證明線段與圓相切數(shù)學試題的幾種通用解法

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）10-0063-04

在新課標視域下，中考數(shù)學試題正以素養(yǎng)立意為核心，重構(gòu)測評框架。因此，中考數(shù)學試題的命制開始從解題能力向思維品質(zhì)深度遷移。中考數(shù)學試題設(shè)計精巧，系統(tǒng)檢驗學生的邏輯思維、數(shù)學建模和創(chuàng)新思維等關(guān)鍵能力，常常會出現(xiàn)一題多解的情形。在此背景下，如何引導學生挖掘試題背后的數(shù)學原理與邏輯關(guān)系，通過一題多解展現(xiàn)其數(shù)學素養(yǎng)，成為教育者關(guān)注的焦點。然而，受限于復習時間的約束，學生往往未能系統(tǒng)解構(gòu)中考數(shù)學試題的多種解法，導致在審視試題時缺乏創(chuàng)新思維，也無法在不同數(shù)學表征間建立意義聯(lián)結(jié)。因此，初中數(shù)學教師在講解那些具有多種解法的中考試題時，應(yīng)通過深入分析，探究題目不同解法所涉及的數(shù)學本質(zhì)，揭示一題多解背后隱藏的認知發(fā)展軌跡，以此培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力和解題能力，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。下面，筆者以2024年廣西中考數(shù)學第24（2）題的解答為例，深入剖析證明線段與圓相切的數(shù)學試題的解題思路與一題多解的可能性，系統(tǒng)闡釋試題的多維解題策略及其教學實現(xiàn)機制。

一、重視一題多解，培養(yǎng)解題能力

數(shù)學教學中一題多解的解題過程，本質(zhì)上是對數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和模型建構(gòu)等核心素養(yǎng)的綜合實踐，解題路徑的多樣性恰是思維靈活性的外顯表征。研究表明，多解策略的形成建立于學生對數(shù)學對象本質(zhì)的深度理解之上。一題多解教學通過對題目的結(jié)構(gòu)化解析及其解題路徑探究，揭示試題背后的數(shù)學原理與邏輯關(guān)系，培養(yǎng)學生思維的靈活性與深刻性。

首先，一題多解能夠激活學生的創(chuàng)新思維。學生需從多維度、多層級分析問題，突破傳統(tǒng)思維定式的框架，從而探索高效且有創(chuàng)造性的解題路徑。這種創(chuàng)新思維對學生應(yīng)對復雜問題和未知挑戰(zhàn)具有顯著價值。其次，一題多解可強化學生的批判性思維。在對比和分析不同的解題策略時，學生必須尋找最簡便的方法，這需要調(diào)動其批判性思維，有效辨識相關(guān)方法的區(qū)別與聯(lián)系，找到更合理、高效的方法。再次，一題多解有助于提升學生的邏輯思維能力。學生在嘗試不同的解題路徑時，必須清晰理解每一步的邏輯聯(lián)系，確保解題過程的連貫性和正確性。這種邏輯思維的訓練有助于提高學生的數(shù)學學習效率，以及日常生活中的問題解決能力。最后，通過一題多解，學生的解題能力能得到顯著提高。學生學會了解決問題的方法，還學會了多視角分析、多工具應(yīng)用的思維范式，這使得其在面對新問題時能快速構(gòu)建解決路徑。

二、聚焦中考真題，構(gòu)建試題模型

中考數(shù)學的考點和題型呈現(xiàn)動態(tài)變化特征，會隨著教育政策的調(diào)整而發(fā)生變化。因此，獲取最新的或近期的中考真題成為備考關(guān)鍵，以保證解題練習的時效性和靶向性。例如，在近年廣西中考數(shù)學試題中，幾何模塊中圓的切線證明類試題呈現(xiàn)高頻考查態(tài)勢。因此，教師可以挑選一道以基礎(chǔ)知識為起點的典型試題（如圖1），建立切線證明的解法模型，總結(jié)通用解題方法，歸納共性解題策略。

在以素養(yǎng)為導向的命題背景下，2024年廣西中考數(shù)學第24題并非單純檢驗學生對三角形、平行四邊形和圓等幾何知識的掌握，而是在引導學生深入探究圖形背后的復雜結(jié)構(gòu)及其獨特屬性。該題不僅檢測學生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且全面考查學生的綜合學習能力和數(shù)學素養(yǎng)，鼓勵學生突破傳統(tǒng)解題框架，勇于探索未知，挑戰(zhàn)自我。下面筆者對一題多解的第24（2）題進行深入剖析。

