地震波動(dòng)數(shù)值模擬中人工邊界條件研究討論

關(guān)鍵詞地震波動(dòng)數(shù)值模擬；人工邊界條件；精度控制原理；數(shù)值穩(wěn)定性；復(fù)雜波動(dòng)中圖分類號(hào)：P315.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-7780（2025）08-0435-11doi： 10.19987/j.dzkxjz.2024-078

Brief discussion on the artificial boundary conditions in numerical simulation of seismic wave motion

Zhang Xun^1） ， Xing Haojie2）， Zeng Ruixuan2）， Li Xiaojun1，2）

1） State Key Laboratory ofBridge Engineering Safetyand Resilience，Beijing University of Technology，Beijing100124， China 2） Institute of Geophysics， China Earthquake Administration， Beijing 1Ooo81， China

AbstractResearchers in the field of numerical simulation of seismic wave motion have been suffring from the challenge inunderstanding and studying artificial boundaryconditions （ABC），which is mainlyatributed tothelackof systematic discussion and effctive integration ofABCoriginating from various wave problems.To establish asystematic overallunderstanding of the essence of ABCand the basic performance of various specific ABC， we conducted a simple， intuitive，andlogicallycleardiscussiononthe importantissues ofABC，including their essenceand primarymethods，the theoryofaccuracycontrol，and numericalstability.ABC is essentiallyacollective name forallcomputationmethods used to calculate the motion on an artificialboundary caused byout-going waves.The computational modeof ABC can be intuitivelyclasified into three fundamental branches：space-timeextrapolation，stressequilibriumonanartificial boundary，andregional attenuation.Wediscuss thesimilaritiesonthe implementation pattm，thetheoryof accuracy control，andtheumericalstabilityfortheABCinthesame branch，aswellasthosediscrepanciesamongdierentABC branches.Consequently，a number of important issues associated with ABC areclarified，suchas the following viewpoints. Liao's time-space extrapolation rule is the most fundamental principle for the accuracyevaluations of allthe extrapolation-typeand stresstype ABC.The stability problem forLiao’s ABCapplied in afinite-element wave motion simulationismainlycausedbythedificultyembeddedinacombinationof theboundary’sfinite-diference-type formula andthe iner-domain finite-element formula.Atenuation-type ABC provide anobservation view angle that iscompletely different from thatof extrapolation-and stres-type ABC; thus，they playan irrplaceable and uniquerole in artificial boundary problems.

Keywordsnumerical simulation of seismic wave motion; artificial boundary condition; theory of accuracy control： numerical stability; complex wave problems

0 引言

地震波動(dòng)數(shù)值模擬是地震工程、地球物理、地震學(xué)等地震科學(xué)領(lǐng)域重要的基礎(chǔ)共性技術(shù)，其中人工邊界條件（artificialboundarycondition，ABC）[1-2]是需要解決的重點(diǎn)難點(diǎn)問(wèn)題。ABC是計(jì)算外行波引起的人工邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的各種方法的統(tǒng)稱，它對(duì)波動(dòng)模擬的精度、穩(wěn)定性、計(jì)算效率以及外部波動(dòng)輸入都具有關(guān)鍵性影響。自20世紀(jì)60年代波動(dòng)數(shù)值模擬方法隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)興起以來(lái)，研究者們針對(duì)彈性波、聲波、電磁波、流體波動(dòng)、固液兩相介質(zhì)波動(dòng)等不同波動(dòng)問(wèn)題已發(fā)展出幾十上百種ABC。大致按問(wèn)世的時(shí)間順序，較為著名的ABC有粘性邊界[3]、一致邊界（或薄層法）[4]、旁軸近似邊界[5]、廖氏透射邊界[]函數(shù)衰減層邊界（又稱為海綿邊界）[7、Higdon單程波方程邊界（又稱為多向透射邊界）[8]、無(wú)限元、邊界元[1]、比例邊界有限元[]、完美匹配層邊界[12]、粘彈性邊界[13-15]、高階無(wú)反射邊界[16-19]、高階應(yīng)力型邊界[20-24]等。這些工作表明現(xiàn)有ABC數(shù)量眾多且不斷向深人化、復(fù)雜化發(fā)展，但是在波動(dòng)模擬實(shí)踐中如何選出最合適的ABC并進(jìn)行優(yōu)化使用仍然經(jīng)常面臨困難。這在一定程度上與目前關(guān)于人工邊界條件的理論與公式體系、主要ABC的精度控制原理及數(shù)值穩(wěn)定性、不同波動(dòng)物理過(guò)程及數(shù)值離散格式與ABC之間的關(guān)系等基本問(wèn)題尚缺乏較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)有關(guān)。

如何理解掌握、恰當(dāng)使用，以及研究改進(jìn)人工邊界條件給波動(dòng)數(shù)值模擬領(lǐng)域研究者們帶來(lái)了巨大挑戰(zhàn)。這一方面是因?yàn)锳BC的概念和方法本身較為復(fù)雜，另一方面則歸結(jié)為目前關(guān)于ABC的討論和研究忽視了從整體上對(duì)不同波動(dòng)領(lǐng)域的ABC研究工作進(jìn)行歸納與整合。這使得波動(dòng)數(shù)值模擬領(lǐng)域研究者們常?？嘤陔y以找到學(xué)習(xí)和研究人工邊界條件的切入點(diǎn)，無(wú)從建立關(guān)于不同ABC基本性能的具象化了解。本文將對(duì)人工邊界條件的概念與方法、精度控制原理、數(shù)值穩(wěn)定性等基本問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單直觀的脈絡(luò)性分析，以期為認(rèn)識(shí)和研究波動(dòng)數(shù)值模擬中的人工邊界問(wèn)題提供一些有益的參考。

1人工邊界條件概念與方法的直觀理解

從人工邊界條件是計(jì)算區(qū)域的外行波引起的人工邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的計(jì)算方法這個(gè)本質(zhì)特征出發(fā)，可以自然地梳理出一套關(guān)于人工邊界概念和方法的直觀理解。絕大多數(shù)ABC計(jì)算外行波引起的人工邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方式可歸結(jié)為時(shí)空外推、應(yīng)力平衡和區(qū)域衰減3類模式，相應(yīng)地可分別稱之為外推型ABC、應(yīng)力型ABC和衰減型ABC。

