芻議化歸思想在初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)應(yīng)用

單俠飛

［摘? 要］ 在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)識(shí)到化歸思想的存在，讓化歸思想引導(dǎo)學(xué)生去建構(gòu)知識(shí)、解決問(wèn)題，可以更好地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的深入理解. 教師的教學(xué)設(shè)計(jì)以及具體的教學(xué)過(guò)程應(yīng)緊扣為學(xué)生尋找化歸思想的應(yīng)用契機(jī)，讓學(xué)生體驗(yàn)化歸思想的應(yīng)用過(guò)程，讓學(xué)生領(lǐng)悟化歸思想的應(yīng)用精髓. 通過(guò)化歸思想的應(yīng)用，可以將數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法體驗(yàn)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的過(guò)程，有機(jī)地融合在一起，從而營(yíng)造出一個(gè)良好的初中數(shù)學(xué)教學(xué)樣態(tài).

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；化歸思想；教學(xué)應(yīng)用

熟悉小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的教師可能都知道，化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)研究重點(diǎn)與熱點(diǎn). 實(shí)際上，初中數(shù)學(xué)作為小學(xué)數(shù)學(xué)的延伸，化歸思想在其中也有著重要的應(yīng)用. 如果在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠延續(xù)這種研究，并且讓學(xué)生將化歸思想應(yīng)用到更多的場(chǎng)合中，那么對(duì)于學(xué)生而言，這不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想的延續(xù)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)的升華.

從一般意義的角度來(lái)看，化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，其滲透在初中數(shù)學(xué)教學(xué)以及學(xué)習(xí)過(guò)程中. 嚴(yán)格來(lái)講，這種滲透既體現(xiàn)在具體的問(wèn)題解決過(guò)程中，也體現(xiàn)在學(xué)生面對(duì)多種問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的方法與策略選擇上. 也就是說(shuō)，化歸思想實(shí)際上是一種具有一般性意義的問(wèn)題解決策略，其源于數(shù)學(xué)卻不局限于數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)向現(xiàn)實(shí)生活延伸，使得化歸思想具有更強(qiáng)大的生命力. 基于這樣的考慮，筆者以為在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，依然要對(duì)化歸思想進(jìn)行研究，要讓這一思想在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程以及現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題解決過(guò)程中，能夠?qū)⑸M(jìn)一步表現(xiàn)出來(lái).

蘇科版教材設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，也特別重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，其中化歸思想就存在于多個(gè)場(chǎng)合. 具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)識(shí)到化歸思想的存在，讓化歸思想引導(dǎo)學(xué)生去建構(gòu)知識(shí)、解決問(wèn)題，可以更好地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的深入理解. 本文就以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)“圓周角”這一內(nèi)容的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的一些研究與收獲.

化歸思想的價(jià)值再談

所謂化歸思想，說(shuō)得通俗一點(diǎn)就是通過(guò)轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，將一個(gè)問(wèn)題由復(fù)雜變成簡(jiǎn)單，由繁雜變成簡(jiǎn)潔. 從轉(zhuǎn)化類型的角度來(lái)看，通常有正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、等與不等的轉(zhuǎn)化、實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化、變量與常量的轉(zhuǎn)化等. 具體采用哪種類型，要視情況而定.

盡管化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)研究中一直是一個(gè)熱點(diǎn)，但是作為一種系統(tǒng)研究，筆者認(rèn)為仍然要解讀其價(jià)值. 尤其在核心素養(yǎng)培育的背景下，教師要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過(guò)程，來(lái)為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，提供一個(gè)有效載體. 可以說(shuō)數(shù)學(xué)思想方法就是銜接數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的紐帶，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)水平如何，既體現(xiàn)著數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)水平，也影響著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平. 認(rèn)識(shí)到這種邏輯關(guān)系，那么在日常教學(xué)中，教師就更要重視化歸思想的價(jià)值. 正是基于這樣的分析，筆者認(rèn)為，在核心素養(yǎng)培育的背景下，化歸思想的價(jià)值就可以從反映知識(shí)建構(gòu)、促進(jìn)核心素養(yǎng)培育兩個(gè)角度來(lái)闡釋.

