核心素養(yǎng)視域下小學數(shù)學模型意識的培育路徑

" 一、前言

在全球化與智能化深度融合的21世紀，教育范式正從“知識傳授”向“素養(yǎng)培育”轉(zhuǎn)型，其核心目標指向“培養(yǎng)全面發(fā)展的人”?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》將“模型意識”確立為小學數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵維度，明確其作為“形成模型觀念的經(jīng)驗基礎(chǔ)”的教育價值。這一界定既呼應了經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）提出的“核心素養(yǎng)是適應復雜社會挑戰(zhàn)的整合性能力”的國際共識，也契合我國“會用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界”的育人目標體系。

從本質(zhì)而言，模型意識的培育是架設(shè)數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的認知橋梁，其核心在于引導學生經(jīng)歷“現(xiàn)實問題數(shù)學化—數(shù)學問題模型化—數(shù)學模型應用化”的完整思維歷程，進而發(fā)展問題解決能力、批判性思維與跨學科整合素養(yǎng)。本文立足國際國內(nèi)研究前沿，結(jié)合教育學、心理學理論與教學實踐，構(gòu)建“理論解構(gòu)—價值闡釋—路徑建構(gòu)—挑戰(zhàn)應對”的立體化培育框架，以期為小學數(shù)學教學提供可操作的實踐范式。

" 二、理論基石：模型意識的概念解構(gòu)與理論支撐

" （一）數(shù)學核心素養(yǎng)的理論譜系：國際鏡像與本土建構(gòu)

數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵解析需置于全球化視野下進行雙向觀照。國際層面，PISA項目將其界定為“個體在不同情境中理解、運用并評價數(shù)學的能力，包括數(shù)學推理、問題表征與策略選擇”。國內(nèi)研究則更注重素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)性與發(fā)展性：教育部將數(shù)學核心素養(yǎng)定義為“具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力與情感態(tài)度的綜合體現(xiàn)”。從層級結(jié)構(gòu)看，數(shù)學核心素養(yǎng)呈現(xiàn)“三階遞進”特征：基礎(chǔ)層為知識技能，涵蓋數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域的基本概念與運算能力，構(gòu)成建?；顒拥闹R根基；中間層為思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，包括抽象概括、邏輯推理、數(shù)學建模等核心要素，其中模型意識作為問題解決素養(yǎng)的核心，需依賴數(shù)學抽象實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化、借助邏輯推理完成模型驗證，并與數(shù)據(jù)分析觀念形成協(xié)同效應；頂層為應用意識與社會價值，指向運用數(shù)學模型解釋社會現(xiàn)象、解決現(xiàn)實問題的實踐能力，以及對數(shù)學文化價值的認同。

模型意識在核心素養(yǎng)體系中具有獨特的樞紐地位：與數(shù)學抽象聯(lián)動，完成“現(xiàn)實問題數(shù)學化”的建模前提與“數(shù)學模型現(xiàn)實化”的反哺過程；與邏輯推理協(xié)同，貫穿“模型假設(shè)—演繹驗證—修正完善”的建模全程；與應用意識互促，實現(xiàn)模型從“抽象結(jié)構(gòu)”到“情境化應用”的循環(huán)轉(zhuǎn)化；與數(shù)據(jù)分析觀念整合，形成“數(shù)據(jù)驅(qū)動建?！Ｐ徒忉屢?guī)律”的認知閉環(huán)，成為核心素養(yǎng)網(wǎng)絡中的關(guān)鍵節(jié)點。

" （二）模型意識的內(nèi)涵與構(gòu)成要素

張奠宙教授在《小學數(shù)學研究》中對數(shù)學模型進行了二元界定：廣義層面，數(shù)學中的基本概念、公式、法則、方程等均屬于數(shù)學模型范疇，如“速度×時間=路程”的數(shù)量關(guān)系式；狹義層面，僅指針對特定現(xiàn)實問題構(gòu)建的數(shù)學關(guān)系結(jié)構(gòu)，如“雞兔同籠”問題中的假設(shè)模型。這一界定為教學實踐提供了層次化的操作框架——低年級可從廣義模型入手，感知數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)性；中高年級逐步聚焦狹義模型，掌握問題建模的方法論。

