精彩來自不斷的探究

李　斌

江蘇省如東縣先民中學(xué) (226405)

美國數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去探究發(fā)現(xiàn)”.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，如果沒有探究，就不可能有學(xué)生的主動(dòng)參與，不可能有學(xué)生的思考與相互之間的思維碰撞而迸發(fā)出智慧的火花，學(xué)生的創(chuàng)新能力就得不到真正的磨煉和提高.如何引導(dǎo)學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在探究中成功，在探究中創(chuàng)新，本文根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱囊恍┳龇ê驼J(rèn)識(shí).

一、引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)應(yīng)用

新課標(biāo)明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生學(xué)習(xí)、交流的情境，使學(xué)生通過觀察、操作、歸納等活動(dòng)加以探究和解決.只有讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活，用于現(xiàn)實(shí)，即“生活即數(shù)學(xué)”，才能提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，培養(yǎng)創(chuàng)新的意識(shí).

如在教學(xué)正方形時(shí)，我設(shè)計(jì)了這樣的問題：

例1 有一塊正方形的土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路將這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分，若道路的寬度可忽略不計(jì)，請?jiān)O(shè)計(jì)幾種不同的修筑方案.(在所給的三張正方形圖紙上分別畫圖，并簡述畫圖步驟)

圖1、圖2的方法學(xué)生較容易想到，學(xué)生很快畫出了圖形并給予了解答，對(duì)于圖3的畫法學(xué)生難以想到，我適時(shí)的給予引導(dǎo)：圖1、圖2中所畫的兩條直線都經(jīng)過哪一點(diǎn)?它們的位置關(guān)系 如何?然后讓他們討論探究，引出圖3：過正方形的中心O任作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4塊，運(yùn)用正方形的性質(zhì)，可以證明四部分的面積相等，符合題目要求.

這樣的問題是實(shí)際生活中的問題，從中學(xué)生“問題解決”的能力得到了充分的展示和發(fā)展， 也使學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)方法去觀察問題、分析問題、解決問題的自覺意識(shí)和思維習(xí)慣，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

二、引導(dǎo)學(xué)生探究開放問題

在教學(xué)中適當(dāng)引入開放探索性問題，給學(xué)生創(chuàng)造思維的空間.傳統(tǒng)的封閉題條件完備、答案唯一、有固定的套路，學(xué)生通過模仿就可以掌握，不能完全滿足對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練.而開放探索性問題的特征是題目的條件不充分或沒有確定的思路、結(jié)論，所以其解題策略往往也是多樣的.它為學(xué)生提供了更多的交流、合作與探究的機(jī)會(huì)，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維.

例如在學(xué)習(xí)工程問題時(shí)，為提高學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)新知識(shí)的能力，我引入這樣的一道開放題：

例2 課外活動(dòng)時(shí)，老師來教室布置作業(yè)，有一道題只寫了：“學(xué)校需制作一塊廣告牌，請來甲乙兩名工人.已知甲單獨(dú)完成需4天，乙單獨(dú)完成需6天……”，就因臨時(shí)有事暫時(shí)離開教室，留下的殘缺你能幫他補(bǔ)齊嗎?學(xué)生通過討論，總結(jié)了幾種問題的類型.如①兩人合作需幾天完成?②甲先做一天再和乙合作，共需幾天完成?③兩人先合作一天后甲離開，還需幾天完成?④若乙先做一天，然后甲乙合作一天，由于甲有事離開，剩下的由乙完成，還需幾天?⑤若乙先做一天，然后甲乙兩人合作完成，制作費(fèi)共500元，問每人各得報(bào)酬多少元?問題由淺入深，充分反映了不同層次學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，使每一位學(xué)生都有獲得一份成功的喜悅.

這樣的題目可使不同層次的學(xué)生都能得到發(fā)展，有助于克服封閉式題目對(duì)學(xué)生帶來的思維定勢，激勵(lì)學(xué)生深入探究，極大地提高了學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

三、引導(dǎo)學(xué)生探究新穎解法

在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生跳出常規(guī)解法的圈子，通過轉(zhuǎn)換題目的結(jié)構(gòu)、變更問題視角來探究新穎的解法是培養(yǎng)學(xué)生產(chǎn)生創(chuàng)新靈感的有效途徑.

例3 已知實(shí)數(shù)x、y、z，滿足x=6-y,z2=xy-9，求證：x=y.

本題若用常規(guī)解法比較困難，引導(dǎo)學(xué)生觀察、探究：由已知得x+y=6,xy=z2+9，根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理，設(shè)x、y是一元二次方程t2-6t+z2+9=0的兩根，因?yàn)閤、y為實(shí)數(shù)，利用根的判別式定理的逆定理得△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0，則必有z=0，從而△=0，故方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x=y.這樣做使解題化難為易，明快簡潔.

又如已知三角形三邊為a2+b2,4a2+b2,a2+4b2,求此三角形的面積?多數(shù)學(xué)生初看這道題，不知如何解.引導(dǎo)學(xué)生變換思維角度，另辟蹊徑.若能聯(lián)想到勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合，即可根據(jù)三邊長構(gòu)造如圖4的圖形.

