多維互生，人人會學”：指向數(shù)學 “三會”素養(yǎng)落地的教學路徑研究

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下通稱“數(shù)學新課標”明確指出：“數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)當具備的基本素養(yǎng)。\"通過數(shù)學學習，學生逐步“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”（以下通稱“三會\"素養(yǎng)），這是課程總目標。然而，觀照一線小學數(shù)學教學實踐，“三會”素養(yǎng)的落地仍存在諸多問題亟待解決。

一、“多維互生，人人會學”的提出：“三會”素養(yǎng)落地不實問題亟待解決

（一）“三會\"素養(yǎng)本質(zhì)待厘清

數(shù)學新課標指出，課程目標的確定，立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學課程育人價值。數(shù)學新課標對“三會\"素養(yǎng)內(nèi)涵進行了闡釋，并提出了十一個表現(xiàn)。數(shù)學眼光：符號意識、數(shù)感、量感、空間意識、幾何直觀；數(shù)學思維：推理意識、運算能力；數(shù)學語言：模型意識、數(shù)據(jù)意識；核心概念：應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。但“三會”素養(yǎng)較為抽象，且沒有直接說明與“四基（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）”“四能（發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力、解決問題的能力）\"“四心向\"（興趣、信心、習慣、精神）的關(guān)系，導(dǎo)致部分教師制定教學目標時依然按照“三維”自標進行。

核心素養(yǎng)是指能廣泛應(yīng)用、普適遷移的正確價值觀、必備品格與關(guān)鍵能力。簡單地說，就是一些通性、通理、通法、通能。數(shù)學學科重點發(fā)展“三會\"素養(yǎng)。數(shù)學新課標指出，數(shù)學眼光是一種認識與探究世界的觀察方式，包括發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式，提出有意義的數(shù)字問題，能根據(jù)數(shù)學研究對象及屬性抽象出概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)，能理解數(shù)學原理，能感悟數(shù)學審美價值，能形成好奇心、主動參與活動、發(fā)展創(chuàng)新意識。數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)感、量感、符號意識、幾何直觀、空間觀念、創(chuàng)新意識等幾個表現(xiàn)?？梢钥闯?，數(shù)學眼光實際上就是一種研究與理解事物的學科視角、感覺、直覺，即看到客觀事物中的數(shù)學，能抽象出概念，理解原理，激發(fā)好奇心，主動參與，理解數(shù)學。

但僅靠眼光，難以理解數(shù)學，數(shù)學思維價值也難以凸顯。數(shù)學思維包括揭示本質(zhì)，建立數(shù)學對象間、數(shù)學與世界間的聯(lián)系，根據(jù)已知事實推出結(jié)論并建立數(shù)學邏輯體系，通過計算思維將信息簡約和形式化，進行系統(tǒng)設(shè)計與問題求解，形成科學態(tài)度與理性精神。具體表現(xiàn)包括具備推理意識與運算能力，即通過符號運算、形式推理可以得出結(jié)論，解決問題，形成理性精神。數(shù)學思維是一種思考方式，集中體現(xiàn)為一種邏輯推理能力，實現(xiàn)由此及彼推出結(jié)論，解決問題。因此，數(shù)學思維即推理與發(fā)展數(shù)學，讓數(shù)學基于概念、關(guān)系、結(jié)構(gòu)得出結(jié)論，解決問題。

數(shù)學語言是一種表達方式，包括簡約精確地描述數(shù)量關(guān)系與空間形式，通過構(gòu)建數(shù)學模型表達與解決問題，理解數(shù)據(jù)意義，會用數(shù)據(jù)進行決策，形成數(shù)學表達與交流能力。其表現(xiàn)有模型意識、數(shù)據(jù)意識與應(yīng)用意識，也就是讓學生能用數(shù)學語言進行交流，將結(jié)論用數(shù)學符號、公式表示，進而解決問題。此外，還能讓學生讀懂數(shù)據(jù)，如物理學、生物學、心理學中有很多理論、模型都是用數(shù)學符號與公式來表示，因為數(shù)學語言簡約精確，具有一般性，其本質(zhì)上是表達與應(yīng)用數(shù)學。

