數(shù)學與分數(shù)無關

無論從哪種角度觀察，這都是一節(jié)和我們印象中截然不同的數(shù)學課。光是教室就讓人驚訝了。推開門，老師的辦公桌與課桌、黑板在一起桌子上擺放著各種版本初音未來的手辦。墻上掛著蝴蝶標本、愛因斯坦寫給上帝的信，書架上擺著供學生借閱的書籍，如《自私的基因》《科學革命的結(jié)構(gòu)》《企鵝哲學史》……

上課鈴還未響起，教室里彌漫著手沖咖啡的香氣，復古黑膠唱片機播放著巴赫的《哥德堡變奏曲》，這首樂曲的變奏結(jié)構(gòu)常讓人聯(lián)想起“數(shù)學結(jié)構(gòu)的千變?nèi)f化”。

數(shù)學建模，簡單來說，就是將現(xiàn)實世界中的問題抽象為數(shù)學模型，再利用數(shù)學方法解決實際問題。這個聽起來高深的概念，早在2017年便出現(xiàn)在了國家頒布的普通高中數(shù)學課程標準中。

開課了。有好幾節(jié)課，黑板上沒出現(xiàn)任何數(shù)學符號和計算，老師講的是哲學與科學史，甚至有3個小時全部留給了星空。漸漸地，學生們忘記了數(shù)學的枯燥，像探索家一樣拿著放大鏡尋找生活中的數(shù)學問題。比如如何有效洗掉細菌、夫妻誰洗碗、醫(yī)院取藥柜的設計，都能用數(shù)學解答。

這是北京市十一學校高中數(shù)學教師朱浩楠的數(shù)學建模課。

近年來，部分省份高考數(shù)學的命題開始有了數(shù)學建模的味道，不再問“如何利潤更高”，而是問“如何才能更好”。至于什么才是“好”，是“利潤更高”，還是“資源浪費更少”，則需要學生自行定。2024年，新定義題型的出現(xiàn)，更讓諸多教育者意識到，高考數(shù)學的內(nèi)涵變了，刷題無效，培養(yǎng)數(shù)學思維才是關鍵。

朱浩楠的數(shù)學課，正是對這一趨勢的積極探索。畢業(yè)于北京大學數(shù)學系的他，曾經(jīng)也是個數(shù)學不及格的“笨”小孩。在他看來，學好數(shù)學的關鍵在于讓數(shù)學“回歸人的成長和生命體驗”。他想讓更多人看到，數(shù)學不止關于分數(shù)與計算，數(shù)學中還有“美”，以及“真正面向自由的部分”。

他也曾是個“笨”小孩

從事數(shù)學教學11年以來，朱浩楠發(fā)現(xiàn)學生們學習數(shù)學的痛點始終是“知道得很多，懂得很少”。大多數(shù)人精于計算，但其實并不了解這些數(shù)學公式為何誕生。不管成績好壞，“絕大多數(shù)學生并不清楚學習數(shù)學的意義和價值”。他們認為數(shù)學的全部用處就是應試，沒什么動力進一步了解。

對于這一點，學生劉奕池很有共鳴。上高中之前，她并不喜歡數(shù)學，初一初二的時候，無論怎么努力，都只能考60多分，每次在課上覺得自己聽懂了，解題時就不會了。相比于能動手實驗的物理，劉奕池覺得數(shù)學就是不斷重復的枯燥運算。

還有一部分人對學習數(shù)學很自卑?！笆遣皇怯刑熨x的人才能學好數(shù)學？”工作十幾年來，朱浩楠沒少聽到過類似的問題，每到這個時候，他都會講起自己學習數(shù)學的故事。如今癡迷數(shù)學的朱老師，其實以前也是個“笨”小孩。

朱浩楠的數(shù)學成績一度很差。簡單的小學數(shù)學，同學們接近滿分，他考70多分。上了初中，因為數(shù)學幾乎沒及格過，他沒少被老師批評。他并不討厭數(shù)學，并且學得非常努力，幾乎做遍了市面上所有試卷，但排名始終不靠前。

