一道數(shù)學(xué)奧林匹克試題的引申

谷煥春

山東聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252059)

第16屆亞太地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克(2004年3月)壓軸題為：

證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b,c，均有(a2+2)?(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).

《數(shù)學(xué)通訊》2004年第11期刊登了一種證明方法，此種方法首先采用降冪的策略，利用柯西不等式把所證不等式左邊六次多項(xiàng)式的問(wèn)題放縮為三次多項(xiàng)式的問(wèn)題，然后利用基本不等式繼續(xù)放縮，最后采用作差法，利用抽屜原則并經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的計(jì)算得到了所要證明的不等式.筆者通過(guò)對(duì)本題進(jìn)行細(xì)致研究，得到本質(zhì)性的證明方法，并對(duì)字母?jìng)€(gè)數(shù)及冪指數(shù)進(jìn)行推廣.

引理 h璱>-1(i=1,2,…，n)，且h璱h璲≥0)(1≤i,j≤n)，則∏ni=1(1+h璱)≥1+∑ni=1h璱.

證：用數(shù)學(xué)歸納法即可.(略)

引申 設(shè)x璱≥0(i=1,2,…,n+1)且x琻璱-1(i=1,2,…，n)同號(hào)，則∏n+1i=1(n+x琻璱)≥(n+1)琻∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).

證明：由引理得∏ni=1(n+x琻璱)=∏ni=1［n+1+(x琻璱-1)］=(n+1)琻∏ni=1(1+x琻璱-1n+1)≥(n+1)琻?［1+1n+1∑ni=1(x琻璱-1)］=(n+1)﹏-1［n+1+∑ni=1(x琻璱-1)］=(n+1)﹏-1(1+∑ni=1x琻璱),于是

∏n+1i=1(n+x琻璱)=［∏ni=1(n+x琻璱)］(n+x琻﹏+1)≥(n+1)﹏-1(1+∑ni=1x琻璱)(n+x琻﹏+1)=(n+1)﹏-1(n+x琻﹏+1+n∑ni=1x琻璱+∑ni=1x琻璱x琻﹏+1)=(n+1)﹏-1?｛∑n+1i=1x琻璱+∑ni=1x琻璱+［∑ni=1(x琻璱x琻﹏+1+1)+(n-2)?∑ni=1 x琻璱］｝，由于∑1≤j≠i≤n+1x琻璲≥n∏1≤j≠i≤n+1x璲(i=1,2,…，n+1)，所以將以上n+1個(gè)不等式左右兩邊分別相加，得n∑n+1i=1x琻璱≥n∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲),即∑n+1i=1x琻璱≥∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).記x0=x璶,則x琻璱x琻﹏+1+1+∑1≤j≤nj≠i-1,ix琻璲≥n∏1≤j≤n+1j≠i-1x璲(i=1,2,3…，n)，

將以上n個(gè)不等式左右兩邊分別相加，得∑ni=1(x琻璱x琻﹏+1+1)+(n-2)∑ni=1x琻璱≥

n∑ni=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲),于是∏n+1i=1(n+x琻璱)≥

(n+1)﹏-1［∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲)+n∏nj=1x璲+

n∑ni=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲)］=(n+1)琻∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).

另外，注意到(a2-1)(b2-1)?(b2-1)(c2-1)?(c2-1)(a2-1)=［(a2-1)(b2-1)(c2-1)］2≥0，所以a2-1,b2-1,c2-1中必有兩個(gè)同號(hào)，用類似的方法可得到原題的證明，也就是本文開(kāi)始提到的本質(zhì)證法.

參考文獻(xiàn)

［1］馮志剛.2004年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克.數(shù)學(xué)通訊，2004年第11期.