

其中x，x，x∈L，r，r，r∈R.

證明設(shè)（R，β）是（L，A，ρ）模，因為L和R是A-模，所以也是A-模，并且a（x+r）=ax+ar，?a∈A，x∈L，r∈R.由式（27）和式（28）可知，是3-李代數(shù)，（A，ρ）是3-李代數(shù)模，且?x∈L，r∈R，a∈A，i=1，2，3，有

因此，是3-李-Rinehart代數(shù).

反之，由式（27），?a∈A，x，x∈L，r，r，r，r∈R，有

所以，并且β滿足定義3.證畢.

推論1設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，β）是（L，A，ρ）-模，則-線性映射和是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài)，其中π（x+r）=x，i（r）=r，?x∈L，r∈R.

證明根據(jù)定理11可以知道，π和i是A-模同態(tài)，且?x∈L，r∈R，有π[x+r，x +r，x+r]=[π（x+r），π（x+r），π（x+r）]，所以π是3-李代數(shù)同態(tài).由式（28）可知，ρ（x+r，x+r）=ρ（x，x）=ρ（π（x+r），π（x+r））.因此，π是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài).同理，i也是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài).證畢.

注1設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，R=L（作為Abel 3-李A(yù)-代數(shù)），則L的正則表示（R，ad）可能不是（L，A，ρ）-模.但是，如果ρ=0，很顯然（R，ad）是（L，A，0）-模.事實上，?x，y∈L，z∈R=L，b∈A，adz=[bx，y，z]=b·adz+（ρ（y，z）b）x≠b·adz.因此，（R，ad）滿足定義3當(dāng)且僅當(dāng)ρ=0.

推論2設(shè)（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代數(shù)，（R，A）是3-李A(yù)-代數(shù)，f：L→R是3-李A(yù)-代數(shù)同態(tài)，即f是3-李代數(shù)同態(tài)，并且滿足f（ax）=af（x），?a∈A，x∈L，則f誘導(dǎo)了（L，A，ρ）在（R，A）上的作用β，其中，

β（x，y）r=[f（x），f（y），r]，?x，y∈L，r∈R.（29）

證明由式（29），?x，y∈L，r，r∈R，有

因此，.因為f是3-李A(yù)-代數(shù)同態(tài)，所以

于是，（R，β）是3-李代數(shù)L-模，且β（ax，y）r=[f（ax），f（y），r]=a[f（x），f（y），r]=a（β（x，y）r）=β（x，ay）r.

證得β是（L，A，ρ）在（R，A）上的作用.證畢.

[參考文獻]

[1]HERZ J C. Pseudo-algèbres de Lie，I，II [J]. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences，1953，236：1935-1937.

[2]PALAIS R S. The cohomology of Lie rings [J]. Proceedings of the Symposium in Pure Mathematic，1961（3）：130-137.

[3]RINEHART G S. Differential forms on general commutative algebras [J]. Transactions of the American Mathematical Society，1963，108（2）：195-222.

[4]HUEBSCHMANN J. Lie-Rinehart algebras，Gerstenhaber algebras，and B-V algebras [J]. Annales de L Institut Fourier，1997，48（2）：425-440.

[5]HUEBSCHMANN J. Poisson cohomology and quantization [J]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik，1990. 408：57-113.

[6]HUEBSCHMANN J. Duality for Lie-Rinehart algebras and the modular class [J]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik，1999，510：103-159.

[7]HUEBSCHMANN J. Lie-Rinehart algebras，descent，and quantization [J]. Mathematics，2003，43（1）：295-316.

[8]MANDAL A，MISHRA S. Hom-Lie-Rinehart algebras [J]. Communications in Algebra，2016，46（9）：3722-3744.

[9]CASTIGLIONI J L，GRCIA-MARTINEZ X，LADRA M. Universal central extensions of Lie-Rinehart algebras [J]. Journal of Algebra and Its Applications，2018，17（7）：1850134.

[10]BAI R P，LI Z H，WANG W D. Infinite-dimensional 3-Lie algebras and their connections to Harish-Chandra modules [J]. Frontiers of Mathematics in China，2017，12（3）：515-530.

[11]BAI C M，GUO L，SHENG Y H. Bialgebras，the classical Yang-Baxter equation and Manin triples for 3-Lie algebras [J]. Advances in Theoretical and Mathematical Physics，2019，23（1）：27-74.

[12]BAI R P，MA Y. Modules and induced modules of 3-Lie algebra [J]. Journal of East China. Normal University （Natural Science），2021（3）：8-16.

[13]MCKENZIE K. Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry [M]. Cambridge：Cambridge University Press，1987.

[14]PAPADOPOULOS G. M2-branes，3-Lie algebras and Plücker relations [J]. Journal of High Energy Physics，2008（5）：645-677.

[15]BAGGER J，LAMBERT N. Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2-branes [J]. Physical Review D，2008，77（6）：215-240.

[16]FILIPPOV V T. n-Lie algebras [J]. Siberian Mathematical Journal，1985，26（6）：879-891.

[17]KASYMOV S M. Theory of n-Lie algebras [J]. Algebra，and Logic，1987，26（3）：155-166.

[18]CASAS J M，BOKUT L. Obstructions to Lie-Rinehart algebra extensions [J]. Algebra Colloquium，2011，18（1）：83-104.

（責(zé)任編輯：林磊）