由此，“三會\"素養(yǎng)從價值觀上是感悟數(shù)學有用；從內(nèi)容載體上是讓學生經(jīng)歷數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過程；從關(guān)鍵能力上體現(xiàn)為能發(fā)現(xiàn)數(shù)學、提問、抽象、會解釋原理與本質(zhì)、推理、解問、運算、建模、讀懂數(shù)據(jù)、交流表達等，也就是能用數(shù)學進行研究，得出結(jié)論方法；從必備品格上，形成保持好奇心，積極參與、有信心，養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流等好習慣（側(cè)重活動），形成質(zhì)疑問難、勇于探索、自我反思、嚴謹求實（側(cè)重品格）的科學精神。一言以蔽之，就是引導(dǎo)學生樹立正確價值觀、形成必備品格與關(guān)鍵能力，使其能自主研究、學習與應(yīng)用數(shù)學知識解決問題。

進一步剖析，數(shù)學課程目標可分成三個不同的層次：“三會\"素養(yǎng)是上位的目標，“十一個\"表現(xiàn)是中位的目標，“四心向”“四基”“四能\"是下位的目標，它們分別是基礎(chǔ)性、過程性、組成性目標。沒有數(shù)學思想方法的積累，學生就無法探究新知；缺少新知的建構(gòu)，數(shù)感、量感就缺少載體無法生根發(fā)芽；沒有數(shù)感、量感的累積，再普適性的數(shù)學研究、推理、解決問題、交流也會如空中樓閣。因此，“三會”素養(yǎng)具有整體性、一致性與階段性的特點。

（二）“三會”素養(yǎng)生長與發(fā)展機理待揭示

厘清“三會\"素養(yǎng)的本質(zhì)還不夠，部分教師對“三會\"素養(yǎng)的生發(fā)機理不清楚，導(dǎo)致其“備、教、學、評”的分離，使教學目標未扎實落地。只有厘清“三會”素養(yǎng)的生發(fā)機理，教學設(shè)計的科學性才有保障。

根據(jù)上文分析，“三會”素養(yǎng)本質(zhì)上是讓學生經(jīng)歷數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過程，以知識為載體，不斷獲得“四基”提升“四能”形成“四心向”，豐厚“十一個\"表現(xiàn)，最終形成與發(fā)展“三會\"素養(yǎng)。而數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用的過程實際上是一個問題解決的過程。任何學科知識的產(chǎn)生首先源于現(xiàn)實生活中問題解決的需要，然后進行研究，抽象出概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)，進一步推理得出結(jié)論與方法，解決問題，并產(chǎn)生新的問題，如此循環(huán)往復(fù)。問題解決的過程本質(zhì)上是一個認知矛盾沖突的過程。認知矛盾沖突的解決是以學生已有“四心尚”“四基”“四能”為基礎(chǔ)支持下的類比遷移、建構(gòu)、發(fā)展的過程。例如，量感這一表現(xiàn)的生發(fā)機理是：量感是對事物可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。具體行為表現(xiàn)是知道度量的意義，理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會選擇合適單位進行度量，會進行單位換算；感知誤差，能合理得到或估計度量的結(jié)果。量感這一表現(xiàn)，內(nèi)含價值觀、核心知識、思想方法、關(guān)鍵能力、必備品格、活動樣態(tài)等?；镜幕顒訕討B(tài)就是遇到需要測量的問題時，借助已掌握的計數(shù)單位、人民幣單位、時間單位、質(zhì)量單位的活動經(jīng)驗來解決問題。必備品格是養(yǎng)成定量認識與解問的習慣，培養(yǎng)嚴謹求實的科學精神。

因此，“三會”素養(yǎng)發(fā)展的過程概括起來就是以問題發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的過程為主線，以知識內(nèi)容學習為主載體，以“四心向”“四基”“四能”“三會\"素養(yǎng)為基礎(chǔ)，推動問題解決與新問題產(chǎn)生，促進數(shù)學知識產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用，是學習者不斷實現(xiàn)人生優(yōu)化與奠基未來幸福生活的過程。

