針對(duì)極端事件估計(jì)的高斯主動(dòng)學(xué)習(xí)算法

中圖分類號(hào)：TU311.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-6717（2025）04-0148-09

Gaussian active learning algorithm for extreme event estimation

YANG Haiting1a， YIN Weihao1a， HUANG Yanwen1a， YANG Cheng ^1b ， HU Ruiqing （l School of Civil Enginering;1b.Land Trafic Geological Disaster Prevention Technology National Engineering Research Center，Southwest Jiaotong University， Chengdu 6lOo31，P.R.China; 2. China Railway First Survey and Design Institute Group Co.，Ltd.，Xi'an7l0O43，P.R.China）

Abstract： Some major key structures willface extreme events during their service life，which may be ignored due to their extremely low probability，but will result in serious losses if they occur.In order to accurately estimate the minimum probability of failure of complex structures，this paper presents a method that can balance the accuracy and cost of calculating the probability of extreme events.Using an active learning strategy based on a Gaussian surrogate metamodel，a search function is constructed that can efectively concentrate the training points on one side of the tail，and the function is beter at finding the maximum error region weighted by the distribution function and re-investing the new training points.To verify the efectivenessof the algorithm，the nonlinear analysis ofa structural crack is taken as an example.The relative error of the proposed algorithm is about 10% compared to MCS.The mean relative error of the estimated random variables is about 10% ， indicating that this method can obtain acceptable statistical results. Compared to the results ofAL-GP，the error expectation of the estimated random variables is reduced by 20% ，indicating that the uncertainty in the tail can be reduced faster.The example proves that the algorithm is more sensitive to the tail and is suitable for the distribution calculation with potential tail risk.

Keywords： Gaussian surrogate model; reliability；active learning;extreme events

大型、復(fù)雜、關(guān)鍵的工程結(jié)構(gòu)往往需要具備較高的可靠性，雖然這些結(jié)構(gòu)都經(jīng)歷了規(guī)范可靠性設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)失效概率已經(jīng)被控制在較小范圍內(nèi)，但在全壽命服役期內(nèi)，仍然可能遭遇極為罕見的外部環(huán)境影響，例如，遠(yuǎn)超最大設(shè)計(jì)重現(xiàn)期的地震、極端氣候?yàn)?zāi)害、非法超載或意外撞擊、爆炸等[1-3]。這些極端外部環(huán)境導(dǎo)致的小概率危險(xiǎn)事件，可能產(chǎn)生巨大的直接或間接損失，對(duì)大型基礎(chǔ)設(shè)施的運(yùn)營(yíng)往往影響深遠(yuǎn)[4-5]。對(duì)于大型復(fù)雜基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)中的關(guān)鍵組件，破壞可能影響其他相關(guān)組件的功能，進(jìn)而產(chǎn)生災(zāi)害或故障的級(jí)聯(lián)效應(yīng)，顯著增大后續(xù)損失的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)[；大型城市的能源、衛(wèi)生、交通樞紐破壞可能導(dǎo)致更多的人員損失或基礎(chǔ)設(shè)施功能損失。因此，有必要充分估計(jì)這類發(fā)生概率較小的意外事故引發(fā)的工程風(fēng)險(xiǎn)，而能否準(zhǔn)確測(cè)度極端事件發(fā)生的極小概率是解決問題的關(guān)鍵。目前常用的計(jì)算方法有：蒙特卡羅模擬（MonteCarloSimulation，MCS）、一階可靠性方法（FORM）和二階可靠性方法（SORM）等分析方法。但大型工程結(jié)構(gòu)往往因構(gòu)件數(shù)量較多，結(jié)構(gòu)行為的非線性演化特征更為復(fù)雜，其隨機(jī)響應(yīng)具有高維特征。遭遇復(fù)雜結(jié)構(gòu)的深度非線性計(jì)算時(shí)，MCS高昂的計(jì)算成本導(dǎo)致其工程應(yīng)用有限；而對(duì)非線性較弱問題來說，F(xiàn)ORM和SORM在其漸近區(qū)域可能是求解的有效方法，但對(duì)于強(qiáng)非線性問題，效果差強(qiáng)人意[7]。因此，有必要提出一種既能降低計(jì)算成本，又能適用于強(qiáng)非線性問題的分析方法。

