基于“四會”的高三數(shù)學復習教學實踐研究

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）17-0019-04

一、提出問題

在當前的高三數(shù)學復習課中，教師通常采取“知識點歸納、典型例題剖析、針對性訓練”的三環(huán)節(jié)教學方法.此方法明顯是教師在掌控課堂，學生僅作為聽眾被動接受知識.事實上，這種教條化的復習課，本質上就是簡單重復的練習.加之，部分教師在設計題目時往往以量制勝，容易忽視試題的難易梯度，如此一來，學生在復習時就難以把握知識的深淺，導致復習課高耗低效.

要實現(xiàn)高品質的復習教學，需要教師做到心中有學生，并以新課標為導向，采用適配學情的教學方法.教師只有做到“了解學生已有什么、缺什么、應該怎么做”，才能有的放矢地實施教學.復習課的重點不僅在于知識與方法的再現(xiàn)，還要注重知識的梳理和能力的培養(yǎng)，尤其是關鍵能力和良好思維品質的培養(yǎng)1.因此，本文以“學為中心”作為教學立足點，引導學生從“四會\"出發(fā)，在復習課中運用知識的同時形成新的理解，促成學生自主學習、深度學習，把發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的根本任務落實到課堂教學中.

二、高三數(shù)學復習教學中的“四會”策略

（一）會審視情境，激活思維

美國著名教育家杜威指出，思維的產生主要依賴于直接經驗的情境，思維的目的和結果也是由直接經驗的情境所決定的.科學的復習課必然是先創(chuàng)設問題情境，引領學生在情境中審問、思考，然后再由學生提出問題，開始探究、研析.學生通過分析，能夠洞悉情境背后的知識本質，并將其與已有的認知經驗建立有效鏈接，促成新認知圖式的建構，增強學以致用和活學活用的能力，豐富自身的認知體驗，拓展激活思維的途徑.這一過程有助于培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，由此將復習課的定位由“解題\"轉向“解決問題”.

[例1]（2025年八省聯(lián)考數(shù)學試卷第14題）已知曲線 ，兩條直線 l₁，l₂ 均過坐標原點o，l₁ 和 c 交于 M，N 兩點， l₂ 和 c 交于 P，Q 兩點.若ΔOPM 的面積為 ，則 Δ MNQ的面積為

命題者以學生不熟悉的曲線作為背景，考查學生綜合分析問題的能力.若學生不假思索地直接去求這幾個交點的坐標，運算量必然會大幅增加.因此，教師應以“多想少算”的理念為指引，引導學生審視試題情境.例如，從函數(shù)與方程的角度審視曲線，由 ΔOPM 的面積為 求 Δ MNQ的面積，必然需要分析圖形的特征.本題并未給出直線 l₁，l₂ 對應的方程，這表明題目的解答與直線的方程無關.而過原點的直線必然關于原點對稱，同時函數(shù) f（x）= 是奇函數(shù)，其圖象也關于原點對稱，由此可推導出 顯然，對本題的解答，只需要關注曲線 C 關于原點對稱這一特征，至于曲線的圖象形態(tài)，并不會影響解題的思路.

上述是一道以“對稱”為題眼的典型題目，考查學生是否具備極簡思維.在復習教學中，為豐富學生的基本活動經驗，教師可從多個維度激活學生的思維，并設置具有類似背景的題目.例如，設雙曲線 的左、右焦點為 過原點的直線與 T 交于 A，B 兩點 ，求 T 的離心率.

鑒于此，在高三數(shù)學復習教學中，遇到上述類似題目時，教師可從“幾何\"和“代數(shù)”兩個視角綜合審視研究對象的數(shù)學特征，將問題的數(shù)量關系轉化為圖形的性質和特征來研究，這有助于引導學生調整思維發(fā)展的整體方向，喚醒學生的問題意識，進而疏通知識線索脈絡.