數(shù)學的本質(zhì)是“模式的建構(gòu)與研究”，模型意識則是主體在問題解決中主動調(diào)用數(shù)學模式的心理傾向。相較于初中階段“模型觀念”的系統(tǒng)性與抽象性，小學數(shù)學模型意識更強調(diào)“初步感知、主動應用、經(jīng)驗積累”的階段性特征，其形成需經(jīng)歷“知識結(jié)構(gòu)—認知結(jié)構(gòu)—思維結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)化過程，具體包含四大核心要素：數(shù)學結(jié)構(gòu)敏感性，能從生活情境中快速識別數(shù)量關(guān)系、空間形式等數(shù)學結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)為對“隱藏數(shù)學信息”的敏銳捕捉能力；主動建模傾向性。面對問題時自覺激活已有模型或嘗試構(gòu)建新模型，體現(xiàn)為“數(shù)學化解決”的思維慣性；模型局限性認知，理解模型的適用條件與簡化假設(shè)；數(shù)學化過程認同，經(jīng)歷“現(xiàn)實問題→數(shù)學抽象→模型構(gòu)建→問題解決”的完整流程，認同建模是“從具體到一般再到具體”的思維路徑，形成對數(shù)學建模方法論的元認知。

" （三）理論支撐：多元學習理論的融合視角

1.弗賴登塔爾數(shù)學化理論：建模的認知路徑

弗賴登塔爾提出的“數(shù)學化”理論為模型意識培育提供了核心方法論。弗賴登塔爾認為數(shù)學化是一種建模形式。一種是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的水平數(shù)學化，這一過程是現(xiàn)實問題和數(shù)學問題之間相互轉(zhuǎn)化；另一種是從符號到概念的垂直數(shù)學化，是對已經(jīng)符號化了的問題在數(shù)學范疇之內(nèi)做進一步抽象。這一過程是將具體模型進一步的抽象處理成一般模型。這一雙重過程構(gòu)建了“現(xiàn)實世界—符號世界”的雙向轉(zhuǎn)換機制，教師需通過“情境創(chuàng)設(shè)—問題剝離—符號表征”的教學序列，引導學生經(jīng)歷數(shù)學化的完整鏈條，理解模型是“現(xiàn)實問題的數(shù)學表達”。

2.波利亞問題解決理論：建模的階段框架

波利亞認為問題解決過程包括弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧四個階段，與建模過程高度契合：在“弄清問題”階段，學生通過表征問題明確建模目標；“擬定計劃”階段需選擇建模策略；“實現(xiàn)計劃”階段完成模型構(gòu)建與求解；“回顧”階段則對模型進行檢驗與優(yōu)化。因此，該理論支撐本研究所提出的數(shù)學模型意識的培育路徑。

" 三、培育價值：模型意識的多維育人功能

一方面構(gòu)建模型的過程本質(zhì)是“抽象—推理—建?！獞谩钡乃季S鏈，因此，發(fā)展學生的模型意識可以提高學生的抽象能力、推理能力與批判思維。例如，從“蘋果分配”情境中剝離“總量÷份數(shù)=每份數(shù)”的數(shù)學結(jié)構(gòu)，提高學生的抽象能力；從“3+5=5+3”到“a+b=b+a”的加法交換律建模，通過“特殊案例歸納→一般模型猜想→邏輯驗證”的過程培養(yǎng)學生的推理能力；用“方程模型”檢驗“算術(shù)解法”的局限性，在模型驗證環(huán)節(jié)培養(yǎng)學生的質(zhì)疑與優(yōu)化意識。另一方面，面對人工智能時代的“復雜問題解決”需求，模型意識幫助學生形成“用數(shù)學思維拆解現(xiàn)實難題”的習慣。例如，通過“消費預算模型”規(guī)劃零花錢分配，理解“收入-支出=結(jié)余”的財務邏輯，培養(yǎng)量入為出的生活態(tài)度；運用“概率模型”分析抽獎活動的公平性，避免盲目消費。

" 四、培育路徑：從理論到實踐的結(jié)構(gòu)化策略

小學數(shù)學模型意識的培育需遵循“情境抽象—模型建構(gòu)—應用遷移”的認知循環(huán)，構(gòu)建“三階九步”的立體化實施框架，融合多元理論與教學策略，實現(xiàn)從知識傳授到素養(yǎng)培育的轉(zhuǎn)型。