（一）試題的條件與結(jié)論分析

基于題目給定的條件與結(jié)論，教師展開分析與推理，將各知識點巧妙地融合在一起，以構(gòu)建更為完整且邏輯嚴密的論證過程。首先，已知條件 1，?O 是△ABC的外接圓，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，我們知道外心 o 到三角形三個頂點的距離相等，即 OA=OB= oc 。同時，這也意味著外心 o 位于三角形三邊垂直平分線的交點上。結(jié)合條件 2，AB=AC ，可知 ΔABC 是等腰三角形，其頂角BAC的平分線、底邊 BC 上的中線及高線三線合一，記這條線段為 AD （假設(shè) D 是BC的中點，與條件3中的 D 點重合）。接下來，利用條件3，點 D，E 分別為 BC，AC 的中點。根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，中位線 DE 平行于底邊 AB 且等于 AB 的一半，即 DE//AB 且 2DE=AB 。由于 AB=AC ，所以 DE 也等于AC的一半，即 2DE=AC 。題目中第（2）問求證 AF 與 ?o 相切，屬于幾何證明中常見的類型，學生都有解題的經(jīng)驗。通過結(jié)合三角形外接圓、等腰三角形、中線及平行線的性質(zhì)，學生可以探索 ΔABC 及其外接圓的幾何關(guān)系。這些關(guān)系既深化了學生對題目條件的理解，也為解決復雜幾何問題提供了思路。

（二）試題的圖形分析

在幾何解題過程中，學生常面臨圖形結(jié)構(gòu)復雜的挑戰(zhàn)，尤其是融合多種幾何元素、涉及多個知識模塊的綜合性問題，需要通過深入分析其圖形結(jié)構(gòu)特征尋找解題突破口。2024年廣西中考數(shù)學第24題中的圖形設(shè)計巧妙，整合了圓、三角形和平行四邊形等幾何圖形，既提升了問題的復雜度，也增強了思維訓練的難度。線段 DE 作為解決第24（1）題的一個關(guān)鍵條件，在解決第24（2）題時有可能給學生的解題思路帶來干擾，使學生迷失在復雜的圖形中導致找不到解題思路。此時，學生若采用化繁為簡的策略，通過拆解圖形，找到熟悉的基本圖形，可有效化解線段DE 這個干擾因子的影響，找到解題的突破口。

三、挖掘解題思路，強化通性通法

2024年廣西中考數(shù)學第24題將圓和等腰三角形結(jié)合起來，重點考查學生的幾何直觀與邏輯推理能力。第24（2）題的解法多樣，可以有效拓寬學生的解題視角，讓學生經(jīng)歷從方法模仿到思維創(chuàng)新，再到解題反思的過程，從而拓寬思維空間，提升思維品質(zhì)和核心素養(yǎng)。

（一）思路一：構(gòu)造半徑以證明垂直，在模仿中尋找解題思路

第24（2）題要求證明 AF 與 ?o 相切。學生可以從已知條件出發(fā)，逐步推導出所需的結(jié)論：先選擇 _?o 上的一點（設(shè)為A），連接 OA ，然后證明 AF 與過點A的半徑或直徑垂直。這種解題思路最為常見，其核心在于證明兩條線段垂直。學生對這種解題思路比較熟悉，有一定的解題經(jīng)驗。在模仿這種解題思路的過程中，學生需要尋找問題間的聯(lián)系與區(qū)別，在變化中尋找不變，形成自己的解題方法。具體來說，學生可以利用平角的定義，通過證明三點共線來達到目的，同時結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)，并運用平行線的性質(zhì)來證明垂直關(guān)系（如圖2）。學生還可以分別依據(jù)外心、平行線、三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，證明相關(guān)的角為90度（如下頁圖3）。此外，學生也可利用圓周角定理得出圓周角為90度的結(jié)論，隨后借助平行線和等腰三角形的性質(zhì)來證明垂直關(guān)系。這三種方法雖然在具體證明上所用的知識點有所不同，但它們的核心思路都是“模仿”，都是運用幾何圖形的基本性質(zhì)來解決問題，本質(zhì)上都采用了相同的策略，即通過構(gòu)造半徑或直徑來證明兩條線段垂直或者證明角度為90度。

（二）思路二：構(gòu)造垂直以證明半徑，在創(chuàng)新中豐富解題思路

在數(shù)學問題解決中，探索解題思路至關(guān)重要，需要在條件和結(jié)論間建立邏輯聯(lián)系或進行轉(zhuǎn)化。上述方法都是通過構(gòu)造半徑以證明垂直關(guān)系來解決問題，但解決路徑不止一種。學生面對“如何構(gòu)造相關(guān)圖形？”“是否有其他構(gòu)造方式？”等問題時，應(yīng)延續(xù)原有解題思路，同時突破思維定式的局限。教師應(yīng)深入挖掘問題本質(zhì)，引導學生找到更多解決方法，培養(yǎng)和提升學生的創(chuàng)新思維。