（二）會變換思路，發(fā)展思維

會變換視角思考問題是一種能力，也是一種智力價值.在解題時，準確把握題目中的條件和結論之間的有機聯(lián)系，挖掘其中的隱蔽關系，并巧妙地變換思路.如此，便能夠從看似毫無破解頭緒的“新面孔”問題中捕捉到有用的信息.從知識層面來看，變換問題解決思路，不僅可以重溫所學知識，還可以拓展知識寬度，強化知識關聯(lián)，構建知識網絡，加深對基礎知識和基本技能的理解.從思想方法層面來看，變換問題解決思路，聯(lián)系所掌握的技能并作出合理判斷，遷移過往問題解決的經驗，可激發(fā)學生從多角度、多層面思考問題，促進思維的變通、流暢和靈活，推動學生思維發(fā)展，幫助學生解題悟道、啟智增慧[2].

[例2]已知 x，y 均為非負實數(shù)，且滿足 2x+y=1 求 的最小值.

求二元函數(shù)的最值問題，是復習課中能夠有效鍛煉學生思維的一類典型題目.在課堂教學中，教師可引導學生減元”例如本題中，將所求代數(shù)式的最小值轉化為求函數(shù) 的最小值，設 f（x）=t ，進一步轉化為 ?_t-x=? ，兩邊同時平方得 4x²-2（2-t）x+ 1-t²=0 ，由判別式是非負的，求出 Φ_t 的范圍.或者根據 的代數(shù)特征，去掉根號，取 x=rcosθ 那么由 2x+y=1 得2rcosθ+rsinθ=1 ，所求的代數(shù)式便化為 rcosθ+r= ，整理得 φ_φ）=1 ，于是 ，解得 上述兩種思路均從代數(shù)視角出發(fā)，關鍵在于對代數(shù)形式進行合理變換，將其轉化為學生熟悉的方程或者不等式.將函數(shù)、方程與不等式進行有機聯(lián)系，豐富了問題解決的途徑.

若從幾何的角度研究例2，將 2x+y=1 看作一條直線，則 可以理解為該直線上一點P（x₀，y₀） 的橫坐標 x₀ 與點 P 到原點 （0，0） 的距離之和.那么，求距離的最值問題就轉換為典型的“將軍飲馬”問題.如圖1所示，作出點 o 關于直線 2x+y=1 對稱的點Q ，并計算出點 Q 的坐標為 ，其中橫坐標 即為所求最小值.

圖1

復習教學中，教師在引導學生變換問題解決思路時，無形中實現(xiàn)了從“授魚\"到“授漁”再到“學漁”的轉變.這里的“學漁”意指學生學會思考，善于從不同的角度分析問題，把原本固定的題目變成“長流活水”復習教學中不一定要提倡一題多解，可以在有限的分析思路內豐富思維的層次性2.通過變換問題解決思路，學生可獲得高水平的思維訓練，實現(xiàn)從低階思維向高階思維的進階.

（三）會說理辨析，梳理思維

會辨析的重要價值在于遇到新問題時不盲目下結論，能透過現(xiàn)象看清本質，思維中會有意識地追根溯源，然后通過說理，讓自身自然的思考狀態(tài)轉變?yōu)樯朴谒伎?、嚴謹思考的狀態(tài)，讓整個分析與綜合過程包含質疑、推理、論證和辨析等環(huán)節(jié)，使理性思考成為一種習慣.實際上，在說理辨析的過程中，學生能無形中將碎片化的知識進行系統(tǒng)化梳理，完善存在缺漏的知識網絡，促使相關知識得到應用.由此可見，復習課中的說理辨析關鍵在于“辨”與“析”，二者能及時糾正學生對知識點的理解偏差.教師可將其作為重要的教學契機，通過梳理、辨析，探尋學生的思維盲點，疏通學生的思維堵點，發(fā)展學生良好的思維品質[].

例如，在不等式性質的專題復習時，常見如\"已知 -1 ，求出 λ，μ 即可.

由此可見，教師引導學生說理辨析，能夠從相似的問題情境中有效地提煉問題本質，引發(fā)學生的思維需求，讓學生從解題的方法和規(guī)律等方面進行反思和總結，從而促進學生思維回溯，使其感受知識的生成過程，促使思維進階.