基于代理模型的隨機(jī)模擬法日益受到關(guān)注[8]。通常將近似原始模型但又更為簡(jiǎn)單的模型稱為代理模型。其在降低計(jì)算成本的同時(shí)，在計(jì)算高度非線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)方面也呈現(xiàn)出良好的效果[9]。常見的代理模型有：多項(xiàng)式響應(yīng)面[10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11-12]、支持向量機(jī)[13-14]、高斯過程（Gaussian Process，GP）[15]等。由于適用于小樣本學(xué)習(xí)，又能對(duì)觀測(cè)值插值和預(yù)測(cè)局部方差做準(zhǔn)確性判斷，近年來，GP得到了廣泛應(yīng)用。Lindgren應(yīng)用概率方法深入研究了多維高斯過程在可靠性分析中的應(yīng)用，為后續(xù)高斯過程在可靠性領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

單純的GP模型可能沒有考慮到試驗(yàn)誤差、固定噪聲等不確定性，與主動(dòng)學(xué)習(xí)相結(jié)合能夠有效改善這些不確定性帶來的影響[17]。Cohn等[18]將主動(dòng)學(xué)習(xí)融入高斯過程選擇訓(xùn)練數(shù)據(jù)，很大程度上減少了用于學(xué)習(xí)的樣本數(shù)量。杜蓓19通過主動(dòng)學(xué)習(xí)結(jié)合高斯過程構(gòu)建了一種非試驗(yàn)標(biāo)記樣本挑選算法。這些研究為后續(xù)使用主動(dòng)學(xué)習(xí)和高斯過程解決可靠性分析問題奠定了重要基礎(chǔ)。

基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的高斯主動(dòng)過程算法（activelearning-based Gaussianprocess，AL-GP）不僅能同時(shí)估計(jì)累積或互補(bǔ)累積分布函數(shù)（cumulativeorcomplementarycumulativedistributionfunction，CDF/CCDF），而且對(duì)分布全局有更高的求解效率和精度[20]。但AL-GP無法針對(duì)性地在概率分布的單側(cè)尾部區(qū)域投放訓(xùn)練點(diǎn)，而在工程中極端事件導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效往往發(fā)生在單側(cè)尾部區(qū)域。AL-GP雖能求解災(zāi)難風(fēng)險(xiǎn)的分布，但求解單側(cè)尾部的精度與效率仍待提高。筆者提出一套僅對(duì)單側(cè)尾部求解的方法 TS-GL（tail-sensitive global learning，TS-GL），通過基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的高斯過程元建模策略，構(gòu)建能將訓(xùn)練點(diǎn)有效集中在單側(cè)尾部的搜索函數(shù)，該函數(shù)更善于主動(dòng)尋找分布函數(shù)誤差最大區(qū)域，并在此投入新增訓(xùn)練點(diǎn)。

1算法介紹

將結(jié)構(gòu)的最大裂縫寬度作為輸出指標(biāo)，估計(jì)對(duì)應(yīng)分布的CDF/CCDF后，使用TS-GL算法對(duì)小概率事件進(jìn)行精確估計(jì)。因適用于訓(xùn)練不同的數(shù)據(jù)分布、進(jìn)行不確定性估計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，高斯過程代理模型成為常用的模型之一。

1. 1 CDF/CCDF的計(jì)算

Y 的累計(jì)分布函數(shù)（CDF）可以按式（1）計(jì)算。

F_Y（y）=P（Y?y）=P（G（x）?y）

式中： P（?） 表示概率。 可簡(jiǎn)化為積分

式中： _：fx（x） 是關(guān)于 x 的聯(lián)合概率分布函數(shù)； Y 的互補(bǔ)累計(jì)分布函數(shù)（CCDF）可以用 1-F_?Y（y） 表示。

1. 2 高斯代理模型

高維高斯過程參數(shù)優(yōu)化前后的示意圖如圖1所示。高斯代理模型經(jīng)過訓(xùn)練集的訓(xùn)練后可預(yù)測(cè)候

選集的響應(yīng)量為 ，其中 σ（x_i）），i=1，2…n ，預(yù)測(cè)代理模型可通過式（3）得到。

式中：k為設(shè)置置信水平， k=0=Φ^-1（50%） ， k=2= （ 97.72% ，分別對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)模型 和 ，其中， ，比如： 使用 替代候選集 x^* 中的實(shí)值 Y ，以此類推。

