例談數(shù)形結(jié)合在解證不等式中的作用

賀樹泳

江西省蓮花中學(xué) (337100)

抽象性是數(shù)學(xué)最顯著的特點(diǎn)之一，抽象的程度越高，它所概括的范圍就越大，但另一方面也給數(shù)學(xué)蒙上了一層神秘的面紗，這也是學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)的重要原因.尤其是對不等式的求解和證明，思維切入困難，放縮的目標(biāo)不明確，特別對含參數(shù)不等式的證明更加難于把握. 因此，恢復(fù)和發(fā)現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系之幾何形象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，將不等式證明題中的 抽象性復(fù)雜性轉(zhuǎn)化為直觀的幾何求解或證明，既能幫助學(xué)生快速找到解題途徑，又可以發(fā)展他們的思維并激發(fā)其濃厚的興趣，從而使學(xué)生達(dá)到活用數(shù)學(xué)思想方法來分析和解決問題的高境界.本文擷取幾例來說明數(shù)形結(jié)合在解證不等式中的作用.

一、利用數(shù)形結(jié)合的直觀性，增強(qiáng)解題中的求簡意識

有些不等式的求解問題，雖能解決但過程繁瑣，但根據(jù)問題的條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系數(shù)形結(jié)合，往往能獲得簡單的解題思路.

例1 已知集合A={x|玪g(x2-2ax+a2+1)<玪g2},B={x|(x-a)(x-2)>0}，若A∪B=R，求a的范圍.

析解：按常規(guī)必須分a<2,a=2,a>2分別求出B集，再利用A∪B=R求出a的范圍，最后求這些范圍的并集，運(yùn)算太繁，若用數(shù)形結(jié)合可以避開對a的討論，得到簡解.

解：∵A={x|a-10,如圖1，要使A∪B=R其等價(jià)于f(a-1)>0

f(a+1)>0-(a-3)>0,

a-1>0,

∴1

例2 已知函數(shù)f(u)=u2+au+(b-2)，其中u=x+1x(x∈R,x≠0)，若a,b是可使f(u)=0至少有一實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)，求a2+b2的最小值.

分析：該題如看作u的一元二次方程，利用實(shí)數(shù)根的分布知識來求解，過程較繁，但利用數(shù)形結(jié)合的知識，把a(bǔ),b看作變量，則要容易得多.

解：∵u2+au+(b-2)=0，且|u|≥2，即au+b+u2-2=0①，而所求a2+b2可看作直線①上的點(diǎn)(a,b)與原點(diǎn)(0,0)的距離的平方.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式d=|u2-2|u2+1，

∴a2+b2=d2=(u2-2)2u2+1=(u2+1)2-6(u2+1)+9u2+1=u2+1+9u2+1-6,∵u2≥4,且f(u)=u2+1+9u2+1在u2≥4上單調(diào)遞增，∴a2+b2≥45.∴a2+b2的最小值為45.

二、利用式子特征，巧妙構(gòu)造圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，提高學(xué)生分析和解決問題的能力

有些數(shù)學(xué)式子本身，如果加以認(rèn)真分析，既能分析式子的特征，又能揭示其幾何意義，這時(shí)數(shù)形結(jié)合應(yīng)該是一種很好的思想與方法.

例3 比較玪og20052004與20032004的大小.

析解：該題三個(gè)連續(xù)的數(shù)通過對數(shù)與分式，巧妙地連在一起，按常規(guī)先化為常用對數(shù)，再作差比較大小，計(jì)算繁難不說，也看不出其巧妙之處，現(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合，先作出對數(shù)曲線y=玪og2005獂，如圖2，過兩點(diǎn)A(1，0)，B(2005，1)，設(shè)直線x=2004交曲線和AB于C(2004，y0)，D(2004，y1)，由對數(shù)曲線的凸性可知C點(diǎn)在D點(diǎn)之上，所以y0>y1，即玪og20052004>20032004.

例4 設(shè)a,b,c皆為正數(shù)，且a+b+c=1,求證：1a+1b+1c≥9.

分析：該題的證法有多種，考慮其對稱美、輪換美、和諧美特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造曲線y=1x可以得到一種簡捷的幾何證法.

證明：在曲線y=1x上任取三點(diǎn)A(a,1a),B(b,1b),C(c,1c)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為x0=13(a+b+c),y0=13(1a+1b+1c)，如圖3，由曲線y=1x的凹性可知，G在曲線的上方，故有y0>1x0，代換后得證.

三、運(yùn)用換元、設(shè)參等構(gòu)造手法活用數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)掘知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)

有些數(shù)學(xué)問題，如能運(yùn)用圖形直觀地研究數(shù)、式，從而培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，能全面提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

例5 證明：2t+4+1-t≥3.

分析：該題可視t為參數(shù)引入?yún)?shù)方程，消t轉(zhuǎn)化為直線和曲線有公共點(diǎn)的問題來證明.

證明：顯然t∈［-2,1］,設(shè)x=1-t,

y=2t+4,得x23+y26=1(0≤x≤3,0≤y≤6)，如圖4，表示橢圓x23+y26=1在第一象限的一段弧(包括端點(diǎn)).不等式左邊U=x+y表示平行直線系，所以當(dāng)直線系過點(diǎn)A(3，0)時(shí)直線和曲線有公共點(diǎn)，且U有最小值，U﹎in=3.∴2t+4+1-t≥3.

例6 已知a>0,2b>a+c，求證b-b2-ac

分析：待證的結(jié)論易讓人聯(lián)想到求根公式，所以構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=ax2-2bx+c，利用數(shù)形結(jié)合，從而獲得證題的一種巧妙方法.

證明：設(shè)f(x)=ax2-2bx+c，由已知a>0,且2b>a+c,所以f(1)=a-2b+c<0.=∴f(x)的大致圖像右圖5，即開口向上，與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)，且x1<1

四、利用數(shù)形結(jié)合的思想解決目標(biāo)函數(shù)的最值問題，從而更進(jìn)一步深化知識，提升能力

例7 設(shè)等差數(shù)列{a璶}的前n項(xiàng)和為S璶，若S4≥10,S5≤15，求a4的最大值.(08年四川高考題)

析解：設(shè){a璶}首項(xiàng)為a1，公差為d，則有2a1+3d≥5,

a1+2d≤3，∴a4=a1+3d≥5-3d2+3d≥5+3d2,又a4=a1+3d≤3+d,∴5+3d2≤a4≤3+d,∴d≤1,∴a4≤4,∴a4的最大值為4.

但上述解法利用了放縮，學(xué)生不容易想到.如果利用簡單的線性規(guī)劃知識，作出可行域易知，求a4的最值，如圖6，只要將初始直線a1+3d=0平移到過點(diǎn)A(1，1)時(shí)達(dá)到(a4)┆玬ax=1+3×1=4.

總之，數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過程中的作用顯而易見，其功能有待不斷挖掘，在當(dāng)前提倡素質(zhì)教育，培養(yǎng)高素質(zhì)人才的時(shí)候，更應(yīng)加強(qiáng)各種數(shù)學(xué)思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).