（四）會遷移創(chuàng)新，升華思維

遷移是學習活動的重要規(guī)律.復習課的重要價值之一就是將已掌握的知識、技能以及在知識建構中蘊含的思維方法應用到新的問題情境中，這一過程不僅對學生探尋新知和掌握新技能產生影響，還能讓學生創(chuàng)造性地解決問題.遷移創(chuàng)新的內容是多元化的，既可以是具體的概念、方法和規(guī)律，也可以是思維策略和方式.換言之，遷移創(chuàng)新的目的不僅在于解決眼前的問題，更在于鞏固和發(fā)展學生的應用意識，讓學生綜合運用已有的認知經驗，將知識重新排列、組合并建立起新的聯(lián)系，在經歷被喚醒、提取、整合等心理過程中升華思維，進而達成“活化\"知識應用的目的[3].

例如，在復習解三角形中的范圍問題時，常見如“已知 ΔABC 的三個內角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c ，若 b=2，B=60^° ，求 a+c 的取值范圍\"這類題目.教師可以引導學生從“形\"和\"數(shù)\"兩個視角進行關聯(lián)，促進知識結構化.以正弦定理為突破口，得到 ，點 B 的運動軌跡是 ΔABC 外接圓的一部分;從余弦定理出發(fā)，得到cosB=α2+c2-b2，即 a²+c²-4=ac ，從而得出 a，c 的關系.

在上述例題中，若將求 a+c 的取值范圍視為求二元函數(shù)的最值問題，則學生需回顧解決二元函數(shù)范圍問題的基本方法.第一種思路是聯(lián)系基本不等式，由 a²+c²-4=ac ，得 （a+c）²=4+3ac? ，解得 a+c?4. 第二種思路是“減元”，由a+c=2R（sinA+sinC） 進一步計算可得 至此，雖然能完成題目的解答，但是在發(fā)展學生的思維能力方面明顯欠缺.教師繼續(xù)提問：“根據所求的 a+ ∣c∣ 還能聯(lián)想到哪些幾何量？能否從幾何的角度對問題進行變式？\"教師可以先提供一種思路，如由 a+ ∣c∣ ，聯(lián)想到周長 a+b+c ，再聯(lián)想到面積 ，即出現(xiàn)了 ac. 教師再順勢提問：“若取點 D 為 AC 的中點，從向量的角度出發(fā)，你能有什么收獲？\"引導學生得出：由中線 BD ，聯(lián)想到將 作為一組基底表示 ，即 ，平方后得 c²+ac ，結合 a²+c²-4=ac ，消元后，可轉化為求a²+c² 或 ac 的范圍問題.再進一步，教師也可豐富其他求解問題的視角，比如求 或 的取值范圍等.

誠然，在復習教學中，若能給學生提供一個遷移創(chuàng)新的平臺，學生定會回饋令人驚喜的學習效果.教師要始終圍繞“關鍵能力提升\"這一目標，促進學生對知識的內化.引導學生對所學的知識進行回憶、整理與重構，能使學生的\"四基、四能\"在復習課中獲得不同程度的提升.

三、教學啟示

陶行知先生曾說：“教而不做，不是教；學而不做，不是學.”因此，在高三數(shù)學復習課中，教師應將“教\"“學\"“做”相結合，通過典例呈現(xiàn)、點撥引領、誘導思考、總結反思等方式給學生提供審視情境、變換思路、說理辨析及遷移創(chuàng)新的機會，以促使學生深度參與課堂教學活動，并在“學有所思、學有所問”的學習體驗中厘清解決問題的思維脈絡.如此一來，有助于學生對新獲取的知識和經驗進行系統(tǒng)整理，使其對知識結構形成全新的認識，并培養(yǎng)其對研究問題所涉及的知識內容進行深層次加工的意識與能力，進而發(fā)展思維能力，這才是高三數(shù)學復習課理應達到的深度.通過凝練“四會”的復習教學實踐路徑，筆者獲得如下教學啟示.

