把握數(shù)學實驗的關(guān)鍵屬性

數(shù)學實驗應具有一些特定的關(guān)鍵屬性，如實驗目標的明確性、實驗流程的合理性、數(shù)據(jù)處理的準確性、結(jié)果分析的科學性，以及對數(shù)學概念和原理的體現(xiàn)與應用等。明確并探究數(shù)學實驗的關(guān)鍵屬性，可以助力教師更好地設(shè)計和實施數(shù)學實驗，促進學生深入理解數(shù)學概念、原理和思想方法，提升實踐能力和科學思維。本文以“紙杯\"數(shù)學實驗拓展環(huán)節(jié)為例，探討如何在數(shù)學實驗設(shè)計與實施中把握其關(guān)鍵屬性。

一、理清知識內(nèi)容，注重實驗目標的明確性

教師設(shè)計數(shù)學實驗目標時應關(guān)注知識的綜合應用，將測量、計算、推導、驗證等探究步驟融為一體，引導學生打通知識之間的關(guān)聯(lián)，深層次理解數(shù)學原理，提升科學探究能力。

“紙杯\"數(shù)學實驗拓展環(huán)節(jié)要求學生通過制作紙杯并測量其容積，探究幾何圖形與函數(shù)的關(guān)系，深入理解相關(guān)數(shù)學概念。在設(shè)計實驗前，教師必須理清相關(guān)知識內(nèi)容，明確核心問題，細化實驗目標。本實驗的核心問題是如何用一張圓形卡紙制作容積最大的紙杯（圓錐形）。圍繞這個問題，教師設(shè)定實驗目標： ① 掌握計算圓錐體積的方法，理解圓形卡紙周長、剪掉的扇形圓心角度數(shù)與所圍成圓錐底面半徑和高之間的關(guān)系，并將實際問題抽象為數(shù)學模型（函數(shù)表達式）； ② 通過探究并親手制作體積最大紙杯的過程，培養(yǎng)動手實踐能力、數(shù)據(jù)分析能力，增強模型意識，體會利用函數(shù)尋求最優(yōu)解的思想； ③ 在小組合作實驗中培養(yǎng)團隊協(xié)作能力，在反復嘗試中鍛煉嚴謹求實的科學態(tài)度和勇于探索的精神。

教師要在實驗前讓學生明確上述自標，幫助他們了解實驗的知識背景，明確實驗探究的方向，理解實驗的實際意義。

二、體現(xiàn)任務(wù)分層，確保實驗參與的有效性

數(shù)學實驗既要有一定的挑戰(zhàn)性，能引發(fā)學生深入探究，又要兼顧不同層次學生的認知能力和已有基礎(chǔ)。教師可以根據(jù)學生的差異化特點和實驗的不同階段，設(shè)計基礎(chǔ)、進階、挑戰(zhàn)等層級的任務(wù)，助力全體學生逐步深入地有效實驗，獲得學習成就感。

基于圓臺形紙杯體積等于相應大圓錐體積減去相應小圓錐體積，為簡化研究過程，教師引導學生通過研究圓形卡紙所圍成的圓錐體積的大小，探究紙杯容積最大問題。

首先，教師給出基礎(chǔ)任務(wù)：每人取一張統(tǒng)一大小的圓形卡紙，先從 30^° 左右、 .60^° 左右 .90^° 左右三個關(guān)鍵度數(shù)區(qū)間中選定一個區(qū)間內(nèi)的一個角度，在圓形卡紙上畫出以這個角度為圓心角的扇形并剪掉，再把剩余部分圍成一個圓錐（圓臺形紙杯所在大圓錐），用量杯向圓錐中注水，測量其容積。各組學生這樣操作后，把剪去的扇形圓心角度數(shù) ∝ 與對應的圓錐容積V整理在表格中。教師匯總各組的數(shù)據(jù)并呈現(xiàn)在黑板上。

然后，教師給出進階任務(wù)：對比觀察數(shù)據(jù)，尋找其中的規(guī)律。學生思考、討論后發(fā)現(xiàn)： ∝ 過?。ㄐ∮?0^° ）或過大（大于 80^° ）時，紙杯容積都偏小； ∝ 在50^°～70^° 區(qū)間時，紙杯能裝下的水量明顯增多且峰值出現(xiàn)在 ∝ 等于 65^° 左右。據(jù)此，他們猜想：若想用這張圓形卡紙做出容積最大的紙杯，理論上應把剪去的扇形圓心角控制在 65^° 左右。

最后，針對學有余力的學生，教師給出高階任務(wù)：嘗試探析容積V與扇形圓心角度數(shù) ∝ 的函數(shù)關(guān)系，確定使紙杯容積最大的扇形圓心角度數(shù)。這個任務(wù)具有挑戰(zhàn)性，學生需要對實際問題進行數(shù)學建模。實際探究中，有的學生主導小組成員根據(jù)幾何關(guān)系推導公式；有的學生組織小組成員不斷增加數(shù)據(jù)，進行逼近分析。教師分別予以指導或點撥，引導學生解決問題，在各自水平上獲得提升。