2 全局TS-GL算法

計(jì)算單側(cè)尾部概率的算法流程圖如圖2所示，框架圖如圖3所示。該框架使用了高斯代理模型，在估計(jì)CDF/CCDF的同時(shí)，也提高了對(duì)單側(cè)尾部估計(jì)的效率和精度。

AL-GP算法雖然能在單側(cè)某區(qū)域集中增加訓(xùn)練點(diǎn)。但在實(shí)際工程中，由于極端事件極小的發(fā)生概率，對(duì)CDF或CCDF的估計(jì)精度要求很高，而AL-GP無法滿足這種要求。因此需要針對(duì)性地改進(jìn)，使該算法對(duì)尾部的敏感性更高，適用于有潛在尾部風(fēng)險(xiǎn)的分布計(jì)算，也就是說，對(duì)由罕見外部環(huán)境影響導(dǎo)致的極端事件概率有更準(zhǔn)確的估計(jì)。為此增加權(quán)重函數(shù)，改造搜索函數(shù)，構(gòu)建了TS-GL算法，步驟如下：

1）生成初始訓(xùn)練集 {X_s，Y} 。 X_s 是由混凝土彈性模量、鋼筋彈性模量、鋼筋極限強(qiáng)度和養(yǎng)護(hù)時(shí)間生成的初始訓(xùn)練集， Y 是通過有限元模擬精確計(jì)算出的對(duì)應(yīng)輸出變量，本文為裂縫寬度。

2）使用 {X_s，Y} 訓(xùn)練高斯代理模型，其中核函數(shù)選用高斯核函數(shù)。

3）生成備選集 X_c ，計(jì)算對(duì)應(yīng)的三重估計(jì) 二

4）計(jì)算損失函數(shù) 若滿足停止準(zhǔn)則，則結(jié)束算法，否則進(jìn)入步驟5）。

5）利用新穎的搜索函數(shù)，找到誤差最大的 y_*^′

6）在 X_c 中搜索并找到學(xué)習(xí)函數(shù)最大的樣本 x^* 并計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的真實(shí)值 y_* ，形成新增訓(xùn)練點(diǎn){x^*，y^*}_c （204號(hào)

7）將新增訓(xùn)練點(diǎn) {x^*，y^*} 添加到初始訓(xùn)練集{X_s，Y} 。

8）返回至第2步。

X_s，Xc 均由拉丁超立方抽樣生成，數(shù)量級(jí)分別 為 10¹，10⁵ 。

2.1 生成初始訓(xùn)練集

初始訓(xùn)練集 X_s 由拉丁超立方抽樣得到。最少初始樣本數(shù)量可定義為一個(gè)二次多項(xiàng)式的最少數(shù)量 n 為輸入變量個(gè)數(shù)，算例中變量數(shù)量為4，因算例非線性關(guān)系較強(qiáng)，取初始訓(xùn)練集為50個(gè)（ n 個(gè)變量的二次多項(xiàng)式具有 [（n+1）（n+2）/2] 個(gè)系數(shù)，而樣本數(shù)量需要大于系數(shù)數(shù)量）。

為保證估計(jì)的失效概率 P_f?10^-3 ，變異系數(shù)始終小于 5% ，候選樣本集 X_c 依據(jù)變量的概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction，PDF），使用直接抽樣法得到，樣本規(guī)模為 10⁵ 。

2.2 的三重估計(jì)

對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng) Y 進(jìn)行三重估計(jì)是為了得到預(yù)測(cè)結(jié)果的置信區(qū)間，通過置信區(qū)間為判斷代理模型是否需要優(yōu)化提供相應(yīng)的依據(jù)。失效概率可以簡(jiǎn)化為積分

式中： f_x（x） 為向量 x 的聯(lián)合概率密度函數(shù)，{h（x）?0} 表示失效區(qū)域。

因?yàn)?f_x（x） 在有限元模型中很難定義，所以式（4）中的積分通常難以求得解析解。假設(shè)有一個(gè)足夠大的樣本集 ，使用MCS可以估計(jì)失效概率為

式中： n_f 為失效樣本的數(shù)量； n=|S| 為總樣本量。I_G（xi）?y0 為失效的指示函數(shù)，其中， G（x_i）?y₀ 時(shí)， I= 1，否則 I=0 。