從反映知識(shí)建構(gòu)的角度來(lái)看，最直接的判斷就是，如果教師只滿足于應(yīng)試需要，那么其所對(duì)應(yīng)的教學(xué)一定只是數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的簡(jiǎn)單記憶，其后就是大量的與中考原題相匹配的重復(fù)訓(xùn)練. 這樣的知識(shí)教學(xué)過(guò)程，顯然沒(méi)有數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的機(jī)會(huì). 而一個(gè)良好的知識(shí)教學(xué)過(guò)程，一定能夠?qū)?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用體現(xiàn)出來(lái). 作為最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法之一，化歸思想的應(yīng)用應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在更多的場(chǎng)合中.

從促進(jìn)核心素養(yǎng)培育的角度來(lái)看，初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，課程標(biāo)準(zhǔn)確定為三點(diǎn)，即讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 要實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，核心就在于讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)，在感知數(shù)學(xué)的過(guò)程中形成良好的數(shù)學(xué)直覺(jué)，并且將這些數(shù)學(xué)直覺(jué)反映到現(xiàn)實(shí)世界中去. 如同上面所指出的那樣，數(shù)學(xué)思想方法可以在其中發(fā)揮銜接作用，而化歸思想的作用會(huì)體現(xiàn)得更加明顯.

站在學(xué)生的角度來(lái)看，在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生擁有了數(shù)學(xué)思想方法后，在了解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，可以更加深入地分析和解決問(wèn)題，達(dá)到學(xué)習(xí)事半功倍的效果. 當(dāng)學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，也可以在數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟的基礎(chǔ)上，用更加敏銳的數(shù)學(xué)意識(shí)、更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維去闡釋現(xiàn)實(shí)世界，到必要時(shí)，也可以用精練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 可以說(shuō)，化歸思想作為最基本的數(shù)學(xué)思想，能夠充分發(fā)揮上述作用，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中、在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的過(guò)程中，還能發(fā)揮奠基性作用. 而要將這些作用充分發(fā)揮出來(lái)，很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是教師的教學(xué)設(shè)計(jì)以及具體的教學(xué)過(guò)程要緊扣為學(xué)生尋找化歸思想的應(yīng)用契機(jī)，讓學(xué)生體驗(yàn)化歸思想的應(yīng)用過(guò)程，讓學(xué)生領(lǐng)悟化歸思想的應(yīng)用精髓. 只要有了這些應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的積累，當(dāng)學(xué)生面對(duì)難題（包括知識(shí)學(xué)習(xí)的難題和實(shí)際生活中的難題）時(shí)，就能夠真正做到科學(xué)轉(zhuǎn)化、有效歸結(jié).

化歸思想應(yīng)用的例析

在日常教學(xué)實(shí)踐中，化歸思想應(yīng)當(dāng)有其一席之地. 之所以重申這一觀點(diǎn)，說(shuō)到底還是希望初中數(shù)學(xué)一線教師能夠在滿足應(yīng)試需要的同時(shí)，留一片空間給自己和學(xué)生，要讓數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在這個(gè)空間里得到有效的發(fā)展. 對(duì)于化歸思想的應(yīng)用而言，也需要在這樣的空間里得以實(shí)現(xiàn). 如上述所指那樣，在教學(xué)設(shè)計(jì)和具體的教學(xué)過(guò)程中，擁有教學(xué)主導(dǎo)權(quán)的教師，決定著化歸思想能否在日常課堂上落地生根.

在“圓周角”這一內(nèi)容的分析中，筆者注意到這部分內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)主要包括圓周角概念、圓周角定理等. 按理說(shuō)概念與定理在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中是最為常見(jiàn)的，通常教學(xué)也只是讓學(xué)生記住這些內(nèi)容，然后進(jìn)行直接或間接的應(yīng)用，從而形成解題能力. 但是既然要將教學(xué)重心落到思想方法上，促使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得以發(fā)展，那么教師就必須對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)方式進(jìn)行優(yōu)化，要讓學(xué)生擁有更多的應(yīng)用化歸思想的機(jī)會(huì). 那么在實(shí)際教學(xué)中有沒(méi)有這樣的可能呢？答案自然是肯定的.