1.1 外推型ABC

圖1繪出了關(guān)于廖氏透射邊界（multi-transmittingformula，MTF）的直觀理解。廖氏透射邊界表達(dá)式為

式中， C_j^N=N！/[j！（N-j）！]o 它表示任意人工邊界節(jié)點(diǎn)0在 p+1 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)，可以由模型內(nèi)部一條直線上相對(duì)于人工邊界節(jié)點(diǎn)間距為 （jΔt，jc_aΔt）（c_a 為人為設(shè)定的計(jì)算波速， Δt 為時(shí)間步長(zhǎng)）等距離分布的若干離散參考點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)，按二項(xiàng)式規(guī)則運(yùn)算得到。若定義時(shí)-空移動(dòng)算子 B_mⁿu₀^p+1=u_ma^p+1-n 和單位算子 I， 則可以得到透射邊界的另一種表達(dá)形式： 0，這個(gè)算子表達(dá)式顯示了透射邊界與二項(xiàng)式之間的密切聯(lián)系。展開透射邊界表達(dá)式，得到前三階MTF具體形式依次為： u₀^p+1=u_1a^p ， u₀^p+1=2u_1a^p-u_2a^p-1 和 u₀^p+1= 3u_1a^p-3u_2a^p-1+u_3a^p-2 ，即一階、二階、三階MTF分別使用了一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)離散參考點(diǎn)的波場(chǎng)值來(lái)外推人工邊界節(jié)點(diǎn)的波場(chǎng)值。MTF公式實(shí)質(zhì)上是數(shù)值分析中的高階向后有限差公式在波動(dòng)模擬中的直接應(yīng)用。對(duì)于一維函數(shù) g ，劃分等距節(jié)點(diǎn)0，1，2定義0點(diǎn)的一階、二階、三階、…，向后有限差為：

若令0點(diǎn)的 N 階向后有限差為零： Δ^?Ng₀=0 ，所得到的0點(diǎn)函數(shù)值的外推公式與MTF表達(dá)式在形式上完全一致。區(qū)別僅在于MTF公式的等距節(jié)點(diǎn)為沿一條直線的外行波視傳播的空間-時(shí)間波場(chǎng)中一條傾斜直線方向上等距離分布的時(shí)-空節(jié)點(diǎn)，該傾斜直線方向由時(shí)間步長(zhǎng)和計(jì)算波速共同確定。由于向后有限差公式是數(shù)值分析中嚴(yán)格的數(shù)學(xué)公式， N 階向后有限差公式對(duì)于 N-1 次多項(xiàng)式是精確的，所以N 階向后有限差公式的代數(shù)精度為 N-1 階。這種明確的代數(shù)精度是MTF邊界提高階次 N 能夠迅速提高外推精度的數(shù)學(xué)原理（圖1）。由于向后有限差公式對(duì)函數(shù)形式?jīng)]有限制，所以MTF公式可以無(wú)差別地應(yīng)用于標(biāo)量波或矢量波的各個(gè)運(yùn)動(dòng)分量、有限差分/有限元/譜元等不同內(nèi)域離散格式、邊節(jié)點(diǎn)/交界面節(jié)點(diǎn)/角節(jié)點(diǎn)等不同位置的人工邊界節(jié)點(diǎn)等，也就是說(shuō)，MTF邊界具有普適性。MTF邊界包含計(jì)算波速 c_a 和邊界階次 N 兩個(gè)控制參數(shù)。由圖1可知，若人工邊界附近的外行波為理想平面波，當(dāng)計(jì)算波速 c_a 取值為該平面波的視波速時(shí)，只需使用一階MTF公式u₀^p+1=u_1a^p ，就能精確地推算出人工邊界節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于任意外行波情形，一階MTF計(jì)算精度有所不足，但只需適當(dāng)提高邊界階次 N_?rosun ，就能迅速提高時(shí)空外推得到的邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性。

視傳播波場(chǎng)在時(shí)-空外推線方向上波場(chǎng)曲線（圖1中曲線 g ）的彎曲程度決定了需要使用的MTF邊界階次 N 不失一般性，這里以一種平面波外行波和一種由不同角度平面波疊加而成的復(fù)雜外行波為例，簡(jiǎn)要探討實(shí)際波動(dòng)模擬中曲線 g 的可能形狀及其與MTF計(jì)算波速 c_a 和邊界階次 N 之間的關(guān)系。假定平面波和復(fù)雜波動(dòng)的視傳播波場(chǎng)由以下公式表示。

平面波： 復(fù)雜波動(dòng)：

其中，平面波為一個(gè)高斯脈沖以 5m/s 的視波速射向人工邊界。復(fù)雜波動(dòng)為3個(gè)不同角度的高斯脈沖平面波的疊加波動(dòng)射向人工邊界，它們的視波速分別為 5m/s ， 6m/s 7m/s ，幅值分別為 1.3m ， 1m 0.7m 圖2a和圖2c為平面波和復(fù)雜波動(dòng)的一維視傳播過(guò)程在空間-時(shí)間坐標(biāo)中展布而成的“二維靜態(tài)波場(chǎng)”。對(duì)于平面波情形，若將人工邊界選定在坐標(biāo)s=20m 處，計(jì)算時(shí)刻選定在 t=3s ，則計(jì)算波速分別取 c_a=3m/s 4m/s ， 5m/s ， 7m/s ， 10m/s 時(shí)，計(jì)算時(shí)刻之前2s（即 t=1～3s 時(shí)間區(qū)間）和之前 0.3s （即 t=2.7～3s 時(shí)間區(qū)間）范圍內(nèi)MTF邊界時(shí)空外推方向上的波場(chǎng)曲線 g 的形狀如圖2b所示。對(duì)于復(fù)雜波動(dòng)情形，若將人工邊界選定在坐標(biāo) s=40m 處，計(jì)算時(shí)刻選定在 t=6s ，則計(jì)算波速分別取 c_a=3m/s 5m/s ， 7m/s ， 9m/s ， 12m/s 時(shí)，計(jì)算時(shí)刻之前2s（即t=4～6s 時(shí)間區(qū)間）和之前 0.3s （即 t=5.7～6s 時(shí)間區(qū)間）范圍內(nèi)MTF邊界時(shí)空外推方向上的波場(chǎng)曲線g 的形狀如圖2d所示。由于圖2中小窗口內(nèi)的絕大多數(shù)曲線 g 比較接近傾斜直線，所以二階MTF邊界是最為常用且相對(duì)高效的人工邊界；與之相比，一階邊界常常精度不足，三階及以上邊界往往在精度提