" （一）抽象數(shù)學問題：基于情境認知的數(shù)學化過程

情境認知理論表明，知識的意義建構(gòu)依賴于真實情境的支撐。情境是數(shù)學化的起點，需遵循“生活性、沖突性、發(fā)展性”原則，構(gòu)建覆蓋多元領(lǐng)域的情境體系。教師通過對教材的深層挖掘，創(chuàng)設(shè)學生熟悉、問題足夠開放的生活情境。情境類型主要有生活情境、科學情境、游戲情境，基于不同年級學生的認知水平以及不同教學內(nèi)容需要，選擇合適的情境。例如，設(shè)計“超市促銷”活動引出折扣模型；設(shè)計“植物生長記錄”活動引出折線統(tǒng)計圖建模；設(shè)計“物體體積測量活動”引出體積計算公式推導建模；設(shè)計“七巧板拼圖”活動引出空間幾何建模。同時，情境需包含沖突性問題，驅(qū)動學生主動剝離非數(shù)學信息，聚焦核心問題。

設(shè)計完情境之后通過“三級問題鏈”設(shè)計，推動學生經(jīng)歷“情境具象化—數(shù)學抽象化—符號形式化”的思維躍遷。首先一級問題：情境表征。提出基于現(xiàn)實情境的具體問題，如“小明從家到學校步行需要15分鐘，騎車需要5分鐘，步行速度和騎車速度有什么關(guān)系？”引導學生用語言描述現(xiàn)象，建立情境與問題的初步聯(lián)結(jié)。接著二級問題：數(shù)學抽象。追問學生其本質(zhì)關(guān)系，如“如何用數(shù)學語言表示路程、速度、時間的關(guān)系？”“不同交通方式的速度差異可以用什么運算表示？”引導學生剝離“步行/騎車”“家/學校”等非數(shù)學信息，提取“路程=速度×時間”的數(shù)量關(guān)系。最后三級問題：符號建模。進一步抽象為符號表達，如“如果用s表示路程，v表示速度，t表示時間，三者關(guān)系如何用公式表示？”“當路程不變時，速度和時間成什么比例？”推動學生完成從自然語言到數(shù)學語言、再到符號語言的“三語轉(zhuǎn)換”。將生活化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程中也進一步培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，促進符號意識、推理意識、應用意識等核心素養(yǎng)提升。

" （二）構(gòu)建數(shù)學模型：認知建構(gòu)主義指導下的結(jié)構(gòu)化探索

認知建構(gòu)主義強調(diào)學習者通過主動探索構(gòu)建知識體系。將實際問題抽象成數(shù)學問題之后，教師需組織“個體思考—小組合作—全班交流”的探究活動，引導學生分析問題本質(zhì)，經(jīng)歷“猜想—驗證—反駁—調(diào)整”的思維過程。在建模策略上，除傳統(tǒng)猜測、列表、畫圖法外，可引入模式識別、圖表建模、簡化假設(shè)、類比遷移等多樣化方法。同時，在教學中需強化“特殊—一般—特殊”循環(huán)。最后，需要結(jié)合小學不同學段滲透代數(shù)思維：低年級用圖形符號表示未知數(shù)，中年級用字母表達運算律，高年級通過公式建模實現(xiàn)從算術(shù)到代數(shù)的過渡。

例如，雞兔同籠問題，從內(nèi)容建模角度分析，雞兔同籠問題的實質(zhì)是已知兩種對象的總數(shù)和它們之間特有數(shù)量關(guān)系，求這兩種對象的各自數(shù)量；從方法建模角度分析，解決雞兔同籠問題的本質(zhì)是“猜想—假設(shè)—驗證—調(diào)整”的過程。教師在提出雞兔同籠問題之后，引導學生自主探究、合作交流，從猜測法、列表法、畫圖法、假設(shè)法四種方法的學習中感受解決雞兔同籠問題的本質(zhì)是假設(shè)，在體驗探究中建立解決問題的模型，體會數(shù)學問題的本質(zhì)。在通過類比遷移解決龜鶴問題、硬幣問題、乘船問題的過程中進一步感受雞兔同籠問題的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系，從而建立雞兔同籠模型解決一類問題，實現(xiàn)模型的泛化遷移。這種教學過程不僅滲透代數(shù)思維，更通過“特殊—一般—特殊”的認知循環(huán)，培養(yǎng)邏輯推理能力。

" （三）解決實際問題：具身認知理論下的模型應用

具身認知理論認為，知識的理解需要身體參與的實踐活動。解決數(shù)學問題之后，教師需要引導學生重新回到實際問題，用建構(gòu)的數(shù)學模型再次解決新的現(xiàn)實問題，并在此過程中感受模型的合理性與普適性，思考是否需要進一步簡化完善模型。

