初中數(shù)學(xué)不等式在生活問題中的應(yīng)用探索

不等式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要模塊，主要包括常規(guī)不等式、不等式組和含參數(shù)不等式的內(nèi)容，對(duì)于解決生活中的優(yōu)化問題及規(guī)劃問題有重要作用[.在日常生活和生產(chǎn)工作中，經(jīng)常需要利用不等式關(guān)系作出更優(yōu)的決策，因此學(xué)生需要將不等式的學(xué)習(xí)與生活問題聯(lián)系起來，為他們未來應(yīng)用不等式解決生活實(shí)際問題打好基礎(chǔ).學(xué)生學(xué)習(xí)用不等式解決生活實(shí)際問題，還可以鍛煉和提升邏輯思維能力、問題解決能力和決策能力[2].

1創(chuàng)設(shè)熟悉生活情境，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系

以往的初中數(shù)學(xué)教師教授不等式較為脫離現(xiàn)實(shí)，經(jīng)過學(xué)習(xí)雖然學(xué)生能夠掌握不等式的應(yīng)用方法，但遇到實(shí)際生活問題時(shí)難以想到應(yīng)用不等式來解決.教師可以先創(chuàng)設(shè)一些學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生意識(shí)到可以在這些情境下利用不等式作出更優(yōu)決策，可以提升學(xué)生探究不等式更多生活應(yīng)用途徑的興趣.學(xué)生在熟悉的情境下學(xué)習(xí)不等式，能夠降低學(xué)習(xí)難度并加深學(xué)習(xí)記憶，當(dāng)學(xué)生在生活中真正處于相似場(chǎng)景時(shí)會(huì)自然回憶起不等式的相關(guān)知識(shí)，嘗試將其應(yīng)用到生活中，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)理3.通過熟悉的生活情境將抽象的不等式知識(shí)直觀呈現(xiàn)，有助于學(xué)生更好地理解和掌握不等式知識(shí)，從而促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化，

例如 以人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第十一章“11.1不等式”教學(xué)為例，教師在教學(xué)導(dǎo)人階段先引入與學(xué)生密切相關(guān)的生活情境，“當(dāng)家里需要購電時(shí)，你發(fā)現(xiàn)購電的價(jià)格存在差異并且有不同的優(yōu)惠條件.經(jīng)了解，當(dāng)?shù)貙?shí)行階梯電價(jià)制度，當(dāng)用電量越多時(shí)電價(jià)也越高.主要分為三個(gè)梯度，第一梯度（ 0～220 度／戶）的電價(jià)為0.52元／度，第二梯度1 221～400 度/戶）的電價(jià)為0.57元/度，第三梯度（超過400度／戶）的電價(jià)為0.87元/度”根據(jù)這一情境，教師先要求學(xué)生將三個(gè)用電梯度用不等式寫出來，幫助學(xué)生熟悉不等式的基本內(nèi)涵.隨后，教師給出題目“經(jīng)過統(tǒng)計(jì)你發(fā)現(xiàn)家里這個(gè)月的電費(fèi)是130元，那么家里這個(gè)月的用電量在哪一梯度？”要求學(xué)生用不等式進(jìn)行判斷.

解題過程中，學(xué)生先將三個(gè)用電梯度用不等式表示出來，第一梯度為 0?x?220（x 表示用電量），第二梯度為 221?x?400 ，，第三梯度為 xgt; 400.隨后，為了判斷家里這個(gè)月用電量的梯度，學(xué)生需要先計(jì)算出各用電梯度的最小電費(fèi)和最大電費(fèi)，并用不等式將其直觀呈現(xiàn)出來.第一梯度的可能電費(fèi)為 0?D?114.4（D 表示電費(fèi)），第二梯度需先計(jì)算最大電費(fèi)與最小電費(fèi)的差，即第二梯度新增部分的最大電費(fèi)為102.6元，得出第二梯度的總電費(fèi)范圍是 114.9?D?217 ，第三梯度的總電費(fèi)范圍為Dgt;217. 由于 114.9lt;130lt;217 可知家庭本月的用電量在第二梯度.