升的同時(shí)容易出現(xiàn)失穩(wěn)。

這種由廖氏透射邊界所揭示的人工邊界表達(dá)式對(duì)于任意波動(dòng)類型和幾何構(gòu)型的普適性、增加邊界階次 N 能夠穩(wěn)步提高邊界精度、邊界計(jì)算人工波速c_a 對(duì)模擬精度的影響規(guī)律等，實(shí)際上也適用于其他所有外推型ABC。外推型ABC的概念由作者團(tuán)隊(duì)在文獻(xiàn)[25-26]中提出，指利用邊界附近一組節(jié)點(diǎn)在前若干時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)來(lái)外推人工邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一系列人工邊界。符合這個(gè)定義的ABC包括MTF邊界和國(guó)際上經(jīng)典的旁軸近似邊界、Higdon單程波方程、Givoli-Neta高階無(wú)反射邊界、Hagstrom-Warburton高階無(wú)反射邊界、任意大角度波動(dòng)方程等。這些邊界大多為以下3個(gè)基本邊界公式的特例或者可以由它們轉(zhuǎn)化得到。

c_aj -MTF邊界公式： （1）c_aj -Higdon邊界公式： （2）輔助變量公式： （3）

式中， u 表示人工邊界附近的波場(chǎng)， s 為一維坐標(biāo)，沿邊界法線指向模型內(nèi)部； N 為邊界階次； c_aj（j= 1，…，N） 為一組計(jì)算波速； B（c_aj） 為空間-時(shí)間后推算子，用于確定出相對(duì)于人工邊界節(jié)點(diǎn)在時(shí)間上向之前移動(dòng) Δt 且在空間上沿邊界法線向模型內(nèi)部移動(dòng) c_ajΔt 距離的一個(gè)離散參考點(diǎn)， I 為單位算子； N 個(gè)I-B（c_aj） 算子相乘能夠確定出多個(gè)離散參考點(diǎn)，組成外推邊界的計(jì)算節(jié)點(diǎn); ?₁ ， ?₂ ，…， ?_N-1 為一組輔助變量。

現(xiàn)有主要外推型ABC與公式 （1）～（3） 的關(guān)系為：廖氏透射邊界為式（1）中各個(gè)計(jì)算人工波速 c_aj （號(hào) （j=1，…，N） 取相同值時(shí)的特例。Higdon邊界8為式（2）中局部坐標(biāo) s 用整體坐標(biāo) x，y 或 z 替換，同時(shí)計(jì)算人工波速 c_aj 用 c/cosθ_j 或 c_p/β_j 替換得到的形式。旁軸近似邊界[5由公式（2）先改寫成Higdon邊界形式，再利用標(biāo)量波方程消除邊界法向?qū)?shù)得到。Givoli等和Hagstrom等[16-19]的高階無(wú)反射邊界都是從輔助變量公式（3）出發(fā)，結(jié)合標(biāo)量波動(dòng)方程消除輔助變量的邊界法向?qū)?shù)得到。任意大角度波動(dòng)方程邊界[27基于由有限元離散模型導(dǎo)出的半無(wú)限域動(dòng)力剛度的矩陣表達(dá)式構(gòu)建，而這與旁軸近似邊界中擬微分算子的有理近似高度相似。因此，各種不同形式的外推型ABC使用相同的控制參數(shù)（邊界階次和一組計(jì)算波速），通過(guò)某種等價(jià)的中間形式相聯(lián)系，并且在數(shù)值模擬中表現(xiàn)出相似的精度和穩(wěn)定性。

1.2 應(yīng)力型ABC

應(yīng)力型ABC包括粘性邊界[3]、粘彈性邊界[13-15]薄層法[4]、DtN邊界[28]、動(dòng)力剛度[29]、集中參數(shù)模型[30]、連分式邊界[31、各種高階應(yīng)力型人工邊界[20-24]等。這類邊界具有完全不同于外推型ABC的表達(dá)形式和施加方式。圖3給出了關(guān)于應(yīng)力型ABC的直觀理解：邊界表達(dá)形式為截面應(yīng)力與波動(dòng)位移、速度或加速度之間的關(guān)系式；施加方式為將邊界表達(dá)式中的截面應(yīng)力作為被截掉的外部無(wú)限域?qū)τ?jì)算區(qū)域的作用力施加在人工邊界上，具體來(lái)說(shuō)，是施加在波動(dòng)有限元模型的自由邊界上。由于作用力表達(dá)式中含有待求解的未知人工邊界節(jié)點(diǎn)位移、速度或加速度，所以實(shí)際上是在原來(lái)有限元自由邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的質(zhì)量、阻尼、剛度系數(shù)上額外附加了由人工邊界表達(dá)式所定義的邊界質(zhì)量、邊界阻尼和邊界剛度系數(shù)，進(jìn)而形成新的力學(xué)平衡方程，以求解出合理的人工邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。值得注意的是，目前關(guān)于應(yīng)力型ABC的研究和應(yīng)用幾乎都是基于有限元離散格式進(jìn)行的，作者未見應(yīng)力型ABC與有限差分格式的結(jié)合。在有限差分格式中使用應(yīng)力型ABC所面臨的困難主要在于：以圖3所示的粘彈性邊界表達(dá)式為例，實(shí)際施加該邊界時(shí)只施加了等號(hào)右邊的部分，而等號(hào)左邊的正應(yīng)力 σ≡（λ+2G）?u/?r 和切應(yīng)力 τ≡ 充當(dāng)?shù)氖桥c內(nèi)域離散格式的接口。這個(gè)接口能夠自然地與以力的形式表達(dá)的有限元?jiǎng)恿Ψ匠?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/0820/i87oepnBdK6wdwcRDhxo5Y.webp"/> 相銜接，而不便于與通常以位移形式表達(dá)的有限差分格式相銜接。此外，應(yīng)力型邊界表達(dá)式需要沿模型邊界進(jìn)行積分，轉(zhuǎn)換為力的形式之后，才能與有限元模型無(wú)縫銜接；若在有限差分模型的邊界上對(duì)應(yīng)力型邊界表達(dá)式進(jìn)行積分，得到的場(chǎng)函數(shù)的量綱則與內(nèi)域格式不匹配。