構(gòu)造垂直以證明半徑，這個解題思路與思路一不同，關(guān)鍵在于巧妙地利用假設(shè)與反證，逐步逼近結(jié)論。教師可以引導學生進行如下分析：先假設(shè) AF 為切線，那么它必然與 _?o 在某點（設(shè)為A）處垂直；接著嘗試構(gòu)造過點A的垂線段與 AF 垂直，然后證明垂線段過圓心。解題思路如下：通過在圓上選取一個特定的點，并從這個點出發(fā)作一條垂線段；利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的高、中線與外心的關(guān)系，就可以推出垂線段過圓心，從而證明該線段是圓的直徑，進而證明 AF 與 _?o 相切（如圖4）。

（三）思路三：同時證明半徑和垂直，在反思中拓寬解題思路

在傳統(tǒng)的解題過程中，學生往往傾向于采用前兩種思路。教師可以引導學生反思以上解題過程，思考是否有一種方法，既能關(guān)注到切線與圓的關(guān)系，又能靈活運用圓的性質(zhì)進行推理。這種思路打破了長期以來學生在數(shù)學問題解決中形成的固定模式，引導學生回歸到問題的核心本質(zhì)：證明切線只需滿足兩個條件，一是半徑，二是垂直，且這兩個條件需要同時證明。通過明確問題的本質(zhì)，學生可以避免陷入解題時的思維定式，從而能夠準確、高效地解決問題（如圖5），以完善其解題體系。此方法融合了前述兩種解題思路，強調(diào)在解題時不僅要關(guān)注切線與圓的關(guān)系，而且需靈活運用圓的性質(zhì)進行邏輯推理。盡管這種方法的使用頻率較低，但它能更全面地提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。

（四）歸納一類題的通性通法，獲得一般性的解題方法

證明圓的切線問題屬于幾何證明中常見的類型，重點考查通性通法的運用。教師在分析此類試題時，通常采用三種基本解題策略：一是通過構(gòu)造半徑以證明垂直關(guān)系，二是通過構(gòu)造垂直以證明半徑存在，三是同時證明半徑和垂直關(guān)系。證明切線的通法，關(guān)鍵在于同時滿足兩個條件：一是存在半徑，二是直線與半徑垂直。由于題目通常未直接提供半徑或垂直的信息，因此解題策略的選擇具有一定的靈活性。在解決此類問題時，學生可以選擇以上三條路徑中較為熟悉的進行嘗試。若發(fā)現(xiàn)第一條路徑行不通，則應(yīng)迅速轉(zhuǎn)向第二條或第三條路徑。這些路徑猶如通往成功解題的橋梁，各自具有獨特之處，同時又相互補充，共同構(gòu)成了解決問題的通性通法。通過這種一題多解的訓練，學生可以靈活應(yīng)對各類切線證明問題，在鞏固基礎(chǔ)知識點的同時生成解題通法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，拓展解題思路，提高解題能力。學生應(yīng)該意識到，幾何證明并非孤立的知識模塊，它與數(shù)學其他知識領(lǐng)域緊密相連，在學習過程中應(yīng)該注重知識的融會貫通，培養(yǎng)綜合運用能力。

四、回歸解題本質(zhì)，提升核心素養(yǎng)

（一）立足基礎(chǔ)知識，重視日常積累

2024年廣西中考數(shù)學第24題命題方式充分體現(xiàn)了素養(yǎng)立意的評價理念。該題以基礎(chǔ)知識為根基，以能力為重點，關(guān)注數(shù)學本質(zhì)以及通性通法，檢驗學生在解決問題過程中所體現(xiàn)的數(shù)學素養(yǎng)。第24（2）題直接針對圓的切線證明這一特定基礎(chǔ)知識點進行考查。問題設(shè)計注重普遍適用的基礎(chǔ)方法與技巧，涉及圓的判定定理、三角形外心的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三點共線等基礎(chǔ)知識，突顯了教材中基本概念和定理的形成過程以及數(shù)學本質(zhì)。試題巧妙運用圓的性質(zhì)與三角形的性質(zhì)，建立了不同知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，有效考查了學生的幾何直觀與推理能力。此類考查方式，不僅能檢驗學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識的掌握情況，而且能評價學生運用數(shù)學知識解決問題的能力，充分展現(xiàn)了在“雙減”政策背景下試題的導向作用與選拔功能。