通過家庭購電這一生活情境，能夠提高學(xué)生在不等式學(xué)習(xí)中的參與度和積極性，讓學(xué)生清晰地了解到不等式在生活中的應(yīng)用價(jià)值和途徑.學(xué)生將階梯電價(jià)制度用不等式表示出來，能夠熟悉和掌握不等式的基本內(nèi)涵和表示方法，通過計(jì)算將電費(fèi)范圍用不等式表示出來，再經(jīng)過比較和判斷得出實(shí)際用電量梯度，可以鍛煉學(xué)生將不等式應(yīng)用于解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力.

2設(shè)計(jì)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)，體驗(yàn)不等式的生活應(yīng)用

為了實(shí)現(xiàn)既在生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)又將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的教學(xué)模式，教師可以根據(jù)生活應(yīng)用主題設(shè)計(jì)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)，如家庭預(yù)算規(guī)劃、生產(chǎn)資源分配、時(shí)間管理等，讓學(xué)生在項(xiàng)目實(shí)踐中探究和體驗(yàn)不等式在生活中的實(shí)際應(yīng)用[4.將學(xué)生分成項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組，每組分配一個(gè)具體的不等式應(yīng)用場(chǎng)景，讓學(xué)生經(jīng)過合作交流自主完成建立不等式模型和解決問題的學(xué)習(xí)過程.通過小組合作進(jìn)行項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)不等式的應(yīng)用價(jià)值.在小組成員的合作交流過程中，還可以幫助他們深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，通過實(shí)踐應(yīng)用逐漸能夠靈活運(yùn)用不等式解決實(shí)際問題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通能力.

例如 以人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第十一章“11.2一元一次不等式”教學(xué)為例，教師為各小組分配具體的不等式應(yīng)用場(chǎng)景，其中一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景是“有甲和乙兩個(gè)超市，兩者出售相同的商品且價(jià)格也相同，但各自給出了不同的優(yōu)惠方案.甲超市的優(yōu)惠方案是當(dāng)顧客累計(jì)購物超過200元時(shí)，超出200元的部分按照九折收費(fèi)；乙超市的優(yōu)惠方案是當(dāng)顧客累計(jì)購物超過150元時(shí)，超出150元的部分按照九五折收費(fèi).請(qǐng)判斷顧客在哪家超市購物花費(fèi)更少？”，教師可以適當(dāng)提示學(xué)生分情況討論和解答.

學(xué)生解答問題前先討論兩個(gè)超市的優(yōu)惠情況，并用一元一次函數(shù)表示出來，其中用 x 表示購物金額， y 表示實(shí)際花費(fèi).顧客在甲超市的購物金額不超過200元時(shí)沒有優(yōu)惠，可以用 y=x（x?200） 表示，當(dāng)購物金額超過200元時(shí)超出部分按九折收費(fèi)，可以表示為 y=200+0.9（x-200）（xgt;200） .顧客在乙超市的購物金額不超過150元時(shí)沒有優(yōu)惠，用 y= x（x?150） ）表示，當(dāng)購物金額超過150元時(shí)，超出部分按九五折收費(fèi)，用 y=150+0.95（x-150）（x ）表示.針對(duì)以上初步分析，可以先從 x? 150，150200 三種情況進(jìn)行分析.當(dāng) x?150 時(shí)，兩家超市都沒有優(yōu)惠，所以花費(fèi)相同.當(dāng) 150

當(dāng) xgt;200 時(shí)不確定哪家超市的花費(fèi)更少，小組決定假設(shè)甲超市的花費(fèi)比乙超市的花費(fèi)更少，在此假設(shè)的基礎(chǔ)上利用一元一次不等式求解出對(duì)應(yīng)的購物金額范圍.通過計(jì)算 200+0.9（x-200）lt; 以 150+0.95（x-150） 得出當(dāng) xgt;250 時(shí)，顧客在甲超市的花費(fèi)更少，由此進(jìn)一步推出當(dāng) 200250 時(shí)甲超市更劃算.