∵AE=a2+4b2,EF=a2+b2,AF=4a2+b2,∴S△AEF=S┚匭蜛BCD-S△ABE-S△EFC-S△ADF=32ab.

怎么樣?數(shù)形結(jié)合，多么美妙.利用圖形的直觀性，化抽象為具體，化繁難為簡易.在感受和理解代數(shù)與幾何之間內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一的基礎(chǔ)上，深刻體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.

四、引導(dǎo)學(xué)生探究解題途徑

現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為：實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的一個(gè)行之有效的方法，是引導(dǎo)學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)”，去“探究”，直至“問題完美解決”.布魯納說：“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線”.因此，在教學(xué)中，哪怕學(xué)生對(duì)問題已作出一種解答，也不應(yīng)讓其淺嘗輒止，而是要引導(dǎo)他們廣開思路，用盡可能多的方法去處理同一個(gè)問題，即一題多解.這樣，既能促進(jìn)知識(shí)之間的滲透和遷移，又能充分挖掘?qū)W生的潛能，孕育出奇思妙想，催生出創(chuàng)新的碩果.

例4 如圖5，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島 在B島北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度?

用書本上的方法解完后，讓學(xué)生思考有無其他解法，結(jié)果學(xué)生想出了下面另外五種解法.

方法1：如圖6，由AD∥BE可知∠DAB+∠ABE=180°，又因∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°，所以∠CAB+∠ABC=90°，進(jìn)而得∠ACB=90°.用此法解答后對(duì)題目進(jìn)一步反思發(fā)現(xiàn)∠DAB=80°是一個(gè)多余條件，同時(shí)還明白：求三角形的一個(gè)角的度數(shù)，不一定要求出其他兩個(gè)角的具體度數(shù)，只要求出其他兩個(gè)角的和即可.

方法2：如圖7，過C作CN∥DA，易求出∠1=50°,∠2=40°，進(jìn)而求出∠ACB=90°.

方法3：如圖8，過C作MN⊥DA，垂足為M，交BE與N，先求出∠1=40°，∠2=50°,易求∠ACB=90°.

方法4：如圖9，過C作MN∥AB交DA于M，交BE于N，先依次求出∠1=100°、∠2=80°，再分別求出∠3、∠4的度數(shù)，進(jìn)而求出∠ACB=90°.也可以先由∠1+∠2=180°,∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°,求出∠3+∠4=90°，進(jìn)一步求出∠ACB=90°.

方法5：如圖10，延長AC交BE于M，易得∠1=50°,再求出∠2=90°，進(jìn)而求出ACB=90°.

比較以上各種解法，發(fā)現(xiàn)方法2和方法5較簡捷.

實(shí)踐證明，對(duì)例題的解法反思，能幫助學(xué)生加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，拓寬解題思路，同時(shí)又能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

五、引導(dǎo)學(xué)生探究題目變式

在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旌桶l(fā)展，設(shè)計(jì)一些探究性練習(xí)，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)，經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、比較、推理”等數(shù)學(xué)思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，讓練習(xí)的過程成為促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的過程.

例5 如圖11，⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點(diǎn)，求證：AB⊥AC.

題一出示，學(xué)生馬上想出多種證明方法，如通過作兩圓的公切線來證明，作兩圓的連心線來證明等，問題得到解決以后，為了開闊學(xué)生的思路，教師作了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)：變換兩圓的位置關(guān)系還得到這樣的結(jié)果嗎?學(xué)生們馬上興奮起來，兩圓外離時(shí)能有垂直關(guān)系嗎?兩圓相交時(shí)能有垂直關(guān)系嗎?熱烈的爭論之后學(xué)生們饒有興趣的埋頭作圖、思考 ，很快就有了結(jié)果，如圖12、圖13.

而且，同學(xué)們還討論出了許多證明方法，更有同學(xué)提出：如果把O1O2延長，與兩圓相交，連接AB、A′C，是否也有上述垂直關(guān)系?這又進(jìn)一步深化了，根據(jù)三種位置關(guān)系，很快得出圖14、圖15、圖16.

通過變換命題、解法、圖形來探索新問題，發(fā)現(xiàn)新見解，不僅能鞏固所學(xué)的知識(shí)，開闊學(xué)生視野，收到舉一反三、觸類旁通的效果，不僅滿足不同層次學(xué)生的探究需求，而且也提高了學(xué)生的思維品質(zhì).

將探究性學(xué)習(xí)引入課堂，讓學(xué)生以主體參與教學(xué)過程，自己去發(fā)現(xiàn)、探求，經(jīng)歷問題解決的全過程，最大限度地將學(xué)生引向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).只有這樣，才能使課堂成為學(xué)生自主探究活動(dòng)的場所，成為同伴間討論交流和充分展示自我的舞臺(tái)，也才能使課堂充滿生命氣息，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.