（三）“三會”素養(yǎng)落地路徑待探明

教師只有對“三會\"素養(yǎng)機理具有清晰認識，厘清“三會”素養(yǎng)落地的路徑，其教學設(shè)計才有遵循，教學實施也才能明晰方向。通過上文的梳理，“三會”素養(yǎng)生發(fā)于學生研究數(shù)學、學習數(shù)學的過程之中，具體來看，其生發(fā)于學生經(jīng)歷數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程之中。當然，因為受到經(jīng)驗基礎(chǔ)、學習時空的限制，學生往往不能完整經(jīng)歷，更多的是一種濃縮式的經(jīng)歷，這個經(jīng)歷即復(fù)演與再創(chuàng)造。而數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用的過程，實際上是一個問題解決的過程，其本質(zhì)上是建構(gòu)數(shù)學知識，生成結(jié)論方法以解問的過程。

那么，怎樣建構(gòu)新知呢？數(shù)學新課標指出了這個建構(gòu)的過程，對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系進行抽象，得到研究對象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型建構(gòu)等，形成數(shù)學的結(jié)論和方法，幫助學生認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。因此，基于新知建構(gòu)發(fā)展素養(yǎng)的過程可以再具體化，也就是基于問題的發(fā)現(xiàn)、提出與分析，對客觀事物從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系等數(shù)學屬性抽象出概念、本質(zhì)、規(guī)律、關(guān)系等數(shù)學原生知識，再通過符號運算、形式推理、模型建構(gòu)，形成數(shù)學的結(jié)論與方法等衍生知識；基于大概念關(guān)聯(lián)感悟數(shù)學一致性本質(zhì)，建立清晰的認知結(jié)構(gòu)，形成整體認識。以“四心向\"“四基\"“三會”素養(yǎng)為基礎(chǔ)與輸出，可推動問題解決與新問題產(chǎn)生，不斷推動數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展。因此，新知建構(gòu)的過程本質(zhì)上就是原型經(jīng)驗改造、規(guī)范、數(shù)學化的過程（如圖1）。

以上認知矛盾沖突解決的過程可以用“多維互生”予以概括?！岸嗑S”是世界存在的樣態(tài)，“互生”是世界發(fā)展的動能?！岸嗑S互生”是事物存在及發(fā)展的本質(zhì)與動能。結(jié)合上文對數(shù)學新知建構(gòu)與素養(yǎng)發(fā)展機理的分析，數(shù)學內(nèi)部各要素、數(shù)學育人各價值是多維的，數(shù)學認知沖突的解決訴諸多維間的相互影響與轉(zhuǎn)化，即“互生”。因此，“多維互生\"是數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的本質(zhì)與動能。

二、“多維互生，人人會學”的結(jié)構(gòu)：“五大互生”，促進“三會”素養(yǎng)發(fā)展

“多維\"蘊含著多個角度、多個維度、多樣形式、多個方面等含義。“多維”是世界萬事萬物的存在形態(tài)，任何事物不管是從物質(zhì)屬性、內(nèi)在構(gòu)成成分來看，還是從它衍生的功用屬性、精神屬性、社會屬性來看，都是多維存在的?！盎ド笔侵附换グl(fā)生、互動生成、互相影響、互相生長之意。因此，“多維互生”是指遵循數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用復(fù)演與再創(chuàng)造的機制，遵循“三會\"素養(yǎng)生發(fā)的本質(zhì)與機理，通過數(shù)學內(nèi)部各要素，數(shù)學育人各領(lǐng)域、各結(jié)構(gòu)、各環(huán)節(jié)的互相作用、相互影響、相互轉(zhuǎn)化、相互生成，解決認知矛盾，實現(xiàn)師生“四心向”“四基”“四能\"的不斷累積、優(yōu)化與發(fā)展，促進師生“三會”素養(yǎng)的共同發(fā)展。“多維互生”是“三會\"素養(yǎng)發(fā)展的路徑，是教學設(shè)計與實施的基本遵循。