3實(shí)施跨學(xué)科整合教學(xué)，展現(xiàn)應(yīng)用的多樣性與廣泛性

不等式除了在購物、購電等常見生活問題中應(yīng)用，還可應(yīng)用于交通路線決策、生產(chǎn)方案決策等領(lǐng)域.教師可以結(jié)合科學(xué)、環(huán)保、經(jīng)濟(jì)等多個(gè)領(lǐng)域，引導(dǎo)學(xué)生探索不等式的多樣性與廣泛應(yīng)用價(jià)值.通過采取案例教學(xué)和問題驅(qū)動(dòng)的方式，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)與方法相結(jié)合，幫助學(xué)生理解不等式在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如考慮環(huán)保的成本及效益，讓學(xué)生綜合運(yùn)用不等式知識(shí)分析經(jīng)濟(jì)與環(huán)保問題.在不等式教學(xué)中實(shí)施跨學(xué)科整合教學(xué)，可以為學(xué)生展現(xiàn)不等式在復(fù)雜生活問題中的重要作用，讓他們學(xué)會(huì)從不同角度和不同領(lǐng)域思考不等式的多樣化應(yīng)用途徑和廣泛的應(yīng)用范圍，從而打破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的局限性，激發(fā)學(xué)習(xí)潛能.

例如 以人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第十一章“11.3一元一次不等式組”教學(xué)為例，教師給出題目“為了更好地保護(hù)當(dāng)?shù)丨h(huán)境，某市污水處理廠決定先購買 A，B 兩種污水處理設(shè)備共20臺(tái)，用于治理周邊污水，每臺(tái) A 型污水處理設(shè)備12萬元，每臺(tái) B 型污水處理設(shè)備10萬元.已知1臺(tái) A 型污水處理設(shè)備和2臺(tái) B 型污水處理設(shè)備每周可以處理污水640噸，2臺(tái) A 型污水處理設(shè)備和3臺(tái) B 型污水處理設(shè)備每周可以處理污水1800噸.受預(yù)算限制，市污水處理廠購買設(shè)備的資金不超過230萬元，每周處理污水的量不低于4500噸，可以設(shè)計(jì)怎樣的購買方案？所需資金最少的方案是哪種？”

學(xué)生理清題意后，認(rèn)為需要先根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建一元一次方程組，將 A，B 兩種型號(hào)污水處理設(shè)備每周處理污水的量分別計(jì)算出來，經(jīng)計(jì)算可知 A 型每周每臺(tái)處理240噸， B 型每周每臺(tái)處理

200噸.隨后，假設(shè)要購買 A 型污水處理設(shè)備 x 臺(tái)，則購買 B 型污水處理設(shè)備 （20-x） 臺(tái)，在此基礎(chǔ)上建立兩個(gè)一元一次不等式即 12x+10（20-x）? 230和 240x+200（20-x）≥4500 ，將兩者聯(lián)立成一元一次不等式組進(jìn)行求解，得 12.5?x?15 ，因此有三種購買方案，分別是購買13，14或15臺(tái) A 型污水處理設(shè)備，經(jīng)比較得知當(dāng)購買13臺(tái) A 型污水處理設(shè)備和7臺(tái) B 型時(shí)花費(fèi)資金最少.

學(xué)生經(jīng)過這一跨學(xué)科問題對(duì)不等式在復(fù)雜實(shí)際問題中的應(yīng)用有了基本了解，教師繼續(xù)給出更多跨學(xué)科問題，例如：“要分別利用甲和乙兩種原材料生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲原材料的價(jià)格比乙貴，但利用甲材料生成的產(chǎn)品產(chǎn)生的廢棄物比乙少，在資金有限且廢棄物的總量有限制的情況下，選擇資金花費(fèi)最少的生成方案.”“一個(gè)城市計(jì)劃新建幾條公交線路和鐵路線路以改善交通狀況，兩種線路的建設(shè)成本和預(yù)期乘客量各不相同，在預(yù)算有限的情況下規(guī)劃線路使盡可能多的乘客受益.”“一個(gè)農(nóng)業(yè)種植基地需要種植多種作物，不同作物的種植成本和市場(chǎng)需求不同，制定種植計(jì)劃，使在有限的總成本下滿足盡可能多的市場(chǎng)需求.”讓學(xué)生了解不等式在經(jīng)濟(jì)、交通規(guī)劃、農(nóng)業(yè)種植、資源配置等各種領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價(jià)值.