應(yīng)力型ABC因其與動(dòng)力剛度的密切聯(lián)系，以及與有限元模型的無(wú)縫銜接，在地震工程領(lǐng)域尤其是動(dòng)力土-結(jié)相互作用分析方面得到廣泛研究和應(yīng)用。但是關(guān)于應(yīng)力型ABC的理論框架以及它與其他類型ABC之間的區(qū)別和聯(lián)系的研究還相對(duì)較少，這不利于較好地了解應(yīng)力型ABC的精度特征以及在復(fù)雜波動(dòng)模擬中充分發(fā)揮應(yīng)力型ABC的優(yōu)勢(shì)，如善于處理低頻波動(dòng)甚至靜力問(wèn)題、具有很好的長(zhǎng)持時(shí)穩(wěn)定性等。已有研究初步表明，應(yīng)力型ABC的精度特征可以參考外推型ABC的精度原理進(jìn)行判斷，二者之間的聯(lián)系可以從如下一階Higdon邊界公式與粘性邊界公式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系窺知一二

若式中計(jì)算波速 c_s 變?yōu)榭烧{(diào)波速 c_a=c_s/cosθ_j θ_j 為人為設(shè)定的角度調(diào)節(jié)參數(shù)，則有：

式（4）和式（5表明，應(yīng)力型ABC與外推型ABC 之間存在密切聯(lián)系。粘性邊界與一階MTF邊界或

Higdon邊界具有相當(dāng)?shù)木?；?yīng)力型ABC中的計(jì)算波速 c_scosθ_j 與外推型ABC中的 c_a=c_s/cosθ_j 相對(duì)應(yīng)。

1.3 衰減型ABC

衰減型ABC包括函數(shù)衰減層（海綿邊界）、無(wú)限元[9]、漸增阻尼層[32]、瑞利阻尼層[33]、比例邊界有限元[1、各種形式的完美匹配層[12，34]等。不同于外推型ABC和應(yīng)力型ABC直接計(jì)算人工邊界節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，衰減型ABC是間接處理人工邊界的方法。圖4給出了關(guān)于衰減型ABC的直觀理解：將人工邊界置于計(jì)算模型內(nèi)部并在其與外部固定/自由邊界之間的狹窄區(qū)域內(nèi)將外行波衰減殆盡；窄帶區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)波動(dòng)衰減的機(jī)制有多種，包括采用衰減函數(shù)（函數(shù)衰減層、無(wú)限元）、增加材料阻尼（漸增阻尼層、瑞利阻尼層）、采用特殊坐標(biāo)系構(gòu)建衰減波動(dòng)方程（比例邊界坐標(biāo)下的比例邊界有限元方程、復(fù)數(shù)伸展坐標(biāo)中的完美匹配層波動(dòng)方程）。早期衰減型邊界面臨的主要挑戰(zhàn)是衰減程度如何確定和怎樣避免在內(nèi)域交界面上產(chǎn)生新的反射誤差。完美匹配層邊界解決了衰減效率和與內(nèi)域銜接的問(wèn)題，不過(guò)出現(xiàn)了形式復(fù)雜和通用性差等不足。

衰減型ABC提供了一種跳出外推型ABC和應(yīng)力型ABC之外的視角，對(duì)于認(rèn)識(shí)和解決復(fù)雜波動(dòng)的人工邊界問(wèn)題有著其獨(dú)特、不可替代的作用。例如在進(jìn)行軟土場(chǎng)地中地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算時(shí)，即使不使用人工邊界常常也影響不大，參照瑞利阻尼層邊界可知軟土層相當(dāng)于一種衰減層人工邊界；又如在交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分波動(dòng)模擬中，應(yīng)力型ABC無(wú)法使用，外推型ABC精度和穩(wěn)定性較差，此時(shí)函數(shù)衰減層邊界和完美匹配層邊界成為較優(yōu)的選擇；再者，衰減型ABC能夠與其他人工邊界方法結(jié)合使用以達(dá)到優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，如近年來(lái)問(wèn)世的混合吸收邊界[35]、比例邊界完美匹配層[]等。

2人工邊界條件的精度控制原理

作者分析認(rèn)為，外推型ABC和應(yīng)力型ABC的精度控制原理往源頭上最終可以追溯到MTF邊界。也就是說(shuō)，MTF邊界的時(shí)空外推原理是最具解釋力的根本性原理，其他外推型ABC的精度理論往往適用范圍有限或未觸及問(wèn)題的根本，而應(yīng)力型ABC則需要借助于外推型ABC來(lái)判斷或比較其模擬精度。簡(jiǎn)要分析如下：

（1）目前微分方程形式外推型ABC的理論基礎(chǔ)主要是旁軸近似邊界[5和Higdon單程波方程邊界[8]，高階外推型ABC[16-19]大多由二者轉(zhuǎn)化得到。旁軸近似邊界由波動(dòng)方程頻散關(guān)系擬微分算子的有理近似得到，這種近似具有數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性，但是它只適用于標(biāo)量波動(dòng)方程（如聲波和SH波動(dòng)），而無(wú)法用于矢量波動(dòng)方程（如彈性波動(dòng)）。

（2）Higdon邊界的表達(dá)式類似于式（2），這種多個(gè)波動(dòng)微分算子乘積的形式最初是Higdon從一些離散邊界表達(dá)式中總結(jié)出來(lái)的，并未經(jīng)過(guò)完善的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，也沒(méi)有使用某種已有的數(shù)學(xué)公式。Higdon在將該邊界用于彈性波模擬時(shí)，直接將二階邊界分別用于 x 和 y 兩個(gè)方向的節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并未解釋其原因；另外，Higdon指出當(dāng)邊界算子中的波速接近 c_p 時(shí)，主要吸收P波且對(duì)S波亦具有一定吸收作用，反之，當(dāng)邊界算子中的波速接近 c_s 時(shí)，主要吸收S波同時(shí)對(duì)P波亦具有一定吸收作用?？梢哉f(shuō)，Higdon雖然給出了正確的邊界形式并部分地指出了參數(shù)影響特征，但是并未觸及外推型ABC精度控制原理的本質(zhì)。

（3）應(yīng)力型ABC將各種截面應(yīng)力與波動(dòng)位移、速度或加速度之間的關(guān)系式作為邊界分布力施加到有限元模型的做法，無(wú)法從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)角度直觀地判斷其模擬精度。根據(jù)1.2節(jié)的分析可知，應(yīng)力型ABC可以通過(guò)與外推型ABC的類比來(lái)判斷其精度特征。如粘性邊界[3]、粘彈性邊界[13-15]和高階應(yīng)力型ABC^[20-24] 可以分別與一階MTF、一階小量修正MTF以及高階 MTF^[25-26] 進(jìn)行類比，根據(jù)所采用的計(jì)算波速、衰減因子和邊界階次等來(lái)判斷其精度。