根據(jù)式（4）和式（5）， Y 的CDF三重估計(jì)為

式中： a=- 、 0 、 + 分別對(duì)應(yīng)較低、平均、較高預(yù)測(cè)值，意味著對(duì)失效概率的保守、中間、激進(jìn)預(yù)測(cè)。這是選擇高斯過程模型作為代理模型的優(yōu)勢(shì)，不僅能給出失效概率的值，還能給出置信區(qū)間。用于計(jì)算 的備選集 X_c 需保持一致，以確保

2.3 誤差函數(shù)

置信區(qū)間雖然能在一定程度上反映模型的不確定性，但置信范圍波動(dòng)較大，可能會(huì)影響預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。因此對(duì)置信范圍做積分，判斷是否需要優(yōu)化模型。

式中

為了避免式（8）中的分母為0，將積分范圍由原始范圍 [-∞，+∞ ]變換為 [y_lower，y_upper] 感興趣的概率區(qū)域

算法停止準(zhǔn)則為

閾值 ε 可設(shè)置為

式中：ε為指定容差，一般設(shè)為0.1，式（8）應(yīng)平均地小于ε。

2.4學(xué)習(xí)函數(shù)

當(dāng)誤差函數(shù)不滿足停止準(zhǔn)則時(shí)，則需要對(duì)代理模型進(jìn)行優(yōu)化。使用學(xué)習(xí)函數(shù)的目的是找到最優(yōu)的訓(xùn)練點(diǎn)，不斷訓(xùn)練高斯代理模型，以減少尾部誤差，從而優(yōu)化高斯過程模型，其定義為

式中： 為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的CDF； 可理解為誤分類概率； 為新增訓(xùn)練樣本的中心預(yù)測(cè)值。

式（11）的目的是找到誤分類概率最高的地方并投入訓(xùn)練點(diǎn)。但在AL-GP算法中，由于閾值 y^′ 不固定，不能直接使用學(xué)習(xí)函數(shù)。因此，如何找到一個(gè)最優(yōu)的y^′ 就成為需要解決的問題。為了準(zhǔn)確估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)尾部概率，使用帶激活函數(shù)的搜索函數(shù)來尋找 y^′ 。

2.5帶激活函數(shù)的搜索函數(shù)

為了更加關(guān)注單側(cè)尾部即極端事件的發(fā)生，需要更加關(guān)注最大誤差 y^′， 對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)進(jìn)行改造，使新增訓(xùn)練點(diǎn)盡可能地集中在單側(cè)尾部并盡量覆蓋整個(gè)區(qū)域，以保證對(duì)小概率尾部極端事件的估計(jì)精度，即將式（8）分母 改為 或 即可實(shí)現(xiàn)對(duì)左尾或右尾的估計(jì)。由于結(jié)構(gòu)響應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)通常是單調(diào)的，因此將單調(diào)激活函數(shù)作為加權(quán)，形成新的搜索函數(shù)。

根據(jù)式（7），最直接的辦法是找到最大化誤差函數(shù) W^?（y） 中的 y^′ ，這意味著代理模型的誤差在 y_*^′ 處最大。同時(shí)，利用核函數(shù)實(shí)現(xiàn)局部化誤差的測(cè)量，最關(guān)鍵的是使用激活函數(shù)來強(qiáng)調(diào)感興趣的區(qū)域。

式中： 為以 y^′ 為中心、以 ω 為參數(shù)的高斯核函數(shù)； α（y^′） 為激活函數(shù)。

激活函數(shù)是為了能更好地估計(jì)極端事件導(dǎo)致災(zāi)害發(fā)生的概率，從而對(duì)損失函數(shù)再次加權(quán)，但由于風(fēng)險(xiǎn)與變量間為非線性關(guān)系，因此需要根據(jù)響應(yīng)量風(fēng)險(xiǎn)的分布選擇最優(yōu)的激活函數(shù)形式。sigmoid、tanh和relu三種常用的激活函數(shù)如圖4所示，其形式是遞增的，意味著關(guān)注程度隨響應(yīng)量的增加而增加，即搜索函數(shù)對(duì)分布的右尾敏感。

1）sigmoid激活函數(shù)

激活函數(shù) ，式（12）展開為

式中： 義域?yàn)?[-0.175，0.175]

2） tanh激活函數(shù)