三、規(guī)劃實驗流程，關(guān)注實驗探究的生成性

教師要合理規(guī)劃數(shù)學實驗流程，統(tǒng)合觀察、記錄、測算、制作等操作步驟和調(diào)校數(shù)據(jù)、改進方案等實踐環(huán)節(jié)，引導學生先明確問題、設(shè)計方案，再做實驗，然后反思推理、討論驗證，最后形成報告，助推學生更好地解決數(shù)學問題，提升科學探究能力。同時，為體現(xiàn)實驗探究的生成性，教師要在既有實驗流程的基礎(chǔ)上，注意捕捉學生實驗過程中生發(fā)的新想法并有效引導。

例如，在實驗數(shù)據(jù)分析階段，一名學生質(zhì)疑：“為什么剪去的扇形圓心角度數(shù)很小時，圍成的圓錐底面積很大，裝入的水量卻不是最多？”教師敏銳捕捉到這個生成性問題，引導學生思考影響其容積大小的因素。經(jīng)過討論，學生意識到圍成的圓錐的高度和底面積都會影響其容積大?。杭羧サ纳刃螆A心角度數(shù)過小時，圍成的圓錐雖然底面積大，但高度矮；剪去的扇形圓心角度數(shù)過大時，圍成的圓錐雖然高，但底面積小。學生自主生成的認知，使他們理解了所制作的紙杯容積存在最大值的原因。

四、優(yōu)化數(shù)據(jù)處理，提高實驗結(jié)果的科學性

首先，教師要求學生用表格規(guī)范記錄所剪扇形圓心角度數(shù)和圍成的圓錐高度、底面直徑、容積等數(shù)值，助力學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。其次，教師引導學生將收集的數(shù)據(jù)繪制成圖表，以剪去的各扇形圓心角度數(shù) ∝ 為橫軸、以圍成的圓錐容積V為縱軸作曲線，進而直觀地發(fā)現(xiàn)隨著 ∝ 由小到大，圓錐的容積先增后減，并在60^°～70^° 區(qū)間的某個點達到峰值，從而獲得確切的證據(jù)。如果個別數(shù)據(jù)偏離整體趨勢，教師就要引導學生分析誤差來源，如制成的圓錐成品尺寸與測算尺寸有差異、測量時讀數(shù)不準確等。師生要共同討論改進措施，如重復試驗，取圓錐容積的平均值等。

五、激發(fā)創(chuàng)新思維，增強實驗探究的挑戰(zhàn)性

教師在數(shù)學實驗中設(shè)置開放性問題能增強實驗探究的挑戰(zhàn)性，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維。“紙杯”數(shù)學實驗拓展環(huán)節(jié)通過探究“最優(yōu)形狀\"的問題，為學生提供挑戰(zhàn)性任務(wù)。

探究紙杯“最優(yōu)形狀”的問題，本質(zhì)上是尋找紙杯容積（本實驗中看作圓錐容積）的最大值。有的學生起初猜測剪去 90^° 圓心角的扇形可能獲得“最優(yōu)形狀”，有的學生認為剪去的扇形圓心角度數(shù)越小越好。通過實驗操作和數(shù)據(jù)分析，他們發(fā)現(xiàn)起初的猜測不正確，并基于證據(jù)逐步修正了觀點。在理論推導階段，學生需要攻克確定“最優(yōu)扇形圓心角度數(shù)”的難題。教師引導他們運用創(chuàng)造性方法尋求答案，如根據(jù)更多的實驗數(shù)據(jù)近似描繪曲線來推測峰值所在圓心角度數(shù)范圍，借助計算器在不同扇形圓心角度數(shù)下試算容積來逐步逼近最優(yōu)解等。教師在給予學生適當方法提示的同時，注重培養(yǎng)他們的探索精神，通過鼓勵性評價語幫助其樹立攻堅克難的信心。值得關(guān)注的是，部分學生在完成探究任務(wù)后主動提出“能否用不同形狀的紙片做類似實驗？如果研究圓臺形紙杯，其‘最優(yōu)形狀'會怎樣？\"等問題，這體現(xiàn)出學生濃厚的探究欲望和活躍的創(chuàng)新思維。教師給予肯定，并鼓勵有興趣的學生課后繼續(xù)探究。

教師應在強調(diào)實驗操作規(guī)范性的基礎(chǔ)上，引導學生關(guān)注數(shù)據(jù)的準確性，掌握控制誤差的方法，在提高實驗結(jié)果科學性的同時，體會嚴謹求證的重要性。

（作者單位：麻城市第六初級中學）文字編輯劉佳