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    精彩來自不斷的探究

    2008-01-05 06:39:16
    中學數(shù)學研究 2008年12期
    關鍵詞:探究思維數(shù)學

    李 斌

    江蘇省如東縣先民中學 (226405)

    美國數(shù)學教育家波利亞指出:“學習任何東西,最好的途徑是自己去探究發(fā)現(xiàn)”.在數(shù)學教學活動中,如果沒有探究,就不可能有學生的主動參與,不可能有學生的思考與相互之間的思維碰撞而迸發(fā)出智慧的火花,學生的創(chuàng)新能力就得不到真正的磨煉和提高.如何引導學生在探究中學習,在探究中成功,在探究中創(chuàng)新,本文根據(jù)自己的教學實踐,談談自己的一些做法和認識.

    一、引導學生探究數(shù)學應用

    新課標明確指出:數(shù)學教學要緊密聯(lián)系學生的生活實際,從學生的經(jīng)驗和已有知識出發(fā),創(chuàng)設有助于學生學習、交流的情境,使學生通過觀察、操作、歸納等活動加以探究和解決.只有讓學生體會到數(shù)學源于生活,用于現(xiàn)實,即“生活即數(shù)學”,才能提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力,掌握基本的數(shù)學知識和技能,培養(yǎng)創(chuàng)新的意識.

    如在教學正方形時,我設計了這樣的問題:

    例1 有一塊正方形的土地,要在其上修筑兩條筆直的道路,使道路將這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分,若道路的寬度可忽略不計,請設計幾種不同的修筑方案.(在所給的三張正方形圖紙上分別畫圖,并簡述畫圖步驟)

    圖1、圖2的方法學生較容易想到,學生很快畫出了圖形并給予了解答,對于圖3的畫法學生難以想到,我適時的給予引導:圖1、圖2中所畫的兩條直線都經(jīng)過哪一點?它們的位置關系 如何?然后讓他們討論探究,引出圖3:過正方形的中心O任作兩條互相垂直的直線,將正方形分成4塊,運用正方形的性質(zhì),可以證明四部分的面積相等,符合題目要求.

    這樣的問題是實際生活中的問題,從中學生“問題解決”的能力得到了充分的展示和發(fā)展, 也使學生養(yǎng)成用數(shù)學觀點和數(shù)學方法去觀察問題、分析問題、解決問題的自覺意識和思維習慣,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

    二、引導學生探究開放問題

    在教學中適當引入開放探索性問題,給學生創(chuàng)造思維的空間.傳統(tǒng)的封閉題條件完備、答案唯一、有固定的套路,學生通過模仿就可以掌握,不能完全滿足對學生數(shù)學思維能力的訓練.而開放探索性問題的特征是題目的條件不充分或沒有確定的思路、結論,所以其解題策略往往也是多樣的.它為學生提供了更多的交流、合作與探究的機會,充分發(fā)揮學生主體作用,有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新思維.

    例如在學習工程問題時,為提高學生根據(jù)已有知識和經(jīng)驗建構新知識的能力,我引入這樣的一道開放題:

    例2 課外活動時,老師來教室布置作業(yè),有一道題只寫了:“學校需制作一塊廣告牌,請來甲乙兩名工人.已知甲單獨完成需4天,乙單獨完成需6天……”,就因臨時有事暫時離開教室,留下的殘缺你能幫他補齊嗎?學生通過討論,總結了幾種問題的類型.如①兩人合作需幾天完成?②甲先做一天再和乙合作,共需幾天完成?③兩人先合作一天后甲離開,還需幾天完成?④若乙先做一天,然后甲乙合作一天,由于甲有事離開,剩下的由乙完成,還需幾天?⑤若乙先做一天,然后甲乙兩人合作完成,制作費共500元,問每人各得報酬多少元?問題由淺入深,充分反映了不同層次學生的認識水平,使每一位學生都有獲得一份成功的喜悅.

    這樣的題目可使不同層次的學生都能得到發(fā)展,有助于克服封閉式題目對學生帶來的思維定勢,激勵學生深入探究,極大地提高了學生內(nèi)在學習的動力.

    三、引導學生探究新穎解法

    在教學中,引導學生跳出常規(guī)解法的圈子,通過轉換題目的結構、變更問題視角來探究新穎的解法是培養(yǎng)學生產(chǎn)生創(chuàng)新靈感的有效途徑.

    例3 已知實數(shù)x、y、z,滿足x=6-y,z2=xy-9,求證:x=y.

    本題若用常規(guī)解法比較困難,引導學生觀察、探究:由已知得x+y=6,xy=z2+9,根據(jù)韋達定理的逆定理,設x、y是一元二次方程t2-6t+z2+9=0的兩根,因為x、y為實數(shù),利用根的判別式定理的逆定理得△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0,則必有z=0,從而△=0,故方程有兩個相等的實數(shù)根,即x=y.這樣做使解題化難為易,明快簡潔.