基于上文新知建構(gòu)發(fā)展“三會”素養(yǎng)的過程剖析，教學設(shè)計就是把這個過程轉(zhuǎn)化為學生學習的軌道，教學實施就是讓學生在軌道中奔跑。這個“軌道”本質(zhì)上是一個“多維互生\"的路徑，至少包括“問探互生、彼此互生、點體互生、用創(chuàng)互生、內(nèi)外互生”五大基本要義。“問探互生\"即問題的發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決，這是素養(yǎng)生發(fā)的主線。“彼此互生”是指借助已有原型經(jīng)驗，通過抽象得出原生知識，借助運算、推理、建模等過程，形成衍生知識。原型經(jīng)驗、原生知識、衍生知識就是彼此互生的過程。衍生知識又會成為下一次學習的經(jīng)驗基礎(chǔ)?！氨舜恕边€包括“他”與“我\"的相互影響，包括形象、具象、表象與抽象之間的互相轉(zhuǎn)化，以及看、聽、做、思、說等多感官的協(xié)同建構(gòu)?！包c體互生”是指得出結(jié)論方法后，還應(yīng)該左右兼顧、上下聯(lián)通，把新學知識納入對應(yīng)主題中進行關(guān)聯(lián)融通，梳理出一致性本質(zhì)，建立清晰的認知結(jié)構(gòu)，掌握通性、通理、通法，從而學通數(shù)學?！坝脛?chuàng)互生”是指解決問題后還應(yīng)該遷移應(yīng)用新知解決新問題，甚至創(chuàng)造新規(guī)律，以此不斷發(fā)展素養(yǎng)。“內(nèi)外互生\"既指向課內(nèi)與課外的聯(lián)通，進行實踐拓展學習；也指向數(shù)學與其他學科的關(guān)聯(lián)，如跨學科主題學習；還指向數(shù)學育智與數(shù)學育人的互生，進而讓每個學生都能在數(shù)學學習方面得到不同的發(fā)展。

三、“多維互生，人人會學”的實踐：以“毫米的認識”一課教學為例

鑒于學生掌握長度單位的基本方法與經(jīng)驗，了解新單位產(chǎn)生的意義與必要性，知道基本標準量（1厘米、1米、1毫米）的規(guī)定性，會借助一些常見的物品建立1厘米、1米、1毫米的表象，教師可以讓他們用數(shù)一數(shù)的方法來探究米和厘米的關(guān)系，以及會用直尺規(guī)范測量。

本節(jié)課教學自標擬定如下：一是通過操作體驗、觀察、估量、交流、想象等活動，感受毫米產(chǎn)生的必要性，建立1毫米長度表象，知道1厘米 ：=10 毫米，會進行簡單的換算，知道何時選用毫米作單位并能進行精準測量，感悟測量的本質(zhì)是計量單位的累加，進一步發(fā)展量感。二是初步感受類比思想的價值與運用，涵養(yǎng)嚴謹求實的科學精神。三是感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，提升學習數(shù)學的興趣與信心。

（一）“問探互生”，發(fā)展批判思維

問題是課堂學習的驅(qū)動器。開課時，教師以猜身高游戲復(fù)習米和厘米，拋出“量解放碑高度、課桌寬度選哪個單位”，喚醒學生已有經(jīng)驗。隨后，教師讓學生用合適單位測量數(shù)學書本寬度，學生選厘米測量后，發(fā)現(xiàn)結(jié)果是幾厘米多一些，教師順勢引導(dǎo)提問，學生自然提出“如何精確測量多出部分”的問題。因不足1厘米無法用整厘米表示，由此引出新的長度單位“毫米”。接著，教師讓學生針對毫米提問，學生提出“1毫米如何規(guī)定”“生活中哪些物體長1毫來”“是否有毫米尺及如何測量\"等系列子問題，在不斷提問中驅(qū)動思維生長，推動探究學習。

（二）“彼此互生”，提升邏輯思維

新知識的建構(gòu)源于對舊經(jīng)驗的改造。在毫米知識探究中，教師圍繞“1毫米有多長\"“哪里見過1毫米\"等問題，引導(dǎo)學生分享經(jīng)驗。學生發(fā)現(xiàn)直尺上1厘米間的小格長度為1毫米，教師邀請學生上臺指認，加深直觀認識。隨后，通過在直尺上指認、估測身份證等物體厚度、用手指比畫等多感官操作，學生建立起1毫米的長度表象?；貧w直尺，教師借助課件引導(dǎo)學生數(shù)小格，學生通過數(shù)3小格、5小格等，發(fā)現(xiàn)5毫米刻度線更長，便于測量。數(shù)到10小格時，學生發(fā)現(xiàn)10個1毫米就是1厘米，進而得出1厘米 ：=10 毫米。在不斷探究問題的過程中，學生將生活經(jīng)驗抽象為數(shù)學知識，完成新知識的理解與建構(gòu)。