（4）根據(jù)1.1節(jié)內(nèi)容可知，MTF邊界的離散表達(dá)式與Higdon邊界的微分方程形式具有等價(jià)性，但其中只有MTF邊界的 g₀=g₁（ （一階）， g₀=2g₁-g₂ （二階），g₀=3g₁–3g₂–3g₃ （三階）等是已有的數(shù)學(xué)公式，即關(guān)于離散點(diǎn)函數(shù)值的高階有限差定義式。因此，MTF的精度控制原理（或稱為時(shí)空外推原理）具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可作為關(guān)于外推型ABC和應(yīng)力型ABC精度控制的根本性原理。

綜上，應(yīng)力型ABC的精度需要參照外推型ABC加以判斷；高階外推型ABC的精度由用于導(dǎo)出它的旁軸近似邊界或Higdon邊界決定；旁軸近似邊界只適用于標(biāo)量波動(dòng)問(wèn)題，而且可以由Higdon邊界轉(zhuǎn)化得到；Higdon邊界是一種合理的基礎(chǔ)性邊界形式，且與離散形式的MTF邊界具有等價(jià)性，但是其建立過(guò)程綜合了部分?jǐn)?shù)學(xué)推導(dǎo)和若干直覺推廣；MTF邊界是數(shù)學(xué)領(lǐng)域現(xiàn)有的離散點(diǎn)函數(shù)值高階有限差公式在波動(dòng)問(wèn)題中的直接應(yīng)用，其精度由嚴(yán)格的代數(shù)精度予以保證。因此，MTF邊界的時(shí)空外推原理是外推型ABC和應(yīng)力型ABC精度控制的根本性原理。在各種不同的外推型或應(yīng)力型ABC中，只要找出其邊界階次和計(jì)算波速，就可以參照MTF邊界原理對(duì)其精度做出判斷。

衰減型ABC的精度控制原理主要包括兩方面內(nèi)容，一是不同衰減機(jī)制的衰減效率，二是衰減層與內(nèi)域銜接處是否會(huì)人為制造出新的界面反射。函數(shù)衰減層（海綿邊界）[所采用的衰減函數(shù)或無(wú)限元[中使用的衰減型函數(shù)，其衰減效率遠(yuǎn)不如完美匹配層中基于復(fù)數(shù)伸展坐標(biāo)所實(shí)現(xiàn)的波動(dòng)衰減。完美匹配層[12，34中復(fù)數(shù)伸展坐標(biāo)的表達(dá)式中包含一個(gè)沿衰減層寬度方向逐漸上升的漸變函數(shù)，這與漸增阻尼層[2具有一定相似性。瑞利阻尼層[33由于其均勻分布的較大阻尼與內(nèi)部區(qū)域存在顯著差異，會(huì)在銜接面上產(chǎn)生人為制造的界面反射，若能將均布阻尼替換為漸變阻尼，則有望顯著提升其性能，文獻(xiàn)[37]可以看作是這個(gè)思路的一個(gè)嘗試。

3人工邊界條件的數(shù)值穩(wěn)定性

我國(guó)學(xué)者在廖氏透射邊界（MTF）穩(wěn)定性方面開展了一系列研究，這是最為全面系統(tǒng)的關(guān)于人工邊界穩(wěn)定性的研究工作。MTF邊界有時(shí)會(huì)出現(xiàn)高頻振蕩失穩(wěn)或低頻漂移失穩(wěn)問(wèn)題。Liao和Liu3通過(guò)邊界反射系數(shù)提出了透射邊界的反射放大失穩(wěn)機(jī)理。李小軍和廖振鵬[3提出了透射邊界的漂移失穩(wěn)問(wèn)題并建議采用一種短時(shí)降階失穩(wěn)處理方法。廖振鵬等[40提出采用小量修正人工邊界格式來(lái)抑制透射邊界的零頻漂移失穩(wěn)，采用在邊界計(jì)算區(qū)注入小阻尼來(lái)改善振蕩失穩(wěn)。景立平等[41基于GKS定理的群速度解釋論證了透射邊界失穩(wěn)機(jī)理為邊界公式和內(nèi)域數(shù)值格式共同支持群速度指向內(nèi)域的行波。李小軍和楊宇[42探討了一種在邊界計(jì)算區(qū)附加粘彈性元件的消除漂移失穩(wěn)的措施。謝志南和廖振鵬[43]、章旭斌等[44深人探討了振蕩失穩(wěn)機(jī)理并提出修改內(nèi)域格式的穩(wěn)定措施?？钻仳E等[45]對(duì)透射邊界小量修正格式進(jìn)行了改進(jìn)。學(xué)者們還針對(duì)譜元法與透射邊界的結(jié)合[46-48]探討了透射邊界穩(wěn)定性問(wèn)題。

從人工邊界條件的系統(tǒng)化視角來(lái)看，MTF邊界的上述失穩(wěn)機(jī)理及穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)措施亦適用于其他外推型ABC?？傮w規(guī)律為，數(shù)值格式越簡(jiǎn)單穩(wěn)定性越好，數(shù)值格式涉及的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)越多穩(wěn)定性相對(duì)越差，這與內(nèi)域格式的穩(wěn)定性規(guī)律一致。Higdon邊界與MTF邊界接近等價(jià)，不僅精度相同，其穩(wěn)定性也一致。如Higdon發(fā)現(xiàn)高階Higdon邊界存在漂移失穩(wěn)并提出小量修正邊界形式予以解決[8，與MTF邊界非常相似[40]；Baffet等[49]在Higdon公式中增加一個(gè)粘性邊界算子改善了其長(zhǎng)持時(shí)穩(wěn)定性，這與李小軍和楊宇[42提出的在邊界計(jì)算區(qū)附加粘彈性元件的穩(wěn)定措施亦比較接近。旁軸近似邊界5格式復(fù)雜，故穩(wěn)定遠(yuǎn)遜于前兩種邊界；高階外推型ABC同樣如此。目前各種微分方程表示的外推型ABC還停留在只被用于有限差分格式的階段，MTF邊界已被用于內(nèi)域計(jì)算的有限差分、有限元和譜元等不同數(shù)值格式中。由于MTF邊界形式最為簡(jiǎn)單，所以它在用于有限差分時(shí)具有優(yōu)于其他外推型ABC的穩(wěn)定性。另外，若其他外推型ABC被用于有限元方法，會(huì)具有與MTF邊界相當(dāng)或者更差的穩(wěn)定性。因此，MTF邊界的穩(wěn)定性問(wèn)題也是所有外推型ABC的共同問(wèn)題。