    又如已知三角形三邊為a2+b2,4a2+b2,a2+4b2,求此三角形的面積?多數(shù)學生初看這道題,不知如何解.引導學生變換思維角度,另辟蹊徑.若能聯(lián)想到勾股定理,利用數(shù)形結合,即可根據(jù)三邊長構造如圖4的圖形.

    ∵AE=a2+4b2,EF=a2+b2,AF=4a2+b2,∴S△AEF=S┚匭蜛BCD-S△ABE-S△EFC-S△ADF=32ab.

    怎么樣?數(shù)形結合,多么美妙.利用圖形的直觀性,化抽象為具體,化繁難為簡易.在感受和理解代數(shù)與幾何之間內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一的基礎上,深刻體會其中蘊涵的數(shù)學思想.

    四、引導學生探究解題途徑

    現(xiàn)代教學論認為:實現(xiàn)教學目的一個行之有效的方法,是引導學生去“發(fā)現(xiàn)”,去“探究”,直至“問題完美解決”.布魯納說:“探索是數(shù)學教學的生命線”.因此,在教學中,哪怕學生對問題已作出一種解答,也不應讓其淺嘗輒止,而是要引導他們廣開思路,用盡可能多的方法去處理同一個問題,即一題多解.這樣,既能促進知識之間的滲透和遷移,又能充分挖掘學生的潛能,孕育出奇思妙想,催生出創(chuàng)新的碩果.

    例4 如圖5,C島在A島的北偏東50°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島 在B島北偏西40°方向,從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度?

    用書本上的方法解完后,讓學生思考有無其他解法,結果學生想出了下面另外五種解法.

    方法1:如圖6,由AD∥BE可知∠DAB+∠ABE=180°,又因∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°,所以∠CAB+∠ABC=90°,進而得∠ACB=90°.用此法解答后對題目進一步反思發(fā)現(xiàn)∠DAB=80°是一個多余條件,同時還明白:求三角形的一個角的度數(shù),不一定要求出其他兩個角的具體度數(shù),只要求出其他兩個角的和即可.

    方法2:如圖7,過C作CN∥DA,易求出∠1=50°,∠2=40°,進而求出∠ACB=90°.

    方法3:如圖8,過C作MN⊥DA,垂足為M,交BE與N,先求出∠1=40°,∠2=50°,易求∠ACB=90°.

    方法4:如圖9,過C作MN∥AB交DA于M,交BE于N,先依次求出∠1=100°、∠2=80°,再分別求出∠3、∠4的度數(shù),進而求出∠ACB=90°.也可以先由∠1+∠2=180°,∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°,求出∠3+∠4=90°,進一步求出∠ACB=90°.

    方法5:如圖10,延長AC交BE于M,易得∠1=50°,再求出∠2=90°,進而求出ACB=90°.

    比較以上各種解法,發(fā)現(xiàn)方法2和方法5較簡捷.

    實踐證明,對例題的解法反思,能幫助學生加強知識間的聯(lián)系,拓寬解題思路,同時又能發(fā)展學生的創(chuàng)新思維.

    五、引導學生探究題目變式

    在教學中要鼓勵學生對問題進行適當?shù)难由旌桶l(fā)展,設計一些探究性練習,給學生提供自主探索的機會,經(jīng)歷“觀察、實驗、猜想、證明、比較、推理”等數(shù)學思考,體驗數(shù)學問題的探索性和挑戰(zhàn)性,培養(yǎng)學生的探究能力,讓練習的過程成為促進學生學習方式轉變的過程.

    例5 如圖11,⊙O1和⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切線,B、C為切點,求證:AB⊥AC.

    題一出示,學生馬上想出多種證明方法,如通過作兩圓的公切線來證明,作兩圓的連心線來證明等,問題得到解決以后,為了開闊學生的思路,教師作了適當?shù)囊龑В鹤儞Q兩圓的位置關系還得到這樣的結果嗎?學生們馬上興奮起來,兩圓外離時能有垂直關系嗎?兩圓相交時能有垂直關系嗎?熱烈的爭論之后學生們饒有興趣的埋頭作圖、思考 ,很快就有了結果,如圖12、圖13.

    而且,同學們還討論出了許多證明方法,更有同學提出:如果把O1O2延長,與兩圓相交,連接AB、A′C,是否也有上述垂直關系?這又進一步深化了,根據(jù)三種位置關系,很快得出圖14、圖15、圖16.

    通過變換命題、解法、圖形來探索新問題,發(fā)現(xiàn)新見解,不僅能鞏固所學的知識,開闊學生視野,收到舉一反三、觸類旁通的效果,不僅滿足不同層次學生的探究需求,而且也提高了學生的思維品質(zhì).

    將探究性學習引入課堂,讓學生以主體參與教學過程,自己去發(fā)現(xiàn)、探求,經(jīng)歷問題解決的全過程,最大限度地將學生引向對數(shù)學知識本質(zhì)的認識.只有這樣,才能使課堂成為學生自主探究活動的場所,成為同伴間討論交流和充分展示自我的舞臺,也才能使課堂充滿生命氣息,促進學生的全面發(fā)展.

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