激活函數(shù) 式 （12）展開為

式中： -ylower；σ（y）的定義域（號(hào)

為 [0，1] 。

3） relu激活函數(shù)

激活函數(shù) relu（y）=max（y，0） ，式（12）展開為

式中： 的定義域?yàn)?[0，0.5]

形式上，求解搜索函數(shù)等價(jià)于完成一個(gè)優(yōu)化問題，如式（16）所示。得到的最優(yōu)點(diǎn)記為 y_*^′

式中：高斯核區(qū)域被 y^′∈[y_low，y_upper] 截?cái)?。因此，歸一化常數(shù) Z 設(shè)置為

σ（y^′） 由式（18）得到，是AL-GP的簡(jiǎn)化方法?；驹硎窃趥溥x集 X_c 中找到 y^′ 的最近點(diǎn)，用最近點(diǎn)的 σ 代替想要的精確 σ 。

根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)，新增訓(xùn)練點(diǎn)為

3算例

3.1 試驗(yàn)設(shè)置

為了建立關(guān)于裂縫寬度的有限元模型，在楊文瑞[21]、Zhang等[22]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)蒸養(yǎng)GFRP筋混凝土預(yù)制構(gòu)件進(jìn)行模擬?；炷亮撼叽鐬? 100mm×178mm×178mm 。鋼筋放置于底部縱向，直徑為 19mm ，保護(hù)層厚度為 25mm 。荷載施加位置與支座距離 210mm ，以位移控制方式進(jìn)行加載。有4個(gè)輸入變量，分別為混凝土彈性模量、鋼筋彈性模量、鋼筋極限強(qiáng)度和養(yǎng)護(hù)時(shí)間。其中養(yǎng)護(hù)時(shí)間與混凝土抗壓和抗拉強(qiáng)度的非線性關(guān)系如圖5所示，結(jié)構(gòu)帶裂縫云圖如圖6所示。

3.2 輸入變量的分布

結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量及其分布形式統(tǒng)計(jì)量如表1所示。

3.3 新增訓(xùn)練點(diǎn)的分布

裂縫寬度是混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和評(píng)價(jià)中最具實(shí)際意義的參數(shù)之一。因此，與其他分布區(qū)間相比，更需要關(guān)注裂縫寬度分布函數(shù)的右尾，即將式（8）分母 改為 。

圖7為各方法新增訓(xùn)練點(diǎn)的頻數(shù)分布圖。從圖7中可以看出，與AL-GP相比，TS-GL算法能夠更有效地將訓(xùn)練集投放在單側(cè)尾部，實(shí)現(xiàn)對(duì)敏感尾部的關(guān)注。不同的激活函數(shù)會(huì)導(dǎo)致樣本點(diǎn)分布不同，與sigmoid和relu函數(shù)相比，tanh函數(shù)會(huì)在極端區(qū)域投入更多的訓(xùn)練點(diǎn)，說明tanh函數(shù)更適合估計(jì)極小概率的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

3.4 新增訓(xùn)練點(diǎn)

圖8為AL-GP和TS-GL的迭代圖。每個(gè)樣本均為四維向量，有3個(gè)指標(biāo)與輸出變量高度相關(guān)。即混凝土彈性模量與鋼筋極限強(qiáng)度及鋼筋彈性模量，因此用這3個(gè)指標(biāo)繪制散點(diǎn)圖。圖中淺灰色區(qū)域?yàn)楹蜻x樣本，藍(lán)色未填充圓圈為初始訓(xùn)練集，藍(lán)色填充圓圈為新增訓(xùn)練點(diǎn)。比較圖8（a）（b）可以發(fā)現(xiàn)，圖8（b）中藍(lán)色填充圓圈更集中在左下側(cè)區(qū)域，表明新增輸入樣本中3個(gè)指標(biāo)的均值更低，意味著迭代過程中選擇了更極端的新增輸入變量，與圖7的結(jié)果相一致。圖7表明，與AL-GP相比，TS-GL學(xué)習(xí)的新增訓(xùn)練點(diǎn)（裂縫值）極端大，所以圖8對(duì)應(yīng)的3個(gè)指標(biāo)才會(huì)極端小。

由于沒有對(duì)誤差積分范圍細(xì)化，3種激活函數(shù)的表現(xiàn)近似，這里僅對(duì)比AL-GP和采用tanh激活函數(shù)的TS-GL算法的結(jié)果。

