充分挖掘課本例習題進行探究式教學

蔡飛慶

浙江省湖州市第一中學 (313000)

一、對探究式教學的認識

所謂探究式教學，是以培養(yǎng)學生具有“不斷追求卓越的態(tài)度和提出問題、解決問題的能力”為基本目標，用與教學內(nèi)容相關的問題作為載體，讓學生在教師的組織和指導下有目的地相對獨立地進行探索研究，從而促進學生思維水平的發(fā)展，提高學生運用知識解決問題的能力，并從中感悟到科學研究的基本策略和方法，得到科學思想的熏陶，為培養(yǎng)創(chuàng)新精神、創(chuàng)造思維打好基礎.

其教學結構如下圖所示：

二、探究式教學中教師和學生的定位

在探究式教學中，要求教師從知識的權威者變?yōu)閷W生知識學習的參與者、引導者和指導者，要將學習的重心從過分強調(diào)知識的傳承和積累向知識的探究過程轉化，使學生由被動接受知識變?yōu)橹鲃荧@取知識.

在探究式課程中教師和學生的地位與作用如圖：

三、探究式教學案例應用

案例1 呈現(xiàn)背景問題：(新教材《數(shù)學》第一冊(上)P43，B組第3題)已知A={x||x-1|≥a},狟=x|2x-1<3x+5

5x-2<3x+6,且A∩B=I，求a的范圍.

教師引導問題分析：該題中集合B容易求得，而在解A時需對a進行分類討論.抓住這個特點，能否將該題改編成存在型探索性問題?

學生合作問題設計：已知A={x||x-1|≥a},B=x|2x-1<3x+5

5x-2<3x+6,問是否存在a，使得A∩B=I?若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由.

學生討論拓展問題：若把上面問題中的“A∩B=I”這個條件改為“A∩B=B”或“A糂”等，應如何解決?

師生共同探求問題：解：①若把“A∩B=I”改為“A∩B=B”，由A可知當a≤0時，A=R.顯然有A∩B=B成立；當a>0時，A={x|x≤-a+1或x≥a+1}.∵A∩B=B，

∴可得a∈I.綜上可知存在這樣的實數(shù)a,a的范圍是(-∞，0］.②若把“A∩B=I”改為“A糂”，同樣對a進行分類討論，可得不存在這樣的a使A糂成立.

案例2 呈現(xiàn)背景問題：(新教材《數(shù)學》第一冊(上)P107，B組第3題)(1)若f(x)=ax+b，則f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2;(2)若ゝ(x)=ax2+bx+c，則f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2.

教師引導問題分析：本題中沒有明確指出a、b的范圍，說明所求的式子與a、b的值無關.抓住這個特征，可否將該題改編為一道比較型和存在型的探索性問題?

學生合作問題設計：已知f(x)=ax2+bx+c，(1)若a=0，請比較ゝ(x1+x22)與f(x1)+f(x2)2的大?。?2)若a=1，請比較ゝ(x1+x22)與f(x1)+f(x2)2的大小；(3)是否存在常數(shù)a，使得f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2成立?若成立，請求出a的范圍；若不成立，請說明理由.

師生共同探求問題：(1)、(2)兩問就是上面的例題.下面解答第(3)問：∵f(x1+x22)-f(x1)+f(x2)2=a(x1+x22)2+b?x1+x22+c-a(x12+x22)+b(x1+x2)+2c2=a2?［(x1+x2)22-(x12+x22)］=-a4(x1-x2)2,若f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，則只需a≤0就能使命題成立.同理a≥0就使命題ゝ(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立.

師生討論拓展問題：從問題的逆向來思考，還可以設計如下的討論型探索性問題：已知函數(shù)f(x)具有性質(zhì)f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2,給出下列函數(shù)：(1)y=x2;(2)y=2瑇;(3)y=玪og2x;(4)y=玞os玿,x∈［π2,3π2］；(5)y=玹an玿,x∈［0,π2).則在函數(shù)定義域內(nèi)具有這個性質(zhì)的函數(shù)有 .

解：∵f(x)具有性質(zhì)f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2這個性質(zhì)，∴f(x)的圖像具有凹性.上述函數(shù)中具有這個特性的有(1)、(2)、(4)、(5).

案例3 呈現(xiàn)背景問題：(新教材《數(shù)學》第一冊(上)P141，B組第1題)已知數(shù)列{a璶}的前n項和S璶=a琻-1(a是不為0的實數(shù))，那么{a璶}().

A.一定是等差數(shù)列 B.一定是等比數(shù)列

C.或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列

教師引導問題分析：該題抓住同學們思維不縝密的毛病，在解答該題時容易忽視a=1，從而選擇錯誤的答案B.現(xiàn)在在發(fā)現(xiàn)這一點的基礎上，如何將該題擬編成判斷型的探索性問題?