轉(zhuǎn)機發(fā)生在高中。一次課間，他無聊地按著老式計算器上三角函數(shù)的按鍵。計算出sin1的數(shù)值后，他用計算器進行sin的不斷迭代計算，”卻意外地發(fā)現(xiàn)迭代的次數(shù)越多，結(jié)果越趨近于0。也許是輸人的數(shù)字太小了？他又嘗試對50000不斷取sin值，結(jié)果還是快速地趨于0。無論輸入什么數(shù)字，都是如此。

為什么會有如此神奇的事情？鉆研了幾天之后，他發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象原來用高中學過的數(shù)列遞推就可以解釋。這是一件很小的事卻徹底改變了朱浩楠對數(shù)學的心態(tài)。曾經(jīng)，他以為數(shù)學不過是死記硬背的知識，這之后，他才意識到借由數(shù)學可以做很多有趣的探索，并由此對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。一個學期之后，他的數(shù)學成績進步到140分，再也沒有下滑過。

曾經(jīng)的生命觸動與改變的數(shù)學理念，一直延續(xù)到朱浩楠如今的教學中。他反復強調(diào)數(shù)學知識、數(shù)學體系發(fā)展到今天，從來不是膚淺地為了給學生出題、考試。因此哪怕是日常教學中，他也會花時間給學生講解每個知識在歷史上的由來、不同數(shù)學結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，引導學生認識到“數(shù)學是活的，不是死的”，并鼓勵同學們把基礎打牢。

獲諾獎的數(shù)學模型，基于初高中知識

“生命體驗”，這是朱浩楠提及數(shù)學時最常伴隨出現(xiàn)的詞匯。他舉了一個簡單的例子，在公園玩耍時，你可能偶然間發(fā)現(xiàn)松枝平視類似于軸對稱，但如果俯視就成了中心對稱。這讓數(shù)學從二維變成三維，并且與自己的生活經(jīng)驗產(chǎn)生了共鳴。

而數(shù)學建模，因其關注的就是如何創(chuàng)造新的方法、結(jié)構(gòu)來解決現(xiàn)實問題，也自然成了數(shù)學最容易感受到生命體驗的方式。數(shù)學建模會涉及高中數(shù)學知識的延伸，并有一套嚴密的邏輯體系，每個上過課的同學都有聽不懂的地方，痛苦是必不可少的。

學生戴亦蕭也不例外，前兩周的學習讓她非常煎熬，因為曾經(jīng)的她一度以為“只有具備極高數(shù)學天賦的人才能學數(shù)學建模”。直到第三周，朱浩楠讓大家自由發(fā)揮畫愛心。她聯(lián)想到折紙中的對稱藝術，將剛學的圓錐曲線對折，畫出了一顆會動的愛心。這個靈光乍現(xiàn)的想法讓戴亦蕭得到了表揚，也讓她意識到“藝術和數(shù)學是可以融會貫通的”，并開始相信“原來我這個腦袋瓜子也是可以的”。幾乎每一個學生都經(jīng)歷過由痛苦到驚喜的過程，而在這個過程中，數(shù)學也從“虛無縹緲”的神壇落回到了現(xiàn)實生活中。

數(shù)學模型可以處理照片中的霧霾；可以用來設計醫(yī)院儲藥柜不同層的高度，可以讓藥品擺放、拿取的效率更高；可以計算體育賽事明星的各項數(shù)據(jù)，預測誰更可能在未來拔得頭籌；甚至玩《王者榮耀》時團隊如何配合可以高效地取得勝利，也能結(jié)合向量的知識搭建模型……劉奕池在一次數(shù)學建模展中看到一組學生用數(shù)學研究小孩用什么方式洗手，一次用多少香皂能夠最大程度地去掉手上的細菌。

前幾年，朱浩楠還帶著學生一起做了一個石刻文物保護項目，幫助安徽齊云山摩崖石刻的保護人員建立預警模型，讓工作人員通過文物的幾項指標就能提前預判哪個石刻可能會出問題，提前做好維護。