關(guān)于應(yīng)力型ABC的穩(wěn)定性，目前地震工程領(lǐng)域研究者普遍了解粘彈性邊界[13-15]的穩(wěn)定性顯著優(yōu)于粘性邊界3和廖氏透射邊界，有學(xué)者甚至認(rèn)為應(yīng)力型ABC不會(huì)出現(xiàn)數(shù)值失穩(wěn)問(wèn)題。前者是學(xué)者和工程師在大量場(chǎng)地地震反應(yīng)計(jì)算和土結(jié)相互作用分析中總結(jié)出來(lái)的可靠經(jīng)驗(yàn)，但是后者卻并非如此。若從人工邊界條件的系統(tǒng)化視角來(lái)看，上述認(rèn)識(shí)也不夠全面。由于MTF邊界已被用于有限差分、有限元和譜元波動(dòng)模擬，而應(yīng)力型ABC不能用于有限差分且目前主要在有限元中使用，所以上述比較僅是在波動(dòng)有限元模擬中進(jìn)行的。這種穩(wěn)定性的差異容易理解，應(yīng)力型ABC施加方式為在有限元邊界上施加面力，這種結(jié)合非常自然；而MTF邊界是強(qiáng)制用內(nèi)部節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)推算邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，這實(shí)際上是單邊差分格式與有限元格式的結(jié)合，其穩(wěn)定性必然大受影響。關(guān)于應(yīng)力型ABC是否會(huì)出現(xiàn)數(shù)值失穩(wěn)的問(wèn)題，最近劉晶波、李述濤和寶鑫等[50-52]才從理論上證明顯式算法中粘彈性邊界計(jì)算格式的穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)要小于內(nèi)域計(jì)算格式，即粘彈性邊界同樣存在穩(wěn)定性問(wèn)題。他們提出一種增加質(zhì)量元件的改進(jìn)粘彈性邊界，改善了其穩(wěn)定性。杜修力、趙密等[20-24]在研究不同形式高階應(yīng)力型ABC時(shí)，通過(guò)證明所采用的擬微分算子的連分式近似或者動(dòng)力剛度的有理近似具有穩(wěn)定性，來(lái)說(shuō)明所得到的高階應(yīng)力型ABC是穩(wěn)定的。

衰減型ABC的穩(wěn)定性目前探討得相對(duì)較少，這與其不便于從理論上進(jìn)行定量分析有關(guān)，不過(guò)可以參照已有的內(nèi)域及邊界穩(wěn)定性規(guī)律給出一些定性判斷。函數(shù)衰減層（海綿邊界）7只是將波動(dòng)模擬結(jié)果乘以衰減函數(shù)，未改變計(jì)算格式，對(duì)穩(wěn)定性應(yīng)無(wú)影響。無(wú)限元雖然與海綿邊界衰減機(jī)制相似，但無(wú)限元本身的數(shù)值格式及其與內(nèi)域銜接點(diǎn)的數(shù)值格式都會(huì)有新的穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)，不過(guò)無(wú)限元在隧道、大壩等土-結(jié)地震反應(yīng)分析中的成功應(yīng)用表明其具有較好穩(wěn)定性。漸增阻尼層[32]和瑞利阻尼層[33]的穩(wěn)定性即為有阻尼波動(dòng)問(wèn)題數(shù)值模擬的穩(wěn)定性。完美匹配層[12.34]是具有分裂/非分裂、卷積/非卷積、頻移/非頻移、基于速度-應(yīng)力或位移形式波動(dòng)方程、應(yīng)用于有限差分法或譜元法波動(dòng)模擬等不同形式的一系列ABC的統(tǒng)稱。其層內(nèi)穩(wěn)定性通常由所基于的內(nèi)域格式的穩(wěn)定性來(lái)保障，匹配層介質(zhì)雖然與材料阻尼有所不同，但亦能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定計(jì)算；匹配層與內(nèi)域的交點(diǎn)常常涉及層內(nèi)復(fù)雜的多分量數(shù)值格式與內(nèi)域規(guī)整的數(shù)值格式之間的銜接，這種新的復(fù)合格式的穩(wěn)定性值得關(guān)注。

4結(jié)語(yǔ)

針對(duì)波動(dòng)數(shù)值模擬領(lǐng)域研究者們所面臨的如何較好地認(rèn)識(shí)和解決復(fù)雜波動(dòng)中的人工邊界問(wèn)題這個(gè)巨大挑戰(zhàn)，指出其主要原因不僅在于人工邊界條件的概念和方法本身比較復(fù)雜，更是因?yàn)榉稚⒂诓煌▌?dòng)領(lǐng)域的相關(guān)研究成果比較缺乏有效的歸納與整合。以系統(tǒng)化認(rèn)知ABC本質(zhì)特征及其主要方法的基本性能為目標(biāo)，對(duì)ABC的概念與方法、精度控制原理、數(shù)值穩(wěn)定性等基礎(chǔ)性問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)單直觀、脈絡(luò)性的研究討論。

從人工邊界條件是計(jì)算外行波引起的人工邊界節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法這個(gè)本質(zhì)特征出發(fā)，可以自然地梳理出時(shí)空外推、應(yīng)力平衡和區(qū)域衰減3類計(jì)算模式，分別稱之為外推型ABC、應(yīng)力型ABC和衰減型ABC。同類ABC具有相似的施加方式、精度控制原理以及數(shù)值穩(wěn)定性，非同類ABC則顯著不同。在各種外推型ABC和應(yīng)力型ABC的精度理論中，只有

MTF邊界的時(shí)空外推原理兼具數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性和在不同波動(dòng)中的普適性，是最具根本性的原理。波動(dòng)有限元模擬中MTF邊界存在的穩(wěn)定性問(wèn)題，主要是因?yàn)镸TF是目前唯一以外推的方式施加到有限元中的ABC，它打破了外推型ABC用于波動(dòng)有限差分模擬和應(yīng)力型ABC用于波動(dòng)有限元模擬的慣用做法，因此研究MTF邊界所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力型ABC表達(dá)形式或許是解決問(wèn)題的最佳途徑。衰減型ABC的精度控制原理涉及層內(nèi)衰減效率和內(nèi)界面反射率兩個(gè)方面，傳統(tǒng)衰減型ABC衰減效率較低且可能存在內(nèi)界面反射問(wèn)題，完美匹配層邊界解決了衰減效率問(wèn)題但是表達(dá)形式及實(shí)現(xiàn)方式多樣而復(fù)雜，通用性差。不過(guò)，衰減型ABC提供了外推型ABC和應(yīng)力型ABC之外人工邊界處理的重要視角，對(duì)于認(rèn)識(shí)和解決復(fù)雜波動(dòng)的人工邊界問(wèn)題有著其獨(dú)特、不可替代的作用。