（二）立足通法教學，培養(yǎng)模型觀念

2024年廣西中考數(shù)學第24（2）題有三種基本解題思路和多種具體解法。若教師僅引導學生探索解法的多樣性，而不提煉同一知識點的解題通法，則難以幫助學生建立模型觀念。因此，教學應(yīng)定位在讓學生經(jīng)歷從一題多解到多解歸一的探索過程，生成解題通法，逐步把握問題本質(zhì)，強化思維訓練，最終建立清晰的解題思路。在解題教學中，教師既要講思路、解法、通法，也要激發(fā)學生對解決同類問題的信心和探究熱情，達到“做一題、會一類、通一片”的學習效果，切實提升學生的數(shù)學思維能力和解題能力。思維品質(zhì)的培養(yǎng)不是一朝一夕可以完成的，而是日積月累形成的。因此在后續(xù)習題課教學中，教師應(yīng)有意識的滲透通法教學，通過一題多解的方式系統(tǒng)發(fā)展學生的數(shù)學思維。

（三）關(guān)注思維品質(zhì)，提升核心素養(yǎng)

教育教學應(yīng)以培養(yǎng)思維為核心目標，通過探究問題和學習通法，提升學生的思維品質(zhì)?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出，中考命題應(yīng)以核心素養(yǎng)為導向，注重考查解題通法和數(shù)學本質(zhì)，全面評價學生的“四基”和核心素養(yǎng)的發(fā)展水平[2]。近年來，切線的判定在廣西中考數(shù)學試題中呈現(xiàn)高頻考查態(tài)勢。因此，在復習階段，教師應(yīng)以通法教學為抓手，從典型真題出發(fā)，回歸教材的基礎(chǔ)知識點，通過一題多解的學習方式，幫助學生掌握問題解決的一般思路和方法，形成通性通法，并遷移到同類問題的解決過程中，構(gòu)建典型問題的解法體系。學生在解決數(shù)學問題時，體會“條條大路通羅馬”的快樂，從而增強數(shù)學學習信心。同時，教師應(yīng)關(guān)注學生個性化、多樣化的發(fā)展需求，使學生的“四基”得以生成，實現(xiàn)思維的高階發(fā)展，切實提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

（四）強化知識邏輯，構(gòu)建解題體系

數(shù)學知識體系的構(gòu)建邏輯主要體現(xiàn)在定義、性質(zhì)、定理等基本元素與推理、證明、演算等方法論的有機結(jié)合。這些要素和方法彼此關(guān)聯(lián)，共同推動數(shù)學知識的持續(xù)發(fā)展。學生在解題時，首先需分析條件之間的聯(lián)系、圖形的結(jié)構(gòu)特征，其次在腦海中構(gòu)建相應(yīng)的解題模型，調(diào)動已有的解題經(jīng)驗，將所學知識遷移至新的問題情境中，以應(yīng)對多樣的數(shù)學挑戰(zhàn)，逐步形成個人的解題體系。當學生將具體知識內(nèi)化并與其他數(shù)學問題建立聯(lián)系時，隱含的知識邏輯得以顯現(xiàn)，問題本身就會變得直觀、具體，學生易于理解和解決[3]。著名數(shù)學教育家G.波利亞在其著作《怎樣解題》中指出：“掌握數(shù)學即意味著善于解題、善于關(guān)聯(lián)知識點?！苯忸}教學應(yīng)避免重復講授和機械練習，精選出以知識點為依據(jù)的典型題目進行練習，幫助學生建立知識網(wǎng)絡(luò)。例如，本研究展示證明線段與圓相切三種思路的多種解法，有助于學生深入理解數(shù)學邏輯結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)建個人解題體系使學習效果事半功倍。

綜上所述，教師引導學生探索一題多解的思路、方法，不僅能拓展學生的思維廣度，而且有助于學生通過解法比較，找到最適合自身理解的解題策略，構(gòu)建個人解題體系。在尋找新解題方法的過程中，學生將各知識點整合在一起，建立知識網(wǎng)絡(luò)，嘗試不同解題路徑，無形中增強自身的解題能力，提升解題效率。因此，在日常教學中，教師應(yīng)強調(diào)基礎(chǔ)知識的奠基作用，以及解題思維創(chuàng)新的必要性，使學生在追求解法多樣性的過程中深化數(shù)學理解，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，實現(xiàn)一題多解的教學價值。

參考文獻

[1]李振林.回歸教材悟本質(zhì)立足思維提素養(yǎng)：由一道中考題引發(fā)的思考[J].中學教學參考，2024（14）：14-16.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：5-7.

[3]李凱，吳剛平.為素養(yǎng)而教：大概念教學理論指向與教學意蘊[J].比較教育研究，2022，44（4）：62-71.

（責編 韋榕峰）