（三）“點體互生”，活化結(jié)構(gòu)思維

數(shù)學學習需突破散點式局限，以結(jié)構(gòu)化學習強化遷移應(yīng)用與理解記憶，核心在于感悟數(shù)學內(nèi)在一致性。這種一致性體現(xiàn)在知識的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用機制，同一主題內(nèi)容結(jié)構(gòu)以及思想方法上?！包c體互生”強調(diào)貫通數(shù)學學科內(nèi)外的普適方法，掌握通性、通理、通法，實現(xiàn)舉一反三。在教學實踐中，可通過形成結(jié)構(gòu)化學習習慣落實“點體互生”。課堂上，教師引導(dǎo)學生結(jié)合板書總結(jié)所學，關(guān)聯(lián)前后知識，優(yōu)化主題認知；單元結(jié)束后，讓學生繪制思維導(dǎo)圖梳理內(nèi)容；學期復(fù)習時，系統(tǒng)整合主題知識與方法。以長度單位教學為例，教師在結(jié)課時可引導(dǎo)學生回顧“測量需先規(guī)定單位”，梳理米、厘米、毫米的長度及關(guān)系，掌握單位選用要點，從而建立清晰認知結(jié)構(gòu)，把握數(shù)學底層邏輯。

（四）“用創(chuàng)互生”，激活創(chuàng)新思維

“用創(chuàng)互生\"就是指及時遷移應(yīng)用，實踐創(chuàng)造，進而提升問題，解決能力，發(fā)展素養(yǎng)。學生是否學會，要看其是否能用所學知識解決新問題。

一節(jié)課從知識與方法的綜合性角度，可以分成應(yīng)用數(shù)學知識與運用方法解決問題的練習，綜合運用數(shù)學與其他學科知識方法解決問題，綜合運用各方面的知識與方法完成項目建構(gòu)新模型的練習等。

教師根據(jù)練習的形式，可以分為閱、玩、做、畫、說等形式的作業(yè)；根據(jù)思維的性質(zhì)，可以分為基礎(chǔ)應(yīng)用、變式應(yīng)用、開放應(yīng)用等練習；根據(jù)完成對象，可以分為統(tǒng)一練習與個性練習等類型；根據(jù)時空場，可以分為課內(nèi)、課外等應(yīng)用；根據(jù)認知層次，可以分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造等層次的作業(yè)；根據(jù)比格斯SOLO理論，可以分為前結(jié)構(gòu)、單點結(jié)構(gòu)、多點結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、拓展抽象結(jié)構(gòu)等層次的作業(yè)。

（五）“內(nèi)外互生”，形成成長思維

數(shù)學學習是一個不斷生發(fā)問題、解決問題，建構(gòu)新知、產(chǎn)生新知沖突的循環(huán)演進過程。教師通過追問學生還想研究什么，激發(fā)其進行橫向的拓展學習或縱向的深化研究、長程學習，持續(xù)激發(fā)其探究欲、好奇心，使其感悟數(shù)學與其他學科、與社會生活與未來發(fā)展的關(guān)系。同時，教師還可以將課內(nèi)學習與課外實踐聯(lián)通起來，引導(dǎo)學生學以致用、用以致學、學用一體，促進其“三會\"素養(yǎng)的進一步發(fā)展。另外，數(shù)學學習還要處理好數(shù)學育智與全面育人的和諧統(tǒng)一，落實立德樹人。例如，在“三會\"素養(yǎng)培育中，教師要激發(fā)學生的學習興趣，引導(dǎo)學生建立積極的情感體驗，發(fā)展好奇心、想象力、創(chuàng)新意識；使學生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學態(tài)度與理性精神等對于學生學習其他學科、解決真實問題都能起到積極的影響。如本課中，學生感悟到精確測量很重要后，能在潛移默化中養(yǎng)成嚴謹求實的科學精神。本節(jié)課后，學生提出還有沒有更短的長度單位，如何測量地球赤道一圈的長度。這些問題能激發(fā)學生進一步研究與學習，也能牽引學生主動溝通關(guān)聯(lián)，為其后續(xù)學習奠定基礎(chǔ)。

參考文獻：

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（責任編輯：趙春艷）