參考文獻(xiàn)

[1]廖振鵬.工程波動(dòng)理論導(dǎo)論[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2002 Liao ZP.Introduction to wave motion theories in engineering[M].2nd ed.Beijing：Science Press，2002

[2]杜修力.工程波動(dòng)理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2009 Du X L. Theories and methods of wave motion for engineering[M]. Beijing： Science Press，2009

[3]Lysmer J，KuhlemeyerRL.Finitedynamic modelforinfinitemedia[J].Joumalof theEngineering Mechanics Division，1969， 95（4）： 859-877

[4]KauselE，WasG，RsetJM.Dyamicanalysisoffootingsonlayeredmedia[J].Joualof teEngineringMechanicsDivision， 1975，101（5）： 679-693

[5]ClaytonR，Engquist B.Absorbingboundaryconditionsforacousticandelastic waveequations[J].Buletinofthe Seismological Society of America，1977，67（6）：1529-1540 6]LiaoZP，WongHL.Atransmitingboundaryfor teumericalsimulationofelastic wavepropagation[J].IteatioalJoualfSoil Dynamics and Earthquake Engineering，1984，3（4）： 174-183

[7]CerjanC，KosloffD，KosloffR，etal.Anonreflectingboudaryconditionfordiscreteacousticandelasticwavequatios[J]. Geophysics，1985，50（4）： 705-708

[8]HigdonRL.Radiationboundaryconditionsforelasticwavepropagation[J].SAMJoualonNumericalAnalysis，99o27（4）：831- 869

[9]Betess，ZnkiewiczOCDfractionadrefractioofsurfae wavsusingfiteandinfiiteelemnts[J].IteatioalJoualfor Numerical Methods in Engineering，1977，11（8）：1271-1290

[10]Mansur WJ，BrebbiaCA.Numericalimplementationoftheboundaryelementmethodfortwodimensional transientscalarwave propagation problems[J]. Applied Mathematical Modelling，1982， 6（4）： 299-306

[11]WolfJP.The scaled boundary finite element method[M]. Chichester： John Wiley，2003

[12]KomatitschDTrompJ.Aperfectly matchedlayerabsorbing boundaryconditionforthesecond-orderseismic waveequation[J]. Geophysical Journal International，2003，154（1）：146-153

[13]Kellzi.Lcaltrasiigoundarisfortrasientelasticalys[J]SoilDsandEartqakeEngineing，o19： 533-547

[14］劉晶波，李彬.三維黏彈性靜-動(dòng)力統(tǒng)一人工邊界[J].中國(guó)科學(xué)E輯：工程科學(xué) 材料科學(xué)，2005，35（9）：：966-980 Liu JB，LiB.Aunifiedviscous-springartficialboundaryfor3-Dstaticand dynamicapplications[J].ScienceinChinaSeries E Engineeringamp;MaterialsScience，2005，48（5）：570-584

[1D」杠修刀，趙密，土進(jìn)廷.近場(chǎng)波動(dòng)俁擬的人工應(yīng)刀邊喬余件[JJ.刀字字報(bào)，Z0U6，38（I）：49-50 Du XL，Zhao M， WangJT.Astress artficialboundary inFEAfor near-field wave problemJ]. ChineseJouralofheoreticaland Applied Mechanics，2006，38（1）： 49-56

[16]GivoliDNetaB.Higder-reflectinboudaryeeforti-depedentwaves[J]Joualofomputatioalsi0 186（1）： 24-46

[17]GivoliD，NetaB，PatlashenkoIFinitelementanalysisoftime-dependentsemi-infinite wave-gudeswithhighrderboundary treatment[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2003，58（13）：1955-1983

[18]HagstromT，WarburtonT.Anewauxiliaryvariableformulationofhigh-orderlocalradiationboundaryconditions：comer compatibility conditions and extensions to first-order systems[J]. Wave Motion，2004， 39（4）： 327-338

[19]GivoliDHagstromT，PatlashenkoI.Finiteelementfmulationwithgorderabsobingboundaryonditiosfortie-depedent waves[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Enginering，2006，195（29/32）： 366-3690

[20]DuXL，ZhaoM.Alocaltime-domaintransmitingboundaryforsimulatingcylidricalelastic wave propagatioinfiitedia[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2010， 30（10）： 937-946

[21]DuXL，ZhaoM.Stabilityand identificationforrationalaproximationoffrequencyresponsefunctionofunboundedsoil[J]. Earthquake Engineering amp; Structural Dynamics，2010，39（2）：165-186

[22]Zhao M，WuLH，DuXL，etal.Stable highorderabsorbing boundaryconditionbasedonnewcontiuedfractionforsalar wave propagation inunbounded multilayermedia[J].ComputerMethodsin Aplied MechanicsandEngineering，2018，334：11-137

[23]ZhaoM，LiHF，DuXL，etal.Time-domainstabilityofartificialboundaryconditionoupledwithfiteelementforyaicand wave problems inunbounded media[J]. International Journal of Computational Methods，2019，16（4）：1850099

[24］吳利華，趙密，杜修力.多層波導(dǎo)中矢量波動(dòng)的時(shí)域人工邊界條件[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2021，53（2）：554-567 WuLH，Zhao M，DuXL.Atime-domain artificial boundarycondition forvectorwaveinmultilayered waveguide[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2021，53（2）： 554-567

[25]Xing HJ，LiXJ，LiH，etal.Thetheoryandnewunifiedforulasofdisplacement-typelocalabsorbingboundayconditios[J]. Bulletin of the Seismological Society of America，2021，111（2）：801-824

[26］邢浩潔，李小軍，劉愛文，等.波動(dòng)數(shù)值模擬中的外推型人工邊界條件[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2021，53（5）：1480-1495 Xing HJ，LiXJ，LiuAW，etal.Extrapolatio-tyeartificialboudaryconditiosintheumericalsimulationofwaveotio[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2021，53（5）： 1480-1495

[27]Guddati MN，Heidari AH.Migration witharbitrarilywide-angle wave equations[J].Geophysics，2005，70（3）：S61-S70

8]GrotehCetoardifteaegpbs[J].ualputatili 2004，201（2）： 630-650

[29]KauselEssJStismatriesforyedsils[J].uletiofteismolgicalScietyomca986）4 1761

30]WolfJP.Consistent lumped-parametermodelsforunboundedsoil：requeny-ndepedentstifes，dampingandmasmatrices[]. Earthquake Engineering amp; Structural Dynamics，1991，20（1）： 33-41