（一）以“三個理解”為根基設計教學

通過教學實現(xiàn)“知識本位”向“素養(yǎng)本位”的轉變，是新課程改革的重要關注點之一.因此，教師的教學設計思路尤為關鍵，在理解數(shù)學學科本質的同時，必須兼顧理解學生和理解教學.從這三個理解維度展開深入思考，能更精準地設置突出重點和突破難點的核心素養(yǎng)目標.對復習課而言，既要講究復習的合理性、針對性，又要注重復習的發(fā)展性、實效性.尤其是對于抽象知識的復習，要有適度取舍的理念.比如，僅快速地羅列和重復新授課時的教學內容，難以提高學生的學習興趣，因為這種方式無法有效激發(fā)學生的內驅力.基于“三個理解”來設計教學，應將教材作為備課起點，合理選取典例，避免片面追求“新、奇、難”，著重夯實學生的基礎知識和強化學生的基本技能.通過復習教學，讓學生在梳理知識的過程中進行知識網絡構建，在重視解題技巧的同時更加關注思維進階，并深化對本源性知識的深層次理解.例如，在“基本不等式”的教學中，教師需要在理解“基本不等式\"的本質、理解“基本不等式”的應用以及理解學生當前掌握“基本不等式”的思維層次的基礎上開展系列探究和變式教學，從而厚植“基本不等式\"模型素養(yǎng)，發(fā)展學生函數(shù)思想，促進他們深度學習.

（二）以問題為中心統(tǒng)領復習教學

“問題”是復習教學中串聯(lián)并鞏固知識的交織點.貫穿在復習課中的“問題”需要承載知識回顧、激發(fā)思維、檢查診斷的功能，同時又是增進師生之間的對話交流，啟發(fā)學生思維，鼓勵學生主動參與，實現(xiàn)預期教學目標的重要手段.由于不同層次的學生對學習內容的理解不同，對應的核心素養(yǎng)目標定位也不同.因此，教師要以問題為中心統(tǒng)領復習教學，逐步培養(yǎng)學生的問題意識，讓學生學有所思，學有所悟.通過教師提出的問題，學生可厘清知識的來龍去脈，積累基本的活動經驗，并對學習內容進行深度加工，從而形成對所學知識的全新認識，加強對同一研究對象有不同表征視角的能力培養(yǎng).例如，對于“隱藏圓的軌跡”這一問題，可以基于如下三種思路表征來設置問題： ① 已知 A（0，1），B（4，1） 直線 3x-4y+a=0 上存在點 c ，滿足 求實數(shù) α_a 的取值范圍； ② 已知 A（1，1），B（3，1） ，直線3x-4y+a=0 上存在點 C ，滿足 AC²+BC²=10 ，求實數(shù) Φ_a 的取值范圍； ③ 已知 A（3，1），B（9，1） ，直線 3x- 4y+a=0 上存在點 c ，滿足 BC=3AC ，求實數(shù) Ψ_a 的取值范圍.將“圓\"可能出現(xiàn)的基本形式通過上述系列問題來呈現(xiàn)，能使學生充分體會到轉化與化歸思想，將知識進行有機串聯(lián)，進而提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).

（三）以思維為核心促進能力發(fā)展

復習教學旨在促進學生認知的深化與思維方式的優(yōu)化.學生認知思維的優(yōu)化有利于完善知識結構、打破思維定式、統(tǒng)整思維策略和思想方法；有利于在延伸拓展中對比提煉相似問題的共同本質，并能在教師的提示或自主感悟過程中展開審辨，如思考“如何解決這個問題”“這個問題為什么這么解”“這樣的問題還能怎么解”等，從而深化對知識的理解，優(yōu)化問題解決的方法.

例如，在“直線與圓的位置關系”的復習中，教師可探照學生的思維發(fā)展線路，引導學生概括出如圖2所示的思維導圖.

圖2“直線與圓的位置關系\"思維導圖

基于學生的思維發(fā)展，以思維導圖的形式提煉關鍵內容信息，可以使原本模糊的概念變得清晰，使原本碎片化的內容變得系統(tǒng)化、完整化.這不僅可以不斷促進學生的理解和鞏固，為學生的學習鋪設清晰的路徑，還可以對標新課標，落實“四基”，培養(yǎng)和發(fā)展學生的“四能”.

[參考文獻］

[1」羅建宇.從幾個問題談高三數(shù)學復習有效性[J].數(shù)學通報，2020，59（12）：41-44.

[2」陳麗萍.讓數(shù)學復習課“活”起來[J].中小學教學研究，2015（2）：55-58.

[3]毋曉迪，陳輝坤，鞠騰基.凝練習題教學路徑發(fā)展過程分析能力[J].中學數(shù)學雜志，2023（11）：11-16.

（責任編輯 羅艷）