首先來(lái)看圓周角定義的教學(xué). 在教材中，圓周角的定義是“頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角”. 如果教師采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，只要畫(huà)個(gè)圖，然后對(duì)照這個(gè)圖去解釋圓周角的定義，那么通常情況下，學(xué)生也能理解并接受這一定義，并在大腦中建立圓周角的概念. 這里若想滲透化歸思想，又可以怎樣設(shè)計(jì)呢？筆者的設(shè)計(jì)是這樣的：

先向?qū)W生提出一個(gè)問(wèn)題：學(xué)習(xí)平面幾何，無(wú)非就是研究點(diǎn)、線、面、角及其之間可能存在的關(guān)系. 如果現(xiàn)在給你一個(gè)圓，那么在這個(gè)圓上要構(gòu)建角的話，應(yīng)畫(huà)出怎樣的角？

這個(gè)問(wèn)題的好處在于，可以讓學(xué)生面對(duì)圓和角時(shí)，不帶有明顯的傾向性（常規(guī)設(shè)計(jì)是先給出圓周角的圖形，然后下定義，這樣的傾向性就非常強(qiáng)），這可以讓學(xué)生的思維處于開(kāi)放狀態(tài). 而且上述問(wèn)題還有一個(gè)功能，即可以驅(qū)動(dòng)學(xué)生去動(dòng)手作圖，而且大多數(shù)學(xué)生在最初作圖時(shí)，大腦中的表象是不清晰的，他們只能一邊摸索、一邊作圖. 教師此時(shí)就可以讓學(xué)生先獨(dú)立完成，然后合作交流，這樣學(xué)生最終會(huì)發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)圓上要想構(gòu)建出有意義的角，無(wú)非是角的頂點(diǎn)要么在圓周上，要么在圓心處——兩種相對(duì)較為簡(jiǎn)單的情形；也有學(xué)生將角的頂點(diǎn)畫(huà)在圓內(nèi)或圓外，教師對(duì)學(xué)生的這種表現(xiàn)應(yīng)予以積極評(píng)價(jià)，并且告知學(xué)生，前者的研究更為簡(jiǎn)單.

有了這樣的引導(dǎo)后，學(xué)生大腦中的表象也就清晰了——這兩個(gè)表象實(shí)際上就是圓周角和圓心角，只不過(guò)學(xué)生此時(shí)并不知道它們的定義而已. 但是有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，當(dāng)學(xué)生大腦中的表象清晰時(shí)，下定義（即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述概念）實(shí)際上是水到渠成的事情了. 在這里學(xué)生的思維從一般走向特殊，實(shí)際上就有了化歸思想，只不過(guò)此時(shí)的體驗(yàn)是隱性的.

同樣，在圓周角定理的教學(xué)中，化歸思想也是存在的. 當(dāng)學(xué)生目測(cè)圓周角和圓心角時(shí)，他們未必能夠準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)兩角間的數(shù)量關(guān)系——這里涉及兩個(gè)重要的研究點(diǎn)：一是從量的角度來(lái)研究角的關(guān)系，實(shí)際上就是用“數(shù)”來(lái)描述“形”，這當(dāng)中有化歸思想；二是學(xué)生的目測(cè)更多的是一種幾何直觀，這是感覺(jué)的產(chǎn)物，而最終的目標(biāo)是尋找兩角間的數(shù)量關(guān)系，這是邏輯推理的產(chǎn)物. 此中有直覺(jué)向邏輯的轉(zhuǎn)換，也有直觀向推理的轉(zhuǎn)換，本質(zhì)上是化歸思想的體現(xiàn). 在具體的教學(xué)中，讓學(xué)生應(yīng)用等腰三角形以及“三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”等知識(shí)來(lái)證明，實(shí)際上需要學(xué)生在不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間進(jìn)行切換，學(xué)生所經(jīng)歷的是一個(gè)個(gè)的轉(zhuǎn)換過(guò)程.