[31]GuddatiMTasoulasJL.ontiuedfractionabsorbingboudarconditiosforthewavequation[J].JoualofCoutatioal Acoustics，2000，8（1）： 139-156

[32]SochackiJ，KubichekR，GeorgeJ，etal.Absorbing boundaryconditionsandsurface waves[J].Geophysics，987，52（1）：60-71

33]SarmaGS，MallckK，GadinglajkarVR.Nonefletingboundaryconditioninfinite-elementformulationforanelasticave equation[J]. Geophysics，1998，63（3）：1006-1016

[34]Xie ZNKomatitschartinRetalprovedfardavepropagatioaddjt-basdsesitivityelalculatiosing numerically stable finite-element PML[J]. Geophysical Journal Intermational， 2014，198（3）：1714-1747

[35]LiuY，SenMK.Animprovedhybridabsorbingboundaryconditionforwavequationmodeling[J].JoualofGeophysicsand Engineering，2018，15（6）：2602-2613

[36]Zhang GL， Zhao M，Zhang JQ，et al.Scaled Boundary Perfectly Matched Layer （SBPML）：Anovel 3D time-domain artificial boundarymethodfor wave problemingeneral-shapedandheterogeneous infinitedomain[J]. Computer Methods in Aplied Mechanics and Engineering，2023，403：115738

[37]NiY，GuWT，ShiZF.Anewartificialboundaryconditionfornumericalsimulationofelasticwaves[J].SoilDynamicsand Earthquake Engineering，2022，152：107026

[38]LiaoZPLiuJ.NmeicalistabilitisoflocaltrasitingboudarJ].EarthakeEngieingamp;tructuralDs，99

21（1）： 65-77

[39］李小軍，廖振鵬.時(shí)域局部透射邊界的計(jì)算飄移失穩(wěn)[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，1996，28（5）：627-632LiXJ，LiaoZ.edriftistabilityoflocaltrasmitingboundaryintimedomain[J].CinseJoualofeoreticalandAledMechanics，1996，28（5）：627-632

[40]廖振鵬，周正華，張艷紅.波動(dòng)數(shù)值模擬中透射邊界的穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)[J].地球物理學(xué)報(bào)，2002，45（4）：533-545Liao ZP，ZhouZH，Zhang YH.Stableimplementationof ransmiting boundaryinnumericalsimulationof wave motionJ].ChineseJournal of Geophysics，2002，45（4）：533-545

[41］景立平，廖振鵬，鄒經(jīng)相.多次透射公式的一種高頻失穩(wěn)機(jī)制[J].地震工程與工程振動(dòng)，2002，22（1）：7-13JingLP，LiaoZP，ZouJX.Ahigh-frequencyistabilitymechanisminnumericalrealizationof multi-transmiting foula[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration， 2002，22（1）： 7-13

[42］李小軍，楊宇.透射邊界穩(wěn)定性控制措施探討[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2012，34（4）：641-645LiXJ，YangY.MeasuresforstabilitycontroloftransmitingboundaryJ].ChineseJoualofGeotechnicalEngineeing，2012，34（4）： 641-645

[43］謝志南，廖振鵬.透射邊界高頻失穩(wěn)機(jī)理及其消除方法：SH波動(dòng)[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2012，44（4）：745-752XieZNLiaoZP.Mechanismof highfrequencyinstabilitycausedbytransmitingboundaryandmethodof itselimination：SHwave[J]. Chinese Jourmal of Theoretical and Applied Mechanics， 2012， 44（4）： 745-752

[44］章旭斌，廖振鵬，謝志南.透射邊界高頻失穩(wěn)機(jī)理及穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)：P-SV波動(dòng)[J].地球物理學(xué)報(bào)，2021，64（10）：3646-3656Zhang XB，LiaoZP，XieZN.Mechanismofhighfrequency instabilityandstable implementationfortransmiting boundary：P-SVwave motion[J]. Chinese Journal of Geophysics，2021， 64（10）： 3646-3656

[45］孔曦駿，邢浩潔，李鴻晶，等.多次透射公式飄移問(wèn)題的控制方法[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2021，53（11）：3097-3109KongXJ，XingHJ，LiHJetal.Anapproachtoontrolingdriftistabilityofut-transmitingfoula[J].ChieseJoualofTheoretical and AppliedMechanics，2021，53（11）：3097-3109

[46］于彥彥，丁海平，劉啟方.透射邊界與譜元法的結(jié)合及對(duì)波動(dòng)模擬精度的改進(jìn)[J].振動(dòng)與沖擊，2017，36（2）：13-22YuYY，DingHP，LiuQF.Integrationof tasitingboundaryndspetral-element methdandimprovementontheaccuracyofwave motion simulation[J]. Journal of Vibration and Shock，2017，36（2）：13-22

[47]XingHiXitaetatlatraadtsacdablitdseismic wave modeling[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2021，140： 106218

[48］章旭斌，謝志南.波動(dòng)譜元模擬中透射邊界穩(wěn)定性分析[J].工程力學(xué)，2022，39（10）：26-35Zhang XB，XieZN.Stabiltyanalysisof transmiting boundaryin wave spectralelement simulation[J].EngineringMechanics，2022，39（10）： 26-35

[49]BffetD，BielakJ，GivoliD，etal.Longtiestablehighorderabsorbingboundaryconditionsforelastodyamics[J].CoputerMethods in Applied Mechanics and Engineering，2012，241-244：20-37

[50］李述濤，劉晶波，寶鑫.采用黏彈性人工邊界單元時(shí)顯式算法穩(wěn)定性的改善研究[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2020，52（6）：1838-1849LiST，LiuJB，BaoX.Improvementofxplicitalgorithsstabilitywithviselasticartificialboundaryeements[J].CseJualof Theoretical and Applied Mechanics，2020，52（6）：1838-1849

[51］劉晶波，寶鑫，李述濤，等.采用粘彈性人工邊界時(shí)顯式算法穩(wěn)定性的改善研究[J].工程力學(xué)，2023，40（5）：20-31LiuJB，BaoX，iS，talStabilityiprovemntofexplicitalgtwhusigviscoelastitiicialboudaryJ].EiinMechanics，2023，40（5）：20-31

52]BaoX，iuJB，ital.elsticrtalaryipedmeaabitittoepropagation problems in infinite domains[J]. Computers and Geotechnics， 2022，145： 104698