3.5 分布統(tǒng)計(jì)信息

各方法的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表2。可以觀察到，TS-GL與MCS在對(duì)均值的估計(jì)上幾乎相同，相對(duì)誤差在 10% 以下。此外，TS-GL的抽樣規(guī)模明顯小于MCS方法，從而顯著降低了時(shí)間成本。盡管二者效果略有差異，但差距不大，可以認(rèn)為TS-GL能得到基本滿意的統(tǒng)計(jì)量結(jié)果。

3.6算法效率對(duì)比

對(duì)多次運(yùn)行后計(jì)算誤差的統(tǒng)計(jì)量（表3）進(jìn)行觀察，避免僅計(jì)算一次可能存在的偶然性。TS-GL算法在誤差期望上比AL-GP算法降低了約 20% ，說明高斯代理模型在右側(cè)尾部區(qū)域的不確定性降低更快，能更精確地估計(jì)小概率事件概率。顯而易見，在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)的尾部概率估計(jì)時(shí)，tanh激活函數(shù)的TS-GL算法更具有優(yōu)勢(shì)。

注：表3為算法50次獨(dú)立運(yùn)行后，對(duì)誤差和運(yùn)行次數(shù)分布函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。 E[ε_e] 為誤差的期望： ′σ（ε_e） 為誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

表3中，誤差定義 ε_e 為

設(shè)置裂縫寬度 y_lower，y_upper] 為

3.7 CCDF的迭代

TS-GL雖能更精確地估計(jì)小概率事件概率，但還需驗(yàn)證經(jīng)過主動(dòng)學(xué)習(xí)后的高斯代理模型是否能得到與真實(shí)復(fù)雜有限元模型一致的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量分布函數(shù)。選擇CCDF[26]以更好地可視化結(jié)構(gòu)響應(yīng)量右尾區(qū)域。圖9（a）、（b分別展示了CCDF在AL-GP和TS-GL算法框架下的迭代過程，比較可得，TS-GL用更低的迭代次數(shù)得到了最終結(jié)果。圖9（b）中紅線代表的TS-GL與藍(lán)線代表的MCS曲線重合度較高，表明代理模型與真實(shí)復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型得到的隨機(jī)響應(yīng)非常接近，驗(yàn)證了高斯代理模型的正確性。藍(lán)線之所以相對(duì)紅線較短，是因?yàn)镸CS的樣本數(shù)量為 10⁴ ，所得結(jié)果只在 CCDF?10^-2 范圍內(nèi)有效。比較圖9（b）左圖與右圖可以發(fā)現(xiàn)，灰色區(qū)域逐漸縮小，表明TS-GL算法訓(xùn)練的高斯代理模型不確定性在迭代過程中不斷降低。由此可見，該算法適用于實(shí)際結(jié)構(gòu)工程，有利于小概率極端事件的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。

4結(jié)論

提出的TS-GL算法使用了基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的高斯過程元建模策略，并將其與非線性分析有限元軟件相結(jié)合，形成了估計(jì)結(jié)構(gòu)極小失效概率的分析平臺(tái)。通過實(shí)際工程算例驗(yàn)證了算法的工程適用性，得出了以下結(jié)論：

1）TS-GL算法能對(duì)單側(cè)尾部施加更大關(guān)注，更主動(dòng)尋找極端事件，以實(shí)現(xiàn)代理模型的優(yōu)化。多次比較TS-GL算法與AL-GP的迭代誤差，誤差期望降低了 20% ，表明TS-GL進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)在單尾上有更快的估計(jì)效率。

2）將TS-GL算法與商業(yè)有限元軟件結(jié)合，驗(yàn)證了其對(duì)非侵入性結(jié)構(gòu)模擬計(jì)算的適用性。通過與商業(yè)有限元比較，證明了TS-GL算法能夠有效地進(jìn)行結(jié)構(gòu)模擬計(jì)算，具有良好的適應(yīng)性。

3）將TS-GL算法的輸出結(jié)果與MCS進(jìn)行比較，結(jié)果顯示，與MCS相比，TS-GL算法的輸出變量均值誤差小于 10% ，表明TS-GL算法在保持較高精度的同時(shí)，能夠顯著降低計(jì)算成本，提高計(jì)算效率。

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（編輯 王秀玲）