拓展隔板法在高中數(shù)學解題中的應用

隔板法又稱“插法”，是組合數(shù)學中非常經(jīng)典的一種解題方法，將“實際分配問題”或復雜的“球盒問題”轉化為“球板模型”.拓展隔板法是在傳統(tǒng)方法的基礎上進行優(yōu)化，可以更加靈活地處理如空盒、多約束條件等問題，目前多應用于解決高中數(shù)學中的排列組合、概率統(tǒng)計等問題（關于人員分配、展開式項數(shù)計算以及帶編號球放入盒中），如求解 n 個相同元素分配到 Ψ_m 個不同組中，根據(jù)給出的具體約束條件抽象出對應數(shù)學模型，實現(xiàn)計算求解

1 隔板法基本原理

隔板法是非常經(jīng)典的數(shù)學組合解題方法，目前主要用于解決高中數(shù)學排列組合問題，傳統(tǒng)隔板法是通過在元素間插入隔板的方式來簡化問題求解.考慮到傳統(tǒng)隔板法在處理允許盒子空或盒子數(shù)量多的問題中暴露出了局限性（例如將5個相同的球放在3個盒子中，允許盒子為空，傳統(tǒng)隔板法是無法直接應用)，便在原有的基礎上對其進行優(yōu)化，形成“拓展隔板法”，其本質是通過隔板方式將實際問題拆解為若干部分，并按照隔板的位置與數(shù)量確定不同的組合的可行性，這種方式在保留傳統(tǒng)隔板法優(yōu)勢的同時靈活調整隔板插入方式，實現(xiàn)對傳統(tǒng)問題的解決[1].采用拓展隔板法可以拓展學生解題思路，讓排列組合問題或概率問題更加清晰明了，同時又能提升解題效率，讓學生結合題干信息，更加快速地找到解題切入點，以培養(yǎng)其邏輯思維能力.

目前拓展隔板法主要解題步驟為：步驟1，根據(jù)題干信息找到解題突破口，判斷題目是否使用隔板法解決；步驟2：將實際問題抽象為“球盒模型”，根據(jù)題目設定具體的隔板數(shù)量與位置；步驟3：分析是否有特殊的約束條件，例如不充許空盒或者是特定元素分組等，對隔板法進行調整；步驟4：使用組合公式計算存在的組數(shù).在具體解題中，拓展隔板法是解決數(shù)學排列組合問題的有效方式之一，數(shù)學教師有必要引入并引導學生理解隔板法的基本原理，靈活應用，以增強學生的數(shù)學素養(yǎng)2].

2 隔板法在高中數(shù)學解題中的應用

2. 1 人員分配問題

例1某公司派出5名工程師前往3個技術部門協(xié)助研發(fā)，要求每位工程師只能去一個部門，每個部門至少安排1名工程師，根據(jù)項目要求，甲、乙兩位工程師必須在不同的部門，則有（ ）種分配方法.

(A)124. (B)246. (C)114. (D)108.

分析本題目使用拓展隔板法解決，將5名工程師分配到3個部門，且每個部門至少1人，甲乙兩位工程師必須在不同的部門，需要先計算出總分配數(shù)（無約束)，后再計算出甲乙同部門的分配數(shù)，采用捆綁法，將甲乙視為一個整體，剩余3位工程師獨立，共有4個元素需要分配到3個部門，且每個部門至少有1個元素，最后減掉甲乙同部門的情況.

詳解 在這道題目中，先不考慮甲和乙兩位工程師則有 3+1+1 和 2+2+1 的兩種分配方案， 3+ 1+1 有 C₅³A₃³ 個結果， 2+2+1 則有 個結果，由此可以得到

當甲和乙工程師在同一個部門，且甲乙所在部門只有2位工程師，會得到 C₃³A₂² ；甲乙所在同一部門有1個工程師，此時可以得到 C₃¹A₂² 個結果， C₃¹ (C₃²A₂²+C₃¹A₂²)=36 ，后得到了 150-36=114. 因此選擇(C）選項.

2.2 展開式項目問題

例2求 (x₁+x₂+x₃+x₄)¹⁰ 的展項開式共有多少項？

分析本題目是一道拓展隔板法的問題，根據(jù)題干信息，在 (x₁+x₂+x₃+x₄)¹⁰ 展開式的通向式可以寫成 ρx₁^aρx₂^bρx₃^cρx₄^d ，其中 p 為系數(shù)且 a+b+ c+d=10 ，將其轉化后可以使用隔板法.通常在解決此類型題目的時候，可以將其理解為較為熟悉的盒子與小球題型“將 n 個相同的小球放置到 Ψ_m 個不同的盒子當中，盒子可能為空”.

詳解結合題干信息，當 x₁，x₂，x₃ 和 x₄ 相當于四個不同的小盒子，可以將冪指數(shù)10看作為10個大小形狀相同的小球，將這10個小球放置到4個不同的盒子里面，且因為盒子可能為空，基于隔板法可以知道 C₁₃³=286 （項）.

2.3帶有編號的球放入盒子的問題

例3 帶有編號1，2，3，4，5的五個球，則（ ）

（A）全部投入4個不同盒子，共有 4⁵ 種放法.(B)放入到不同的4個盒子內，每個盒子至少1個，共有 C₄³ 種放法.

（C）將其中的4個球放入到4個盒子里的任意一個，（另外1球不放入），共有 C₅⁴C₄¹ 種放法.(D)將全部球放到不同的4個盒子里（沒有空盒），共有兩 C₅²C₄⁴ 種不同的放法.

分析本題目考查學生對排列組合的應用能力，根據(jù)題目要求，考慮全部投入、每盒至少一個、一個球不投人以及沒有空盒等在內的多種情況，并對其分別進行計算，找到相對應的正確答案.

詳解本題考查了排列組合的實際應用、分步乘法計算原理，四項具體計算如下：每個球都可以放入4個不同盒子中，則有 4×4×4×4×4=4⁵ 種方法；按照題干信息，將其全部投放到4個不同的盒子當中，每個盒子至少有1個，相當于將其中的2個球捆綁為1個球，在對其進行排列，后可以得到 C₅²C₄⁴= 240種放法；按照題干中給出的先選擇4個球，有 C₅⁴ 種，再選擇一個盒子，有 C₄¹ 種，故共有 C₅⁴C₄¹ 種方法；若全部投放到4個不同的盒子當中，且沒有空盒，相當于將其中的2個球捆綁成為1個球，對其進行排列，得到 C₅²C₄⁴=240 種放法.

3結語

拓展隔板法是傳統(tǒng)隔板法的進一步發(fā)展與延伸，其目的在于高效處理高中數(shù)學排列組合問題中的復雜情境，例如存在空盒、球數(shù)量較多等.通過應用拓展隔板法，在培養(yǎng)學生邏輯思維能力與問題解決能力的同時提升學生的解題效率，在日常教學中，教師應引導學生深入理解隔板法，并掌握拓展隔板法在不同情境下的應用，以便更有效地解決數(shù)學問題.

參考文獻：

[1]周霞.隔板拓展法在高中數(shù)學排列組合問題中的應用[J].中學生數(shù)理化(教與學)，2020(06)：93.

[2」毛惠明.拓展隔板法在高中數(shù)學解題中的應用LJ」.現(xiàn)代職業(yè)教育，2019(17)：80—81.