綜合以上分析可以發(fā)現(xiàn)，在“圓周角”知識(shí)的教學(xué)中，要讓學(xué)生體驗(yàn)化歸思想的應(yīng)用是有著較大空間的. 只要教師細(xì)心設(shè)計(jì)、敢于放手，那么學(xué)生就能夠在這樣的空間里體驗(yàn)化歸思想. 與此同時(shí)，從上述分析還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生應(yīng)用化歸思想時(shí)，化歸思想其實(shí)并不是孤立存在的，其中涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等，而這些正與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)密切相關(guān)，有助于培養(yǎng)學(xué)生敏銳的數(shù)學(xué)眼光、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維；當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)確地說(shuō)出圓周角概念、準(zhǔn)確地闡述圓周角定理時(shí)，本質(zhì)上用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括學(xué)習(xí)收獲，此時(shí)概念與定理均可以視為數(shù)學(xué)模型. 所以從這個(gè)角度來(lái)看，說(shuō)化歸思想教學(xué)驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，一點(diǎn)都不夸張.

化歸思想教學(xué)的反思

初中數(shù)學(xué)知識(shí)涉及的數(shù)學(xué)思想方法非常多，在某一個(gè)具體的教學(xué)過(guò)程中，通常涉及多個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，這是一種現(xiàn)實(shí)情形. 當(dāng)教師面臨應(yīng)試和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的雙重任務(wù)時(shí)，一個(gè)睿智的教師應(yīng)當(dāng)能夠在兩者間取得平衡，也就是在保證學(xué)生應(yīng)試能力得到發(fā)展的同時(shí)，能夠?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì).

帶著這樣的思路來(lái)看化歸思想教學(xué)，筆者認(rèn)為就算在日常教學(xué)中，要讓化歸思想落地生根也并非難事. 像上述例子一樣，其實(shí)優(yōu)化教學(xué)所用的時(shí)間以及花費(fèi)的精力，并不比傳統(tǒng)教學(xué)多，但從教學(xué)效果來(lái)看，無(wú)論是學(xué)生對(duì)圓周角理解的程度，還是利用圓周角定理解題的水平，都比傳統(tǒng)教學(xué)好. 更理想的一種情形是：學(xué)生在這樣的課堂上，自主性能夠得到充分發(fā)揮，他們?cè)敢鈪⑴c到學(xué)習(xí)的過(guò)程中來(lái)，無(wú)論是在草稿紙上的作圖細(xì)節(jié)，還是在證明圓周角定理的推理過(guò)程中，幾乎所有學(xué)生的參與度都非常高. 哪怕是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常薄弱的學(xué)生，也能夠在自己的努力以及在他人的幫助下學(xué)得有聲有色. 如果注意觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，就可以發(fā)現(xiàn)他們對(duì)化歸思想的體驗(yàn)是非常深刻的，當(dāng)面對(duì)眾多復(fù)雜的角時(shí)，尋求思路的切換變得自然；當(dāng)用數(shù)量關(guān)系描述角的大小時(shí)，也是自然的……盡管學(xué)生此時(shí)并不能說(shuō)出化歸思想的概念，但是實(shí)實(shí)在在的體驗(yàn)過(guò)程，已經(jīng)足以幫助學(xué)生塑造化歸思想的認(rèn)識(shí). 而由化歸思想帶動(dòng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)其他要素的體驗(yàn)，其實(shí)也進(jìn)行得非常自然，這種數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法體驗(yàn)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的過(guò)程，有機(jī)地融合在一起，營(yíng)造出了一個(gè)良好的初中數(shù)學(xué)教學(xué)樣態(tài). 核心素養(yǎng)背景下的初中數(shù)學(xué)追求，意義正能體現(xiàn).