看到這里，許多人會覺得這依然是一件有非凡數(shù)學才能的學生才能完成的事。但朱浩楠強調(diào)，這與天賦無關，因為數(shù)學模型有各種搭建的可能性，每個人都可以找到與自己數(shù)學水平相對應的生命體驗。

托馬斯·謝林曾獲諾貝爾經(jīng)濟學獎的數(shù)學模型，解釋了為何美國的黑人、白人群體總是自然隔離，該模型的搭建完全基于初高中學過的數(shù)學知識。而怎么能在食堂吃得又好又便宜這個“雙目標問題”可以從小學思考到博士。無論多小或多大的問題，都有可能用數(shù)學找到解法。而且很多數(shù)學題目，甚至一個數(shù)字都不會出現(xiàn)。

用數(shù)學跨界

作為一名高中老師，“應試”“分數(shù)”“排名”從不出現(xiàn)在朱浩楠的話語體系里。他理解通過高考訓練學生基本學習能力的必要性，但十分反感用這些標簽定義學生。因為哪怕是考入北大數(shù)學系的“好學生”，也有人直至中年仍舊迷茫，無法保障自己的基本生活，尤其是精神生活。

在他眼中，數(shù)學從來不是那么局限的東西。而數(shù)學的觸角一旦延展出去，便可能與諸多內(nèi)容跨界結(jié)合。幾乎他的學生都提到，數(shù)學建模的思維對他們后來的學科學習，甚至生活決策都起到了很大幫助。劉奕池說，因為要解決真實世界的問題，數(shù)據(jù)受到各種意外因素的影響，模型會反反復復被推翻，這也讓她在做決策時學會考慮各方的觀點。高中畢業(yè)后，她選擇了數(shù)學與經(jīng)濟學專業(yè)，這是她之前從未想過的選項。

受到數(shù)學建模思維的影響，朱浩楠幾個讀到博士的學生，也開始將數(shù)學與其他學科結(jié)合，比如將數(shù)學與醫(yī)學、人工智能結(jié)合進行創(chuàng)業(yè)等。

高中畢業(yè)后，戴亦蕭選擇gap（間隔）一年，在一家自然保護NGO實習，并嘗試把數(shù)學模型應用到自然保護中，未來，她會繼續(xù)學習數(shù)學。

戴亦蕭提到，數(shù)學與不同領域的深層聯(lián)系常常給她帶來很多奇妙的感受與思考。她在擦拭家具時，能夠感受到立體結(jié)構(gòu)的美感，甚至會想象家具的曲線像哪種函數(shù)；學習紐結(jié)理論時，她會思考扎頭發(fā)中的拓撲學；她學習了十多年的小提琴和合唱，身邊很多人覺得在學業(yè)這么緊張的情況下學這些沒什么意義，純粹是浪費時間，但她發(fā)現(xiàn)了藝術與數(shù)學有很多共通之處，并運用數(shù)學模型做了與音樂相關的研究。

在戴亦蕭眼中，數(shù)學是美的，這也是朱浩楠反復說的，數(shù)學之美不僅在于模型、曲線的美觀，也在于“非數(shù)學不可察”。

一些有趣的現(xiàn)象，只有通過數(shù)學方法才能觀察到。比如“樂觀者多勞”，朱浩楠曾用數(shù)學建模的知識計算過自己和愛人誰來洗碗的問題。愛人張老師對刷碗的接受程度比他更高，根據(jù)常識，一定是張老師刷更多碗，雙方更滿意，但最后的計算結(jié)果卻顯示，根據(jù)博弈論，他每天洗碗的概率大于3/4，張老師洗碗的概率則小于1/3?！斑@不是我主動的選擇，而是雙方博弈的結(jié)果，通過數(shù)學模型的計算可知，如果我不這樣做，就會吃更大的虧?！?/p>

在他看來，數(shù)學建模因搭建模型的各種可能性，以及面對真實世界的變化，是“數(shù)學中真正面向自由的部分”。

他癡迷于在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)構(gòu)，并將這份喜悅傳遞給學生。這是一門無關成績的數(shù)學課，這樣的數(shù)學也許不能直接提高分數(shù)，卻足以給學生帶來應對不確定未來的競爭力。

（魏延薦）