在實際教學過程中，教師需要積極組織開展實踐類跨學科活動，打造結(jié)構(gòu)化課堂，讓學生綜合運用統(tǒng)計模型、代數(shù)模型解決實際問題。教師需設(shè)計多元現(xiàn)實場景推動模型“再情境化”，如跨學科項目“設(shè)計校園節(jié)水方案”（融合測量、統(tǒng)計、預算模型）、“規(guī)劃班級春游”（整合路線優(yōu)化、時間管理模型）。在應用過程中，引導學生將模型回代原情境驗證合理性，如通過實地測量檢驗“植樹間隔模型”的誤差，討論模型假設(shè)的局限性（如是否忽略天氣、人流等變量），培養(yǎng)批判思維。此外，需注重模型意識與情感態(tài)度的聯(lián)結(jié)，通過展示“斐波那契數(shù)列在自然中的應用”、“黃金分割在建筑中的美感”等案例，讓學生體會數(shù)學模型的“力量”與“美感”，增強應用信心。

在此過程中，學生經(jīng)歷綜合應用數(shù)學模型、方法解決問題的過程，感受數(shù)學模型的廣闊應用前景，實現(xiàn)學以致用，增強應用意識與自信，從而提高他們分析問題、解決問題的能力，體會數(shù)學模型強大的生命力及廣泛的應用價值。這種教學策略不僅強化應用意識，更通過“模型優(yōu)化”培養(yǎng)批判思維，體現(xiàn)數(shù)學建模的動態(tài)性特征。

" 五、實踐挑戰(zhàn)與未來展望

小學數(shù)學模型意識培育面臨教師能力、學生差異與實踐誤區(qū)等挑戰(zhàn)。教師層面，部分教師對“數(shù)學化”理論理解不足，難以設(shè)計分層建?；顒樱姨骄渴浇虒W的課堂時間把控存在困難。應對需加強專業(yè)發(fā)展，通過課例工作坊提升建模活動設(shè)計能力，采用“短周期微型探究+長項目綜合實踐”平衡教學效率與素養(yǎng)培育。

學生差異方面，低水平學生抽象建模困難，高水平學生易機械套用模型?？赏ㄟ^分層任務設(shè)計（如為低水平學生提供具象操作“腳手架”，為高水平學生設(shè)置開放型建模項目）與“同伴建模共同體”互助，滿足不同認知需求。實踐中需警惕“重模型套用、輕思維過程”的誤區(qū)，強化過程性評價，通過課堂觀察、反思日記等關(guān)注建模中的猜想驗證軌跡，避免模型學習淪為題型訓練。

未來，模型意識培育將借力可視化工具（如GeoGebra）與AI技術(shù)，構(gòu)建動態(tài)建模環(huán)境；跨學科項目將向復雜現(xiàn)實問題延伸（如城市資源優(yōu)化、智能設(shè)備能耗分析），推動模型意識與數(shù)據(jù)意識、創(chuàng)新意識的深度協(xié)同，為學生應對未來社會的復雜性奠定思維基礎(chǔ)。

" 六、結(jié)語

滲透模型意識的最終目的不是為了讓學生生硬地記住各類不同的數(shù)學模型，陷入“機械套用”的誤區(qū)，而是讓學生經(jīng)歷建構(gòu)模型的過程，通過對比不同的生活情境，使學生清晰各種模型之間的聯(lián)系和區(qū)別，在對比中感悟模型的普適性與結(jié)構(gòu)化，建立模型生長點與連接點，從而發(fā)展模型意識，獲得核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

數(shù)學模型意識的培育，本質(zhì)是幫助學生建立“現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的雙向翻譯能力”。通過“情境抽象—模型構(gòu)建—應用遷移”的完整歷程，學生不僅習得具體的數(shù)學知識，更形成“用數(shù)學眼光解構(gòu)復雜問題、用數(shù)學思維規(guī)劃解決方案、用數(shù)學語言表達思維邏輯”的核心能力。這種能力的養(yǎng)成，既是落實核心素養(yǎng)育人目標的關(guān)鍵舉措，更是為學生未來應對不確定性社會提供的“思維工具箱”。正如史寧中教授所言：“數(shù)學的本質(zhì)是模式的建構(gòu)與研究”，讓我們在小學數(shù)學課堂中播下模型意識的種子，靜待學生在未來的學習與生活中收獲“用數(shù)學模式創(chuàng)造美好世界”的能力與自信。

（作者單位：華南師范大學教育科學學院）