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    具抗原性和簡化Holling-IV型發(fā)生率腫瘤與免疫系統(tǒng)的定性分析

    2023-01-10 01:26:26賀芳芳朱惠延林晉章
    關(guān)鍵詞:無瘤初值平衡點

    賀芳芳,朱惠延,林晉章

    (南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽421001)

    0 引 言

    腫瘤是指細胞在某些因素的作用下,其基因發(fā)生改變,從而發(fā)生異常增殖。免疫系統(tǒng)是人體抵御外來病原菌侵犯的系統(tǒng)之一,其具有免疫監(jiān)視、防御和調(diào)控的作用。研究發(fā)現(xiàn),腫瘤細胞的表面抗原可能與正常細胞的相同,也可能不同,因此會發(fā)生免疫應(yīng)答[1]。另一方面,免疫系統(tǒng)是由免疫器官、免疫細胞以及免疫活性物質(zhì)組成的一個非常復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò),免疫系統(tǒng)可以促進和抑制腫瘤細胞的發(fā)展。目前,腫瘤和免疫系統(tǒng)之間的作用機理仍是在癌癥和免疫學(xué)中最具有挑戰(zhàn)的問題之一[2]。

    為了更好地理解這一復(fù)雜的生物變化過程,國內(nèi)外許多專家利用數(shù)學(xué)建模方法積極開展研究。早在1994年,V.A.Kuznetsov等提出腫瘤與免疫系統(tǒng)之間相互競爭的數(shù)學(xué)模型[3]

    (1)

    在模型(1)的基礎(chǔ)上,許多數(shù)學(xué)模型被相繼提出,有二維模型、三維模型、加入隨機項模型、加入時滯項模型、加入治療項模型等等,許多專家學(xué)者研究這些模型的動力學(xué)性質(zhì)[4-10]。1998年,D.Kirschner和J.C.Panetta在三維模型中用cT描述抗原性[6]。謝鑫等在M.Galach提出的二維模型中加入抗原項cT[8-9],得到模型

    (2)

    并對系統(tǒng)(2)進行了動力學(xué)性態(tài)研究。

    考慮到采用簡化Holling-IV型發(fā)生率能更好地反映生物現(xiàn)象[11],本文在系統(tǒng)(2)的基礎(chǔ)上,研究具簡化Holling-IV型發(fā)生率的模型,

    (3)

    1 模型化簡

    (4)

    (5)

    2 平衡點的存在性

    (6)

    (7)

    方程(7)等價于[12]

    y3+ay2+by+c=0。

    (8)

    z3+l1z+l2=0。

    (9)

    定理1 條件(H1)成立,當(dāng)l1=0且l2<0,或l1<0且l2=0,或Δ>0且l2<0,或Δ=0且l2<0,或Δ<0且l2<0時,系統(tǒng)(5)有且僅有一個有瘤平衡點;當(dāng)Δ=0且l2>0時,系統(tǒng)(5)存在兩個相等的有瘤平衡點;當(dāng)Δ<0且l2>0時,系統(tǒng)(5)存在兩個不同的有瘤平衡點。

    3 局部穩(wěn)定性

    在二維平面系統(tǒng)中,局部漸進穩(wěn)定的平衡點有兩種類型,焦點和結(jié)點。類型不同,系統(tǒng)的軌線收斂于平衡點的方式不同,本節(jié)首先分別討論無瘤平衡點P0(1,0)和有瘤平衡點P(x*,y*)的穩(wěn)定性,最后分析穩(wěn)定平衡點的類型。

    3.1 無瘤平衡點的穩(wěn)定性

    首先求得系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0(1,0)的Jacobi矩陣

    (10)

    接著分析當(dāng)γ=p時系統(tǒng)(5)在瘤平衡點P0附近的動力學(xué)性質(zhì)。

    令u=x-1,v=y并代入系統(tǒng)(5)中,得

    (11)

    接著在無瘤平衡點P0(1,0)處對系統(tǒng)(11)作線性化處理,得

    其系數(shù)矩陣對應(yīng)的特征值為λ1=-1和λ2=0,然后對系統(tǒng)(11)作非退化的線性變換,令

    系統(tǒng)(11)則變?yōu)?/p>

    (12)

    易知系統(tǒng)(12)滿足局部中心流行存在性的條件,故局部中心流形h(w)存在,設(shè)為

    z=h(w)=aw2+bw3+o(w3)

    利用中心流行的不變性,解得

    故系統(tǒng)(12)在原點的中心流行為

    (13)

    將式(13)代入系統(tǒng)(12)的第二式中,得

    (14)

    (15)

    其中:

    再次運用中心流行定理,故系統(tǒng)(15)在原點的中心流行為

    并代入系統(tǒng)(15)的第二式中,得

    (16)

    由式(16)知,無瘤平衡點P0(1,0)是不穩(wěn)定的。這是因為式(16)滿足γ=p,故p(p-γ)-γ=-γ<0,因此此時無瘤平衡點P0(1,0)必是不穩(wěn)定的。

    (17)

    定理2 系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0(1,0)局部漸近穩(wěn)定,當(dāng)滿足以下任意條件之一:

    1)γ

    系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0(1,0)不穩(wěn)定,當(dāng)滿足以下任意條件之一:

    1)γ>p;

    3.2 有瘤平衡點的穩(wěn)定性

    對于第2部分討論的任意有瘤平衡點P(x*,y*),系統(tǒng)(5)在P(x*,y*)處的Jacobi矩陣為:

    (H2)a11+a22<0。

    (H3)a11a22-a12a21>0。

    (H4)a11a22-a12a21=0。

    定理3 當(dāng)條件(H2)和(H3)成立時,系統(tǒng)(5)在有瘤平衡點P(x*,y*)處是局部漸進穩(wěn)定的。

    令u1=x-x*,v1=y-y*并代入系統(tǒng)(5)中,得

    (18)

    其中,

    對系統(tǒng)(18)作線性變換

    (19)

    其中,

    ξ2N(z1+ξ2w1,ξ1z1+w1)),

    ξ1M(z1+ξ2w1,ξ1z1+w1))。

    類似于3.1節(jié),求得式(19)在原點的局部中心流行為

    (20)

    其中,

    將式(20)代入式(19)的第二式,有

    o(w2)?Qw2+o(w2)。

    (H5)Q<0。

    定理4 當(dāng)條件(H2)和(H4)成立時,系統(tǒng)(5)存在高階有瘤平衡點P(x*,y*),當(dāng)條件(H5)成立時,有瘤平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。

    最后分析穩(wěn)定的有瘤平衡點P(x*,y*)的類型。定理3和定理4給出存在局部漸進穩(wěn)定的有瘤平衡點,對于系統(tǒng)(5)和這樣的有瘤平衡點,當(dāng)κ=trJ(P)2-4detJ(P)<0,P是焦點;當(dāng)κ≥0,P是結(jié)點。

    4 數(shù)值模擬

    本節(jié)利用Matlab對第3節(jié)的結(jié)論進行數(shù)值模擬分析。

    對于系統(tǒng)(5),選取參數(shù)p=6,η=50,q=5,δ=3,γ=2,和參數(shù)p=5,η=50,q=5,δ=10,γ=5進行數(shù)值模擬,分別如圖1(a)和圖1(b)所示,均收斂于點P0(1,0),這表明無瘤平衡點P0(1,0)局部漸近穩(wěn)定。

    圖1 系統(tǒng)(5)在P0(1,0)附近的軌線Fig.1 The phase portraits of system(5) around P0(1,0)

    選取參數(shù)p=10,η=50,q=0.5,δ=10,γ=10,如圖2(a)所示,存在有瘤平衡點P=(1.8377,0.6325),且該平衡點為穩(wěn)定的結(jié)點。此時l1<0,l2=0,條件(H2)、(H3)均成立,κ>0;更換參數(shù)值q=5,其他參數(shù)值不變,如圖2(b)所示,有瘤平衡點P=(1.8377,0.6325)是穩(wěn)定的焦點。此時l1<0,l2=0,條件(H2)、(H3)均成立,κ<0。

    選取參數(shù)p=10,η=70,q=5,δ=90,γ=5,此時Δ<0,l2>0,如圖3(a)所示,系統(tǒng)(5)存在兩個不同的有瘤平衡點,即P1=(0.4941,0.0135)和P2=(0.6569,0.8353)。P1不穩(wěn)定,此時平衡點P1滿足條件(H2),detJ(P)<0;P2為穩(wěn)定的結(jié)點,此時該平衡點滿足條件(H2)、(H3)和κ>0。更換參數(shù)值q=50,其他參數(shù)不變,如圖3(b)所示,平衡點P1不穩(wěn)定,此時P1滿足條件(H2),detJ(P)<0;平衡點P2為穩(wěn)定的焦點,此時該平衡點滿足條件(H2)、(H3)和κ<0。

    圖2 系統(tǒng)(5)在有瘤平衡點P的局部穩(wěn)定性Fig.2 The local stability of system (5) at the tumor equilibrium point P

    圖3 系統(tǒng)(5)在有瘤平衡點P1和P2的局部穩(wěn)定性Fig.3 The local stability of system (5) at the tumor equilibrium points P1 and P2

    圖4 系統(tǒng)(5)在無瘤平衡點P0和有瘤平衡點P的局部穩(wěn)定性Fig.4 The local stability of system (5) at the tumor-free equilibrium point P0 and the tumor equilibrium point P

    5 結(jié) 論

    本文研究了一類具抗原性和簡化Holling-IV型腫瘤與免疫系統(tǒng)相互作用的模型。首先對模型通過無量綱化處理以減少參數(shù),簡化模型。接著分析了平衡點的存在性。然后在平衡點存在的范圍內(nèi)研究了各個平衡點的局部動力學(xué)性質(zhì)。分析結(jié)果表明,模型會出現(xiàn)無瘤平衡點和有瘤平衡點同時穩(wěn)定的情況。這種雙穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象表明腫瘤的增長與初始狀態(tài)有關(guān),當(dāng)腫瘤細胞和效應(yīng)細胞的初值均很小時,或腫瘤初值很小,效應(yīng)細胞初值很大時,腫瘤細胞最終消失;當(dāng)腫瘤初值很大,而效應(yīng)細胞初值很小時,或腫瘤細胞和效應(yīng)細胞初值均很大,腫瘤趨于正平衡點。由此可見,盡早發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞的出現(xiàn),有助于腫瘤的消失。接著,本文給出了當(dāng)有瘤平衡點穩(wěn)定時,該平衡點是焦點還是結(jié)點的條件。最后利用Matlab進行數(shù)值模擬,支撐理論分析。

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