例析“追及相遇問題”的幾種解題方法

追及相遇問題的形成條件：當(dāng)兩個物體沿著同一條直線運動時，因為兩者的運動情況各不相同，這就導(dǎo)致兩者之間的距離會不斷地發(fā)生改變，兩者間的距離可能會變大或者變小，此時就會出現(xiàn)“追及相遇”\"避免碰撞”等一系列問題.

例題火車甲現(xiàn)正以 v₁=288km/h 的速度向前勻速行駛中，突然司機(jī)發(fā)現(xiàn)，在前方同軌道上大約距離 s=0.5km 的地方，正有一列火車乙以 v₂= 144km/h 的速度，沿著同方向做著勻速運動，為了避免火車甲與火車乙相撞，甲火車司機(jī)迅速以大小為 a 的加速度進(jìn)行緊急剎車.試問：加速度 a 應(yīng)滿足怎樣的條件呢？

1情境分析法

（1）首先根據(jù)題意，畫出運動示意圖，然后分析運動過程.

如圖1所示，小車 A 追及小車 B ，最開始時兩者之間的距離是 x_?0 ：

① 當(dāng)小車 A 追上小車 B 時，就必定會有 x_A=

x₀+x_B ，并且 v_A?v_B ：

② 小車 A 與小車 B 剛好不相撞時，就必定會有x_A=x₀+x_B 時 v_A=v_B ，之后就是 v_A?v_B

③ 當(dāng)小車 A 追不上小車 B 時，就必定會有 v_A= v_B 時 x_A0+x_B ，之后就是 v_A?v_B ：

（2）最后通過找尋物理量之間的關(guān)系，建立計算方程式，求算最后的結(jié)果，

① 兩個等量的關(guān)系：時間關(guān)系、位移關(guān)系，可通過畫示意圖求得.

② 一個臨界的條件：兩者速度相等時.其通常是判斷物體能否追上、相撞，或者計算兩物體最遠(yuǎn)、最近距離的臨界條件.

解析想要使火車甲與火車乙不相撞，那么當(dāng)火車甲和火車乙的速度完全相同時，就會有 v₁- at=v₂，x₁?x₂+s ，其中

聯(lián)立上述的四個計算式，將數(shù)據(jù)逐一代入后，可解得 a?1.6m/s² ，即加速度 a≥1.6m/s² 時，火車甲和火車乙不會相撞.

2 二次函數(shù)法

假設(shè)運動的時間是 Ψ_t ，然后根據(jù)已知條件建立計算方程式，最后求得關(guān)于兩者之間的距離 Δx 和時間 Ψ_tΨ_t 的二次函數(shù)關(guān)系.

（1）倘若 Δ=b²-4acgt;0 ，那么就會有兩個解，說明兩者能夠相遇兩次.

（2）倘若 Δ=b²-4ac=0 ，那么就會有一個解，說明兩者能夠相遇一次，且存在“剛好不相撞”的臨界條件.

（3）倘若 Δ=b²-4aclt;0 ，那么就代表無解，說明兩者不能夠相遇.

（4）在二次函數(shù) at²+bt+c=0 中，當(dāng) 時，該函數(shù)會有極值，說明此刻兩者之間的距離，不是最大值就是最小值.

解析 現(xiàn)假設(shè)火車甲在減速 Ψ_t 時間后，火車甲與火車乙相撞，那么就會有 x₁=x₂+s 即 v₂t+s ，整理后可得 at²-2（v₁-v₂）t+2s=0.

倘若要使火車甲和火車乙不相撞，那么上述的

二次函數(shù)方程式就不能夠有兩個解，即該方程式的

判別式需滿足 Δ=4（v₁-v₂）²-8as?0 ，解得 a?

（204號，代人數(shù)據(jù)后可解得 α?1.6m/s² ·

3 圖像分析法

在同一直角坐標(biāo)系中，繪制出兩個物體的運動圖像.在位移時間 （x-t） 圖像中，圖線的交點代表的是“相遇”；在分析速度時間 （v-t） 圖像的時候，應(yīng)該緊緊抓住速度相同時的“面積”關(guān)系，進(jìn)而確定“位移”的關(guān)系.

解析根據(jù)題意，分別畫出火車甲與火車乙運動時的 v-t 圖像，如圖2所示，其中兩火車不相撞時，位移差剛好就是陰影部分的面積 s ：

由圖2可知 ， ，聯(lián) （204號 立兩式可解得 由題意可知 s= 0.5km ，想要使火車甲和火車乙不相撞，那就需要滿 足

4相對運動分析法

將其中一個物體作為參考系，然后去確定另一個物體的相對初速度、相對加速度，進(jìn)而將研究兩個物體的運動問題，轉(zhuǎn)變成研究一個物體的運動問題.

解析首先把火車乙看作參考系，那么火車甲相對于火車乙做的是勻減速直線運動，初速度的大小是 v₀=v₁-v₂ （注：此處為\"相對速度\"），加速度的大小是 α_a ，兩火車之間的距離是 s

想要確保兩火車恰好不相撞時，就需要滿足火車甲相對于火車乙的位移是 s 時的相對速度是0，故此根據(jù)運動學(xué)公式，可求得

因此，當(dāng) α?1.6m/s² 時，火車甲和火車乙不會相撞.

5 結(jié)語

通過對四種不同解題方法的描述，不難發(fā)現(xiàn)在解決“追及相遇問題”時，不僅要將運動學(xué)的相關(guān)知識點謹(jǐn)記于心，還需要對函數(shù)部分進(jìn)行熟練掌握.同時，此類問題不僅考查了“跨學(xué)科知識”之間的靈活運用，還考查了學(xué)生的邏輯思維能力與審圖分析能力.