學生合作問題設計：已知數(shù)列{a璶}的前n項和S璶=a琻-1(a是不為0的實數(shù)).請問：{a璶}是否是等比數(shù)列?若不是，那么要使{a璶}為等比數(shù)列，a還需要滿足什么條件?

學生交流問題探求：當n≥2時，a璶=S璶-S﹏-1=a琻-a﹏-1=a﹏-1(a-1);當n=1時，a1=S1=a-1.

若a=1，則數(shù)列的項均為0，這個數(shù)列是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列.若a≠1，則a璶a﹏-1=a﹏-1(a-1)a琻(a-1)=a.這個數(shù)列是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列.∴要使{a璶}為等比數(shù)列，則a≠1.

案例4 呈現(xiàn)背景問題：(新教材《數(shù)學》第二冊(上)P12，例3)已知a、b是正數(shù)，且a≠b.求證：a3+b3>a2b+ab2.

教師引導問題分析：觀察可得不等式的兩邊次數(shù)相等，都為3，且a、b的大小不確定.抓住這一特征，能否將該題的次數(shù)擴大，改編成一道比較型的探索性問題?

學生合作問題設計：已知a、b是正數(shù)，m、n∈N,且n≥m≥1，比較a琻+b琻與a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m的大小.

師生共同完成問題探求：a琻+b琻-a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m=(a琻-a﹏-m猙琺)+(b琻-a琺b﹏-m)=a﹏-m(a琺-b琺)+b﹏-m(b琺-a琺)=(a琺-b琺)(a﹏-m-b﹏-m).當a>b>0時，a琺>b琺,a﹏-m>b﹏-m，此時a琻+b琻>a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.當a=b=0時，a琻+b琻=a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.當0a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.

綜上a琻+b琻≥a﹏-m猙琺+a琺b﹏-m.

案例5 呈現(xiàn)背景問題：(新教材《數(shù)學》第二冊(上)P130，例2)直線y=x-2與y2=2x相交于A、B兩點，求證：OA⊥OB.

教師引導問題分析：易得直線與x軸的交點為(2，0)，拋物線的焦點為(12，0)，所以直線y=x-2是通過(2，0)的一條直線.這樣，該例題其實是下面命題的一個特例.

已知拋物線y2=2px，p表示焦點到準線的距離，過點(2p,0)的直線與拋物線交于A、B兩點.求證：OA⊥OB.

容易證明這個命題的正確性，并且它的逆命題也是正確的.在發(fā)現(xiàn)這個特征的基礎上，如何將該命題改造為一道存在型探索性問題.

師生合作問題設計：已知拋物線C的頂點為原點，問在拋物線C所在的平面內(nèi)是否存在定點M，使得過M的直線與拋物線C交于A、B兩點，且∠AOB為直角?

師生合作問題探求：設拋物線的方程為y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則y12=2px1,y22=2px2.∵∠AOB=90°,∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0.∴y12y22=2px1?2px2=4p2x1x2=-4p2y1y2,∴y1y2=-4p2.

∵y22-y12=(y1+y2)(y2-y1)=2p(x2-x1)，若x1≠x2，則y2-y1x2-x1=2py1+y2,∴直線AB的方程為y-y1=2py1+y2(x-x1)=2py1+y2?(x-y122p).∴y=2py1+y2x-y12y1+y2+y1=2py1+y2x+y1y2y1+y2=2py1+y2(x-2p),∴直線AB過定點(2p,0).若x1=x2,則y1=-y2.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.∴x12-y12=0,x12-2px1=0,∴x1=2p.故直線AB過定點(2p，0)，所以存在這樣的定點M使得命題成立.

教師引導問題延拓：從問題的特點去思考，還可以設計如下的存在型探索性問題.

已知拋物線y2=2px(p>0)，過點(2p，0)的直線與拋物線交于A、B兩點.問三角形AOB的面積是否存在最小值?若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

解：設直線的方程my=x-2p，其中m=1k.由my=x-2p

y2=2px得my=y22p-2p,所以y2-2pmy-4p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=2p?m2+4,所以S△AOB=12?2p|y1-y2|=2p2

?m2+4.當m=0時，即AB垂直于x軸時，S┆玬in=4p2.

以上僅列舉了五個案例，數(shù)學課本中相關的好題還有不少.對其進行挖掘、加工、引申和改造，就會得到一些綜合性強、能力要求高、符合創(chuàng)新精神的新命題.這樣不僅能激發(fā)學生的學習興趣，夯實學生的認知結構，對學生思維水平、應用知識解決問題的能力的提高也會起到事半功倍的作用，從而最終提高學生的創(chuàng)新能力.

參考文獻

［1］王立軍.新教材教學中探究式教學的探索與實踐.數(shù)學通訊，2004(1).