4開展應(yīng)用探索競(jìng)賽，培養(yǎng)觀察力和遷移應(yīng)用能力

為了綜合判斷學(xué)生在不等式方面的學(xué)習(xí)情況，教師可以組織學(xué)生參與不等式生活應(yīng)用探索競(jìng)賽，讓學(xué)生以團(tuán)隊(duì)的形式觀察日常生活中的不等式現(xiàn)象，并嘗試運(yùn)用所學(xué)不等式知識(shí)提出解決方案，考查并培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和數(shù)學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用能力.競(jìng)賽可以設(shè)計(jì)多個(gè)環(huán)節(jié)，包括問題識(shí)別、設(shè)計(jì)解決方案、成果展示，每個(gè)環(huán)節(jié)需設(shè)置相應(yīng)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，確保競(jìng)賽結(jié)果的客觀性和有效性.在問題識(shí)別環(huán)節(jié)，學(xué)生逐漸形成用數(shù)學(xué)知識(shí)觀察世界的意識(shí)和習(xí)慣，用不等式設(shè)計(jì)解決方案則促使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，有助于提升他們的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用能力.學(xué)生通過團(tuán)隊(duì)合作完成競(jìng)賽，還可以培養(yǎng)他們的團(tuán)隊(duì)精神和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力.

例如以人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第十一章“不等式與不等式組”教學(xué)為例，某小組將競(jìng)賽主題確定為“家庭節(jié)能減排不等式應(yīng)用”，小組學(xué)生注意到在做飯時(shí)有兩種能源使用方式，一種是用電磁爐、電炒鍋、電飯鍋等廚具，這種方法使用的能源是電能；另一種方法是用天然氣.小組學(xué)生合作探究使用兩種能源蒸熟等量大米所需的成本及分別對(duì)應(yīng)的耗碳量，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ).隨后，小組學(xué)生基于收集的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)需解決的問題，即家里來客人時(shí)，計(jì)劃蒸一定量的米飯及確定菜品的數(shù)量，需要設(shè)計(jì)能源成本和耗碳量都盡可能少的能源使用方案.小組學(xué)生基于收集到的數(shù)據(jù)和給出的限制條件，通過建立不等式給出更優(yōu)的節(jié)能減排烹飪方案.小組成員利用PPT展示小組識(shí)別問題、收集數(shù)據(jù)、建立模型及給出優(yōu)化方案的學(xué)習(xí)過程.由教師從問題識(shí)別的準(zhǔn)確性、數(shù)據(jù)處理的嚴(yán)謹(jǐn)性、解決方案的有效性、不等式掌握的熟練性等方面進(jìn)行綜合評(píng)價(jià).

通過參加小組競(jìng)賽，學(xué)生學(xué)會(huì)在實(shí)際問題中收集和處理數(shù)據(jù)，提升了學(xué)生對(duì)不等式應(yīng)用的靈活性.能源使用量、使用成本及耗碳量等數(shù)據(jù)的直觀呈現(xiàn)，使學(xué)生深刻意識(shí)到節(jié)能減排的重要性，而實(shí)踐應(yīng)用不等式探索優(yōu)化節(jié)能減排烹飪方案的過程，可以促使學(xué)生形成積極的環(huán)保意識(shí)和行為習(xí)慣，有助于提升他們的社會(huì)責(zé)任感，

5結(jié)語

數(shù)學(xué)中不等式知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用都不能脫離生活實(shí)際，教師在實(shí)踐教學(xué)中實(shí)施創(chuàng)設(shè)熟悉生活情境、設(shè)計(jì)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)任務(wù)、實(shí)施跨學(xué)科整合教學(xué)及開展應(yīng)用探索競(jìng)賽等策略，可以有效加深學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)的理解和掌握，同時(shí)顯著提升他們運(yùn)用不等式解決生活中多樣化問題的能力.教師應(yīng)繼續(xù)探索有效教學(xué)策略，促使學(xué)生能夠自主探究不等式在生活中的更多應(yīng)用路徑，進(jìn)而學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用不等式知識(shí)作出優(yōu)化決策.

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