基于胡克定律的有限土體 k 值求解方法

中圖分類號(hào)：TQ172.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1001-5922（2025）07-0156-04

Abstract：The reinforcement of cement soil in the passive zone plays an important role in strengthening the embedding and controlling the deformation of the supporting pile.At present，various software for the passive zone is to solidify itas asoil layer according tothe elasticresistance method tocalculate，soit is necessary to determine the m value and k value of the reinforcement zone.In the existing specification，the value of m for the reinforced soil is uniformly taken as 6000kN/m⁴ ，and the general soil layer in the finite soil is still selected according to the same empirical formula of the semi-infinite soil，which notonly calculates the dimensions before andafterthe inconsistency， but also ignores the superposition of the earth pressure inthe pasive zone under the finite soil.The selection of k valueandmvaluein the foundation pit elastic resistancemethod under theconditionoflimited soilinreinforcedsoil and general soil is studied，and the k value solution method based on the elastic modulus of soil layer is obtained.

Key words： passive area reinforcement；m value；Hookes law；elastic modulus； elastic resistance method

軟土地區(qū)深基坑通常對(duì)坑底土體進(jìn)行加固[14]。被動(dòng)區(qū)加固體有兩類：一類是裙邊加固;另一類是滿堂加固或中間抽條、開(kāi)孔加固。單純的裙邊加固受力情況復(fù)雜，確定 ?_m 值沒(méi)有成熟的計(jì)算方法，而只能依靠經(jīng)驗(yàn)判斷。滿堂加固則不同，加固體由一側(cè)支護(hù)樁抵達(dá)至另一側(cè)支護(hù)樁，形成了暗撐，傳力路徑明確，其變形和剛度指標(biāo)可以用彈性理論公式計(jì)算確定。

一般內(nèi)支撐承受集中力，其剛度以支撐剛度系數(shù)表示。而被動(dòng)區(qū)加固體通常有 5～6m 甚至更大的厚度，承受其厚度范圍內(nèi)的分布荷載，其剛度更適合于用水平向基床系數(shù)表示，符號(hào)為 k ，量綱為“ kN/m³AA^，， 。

對(duì)于水平抗力系數(shù)比例系數(shù) ?_m 值以及水平抗力系數(shù) k 值的選取優(yōu)化問(wèn)題，國(guó)內(nèi)諸多學(xué)者提出了諸多寶貴意見(jiàn)[5-7]。雷國(guó)平等通過(guò)引入2個(gè)剛度變化系數(shù)來(lái)綜合量化被動(dòng)區(qū)土彈簧參數(shù)隨基坑開(kāi)挖的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，建立了基于該過(guò)程的基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)計(jì)算增量法[8]。胡峰華等結(jié)合某實(shí)際深基坑工程，運(yùn)用位移反分析法算出 m 值的大小，并闡述 m 值與坑底加固寬度的相關(guān)關(guān)系[9]。朱偉鑫等針對(duì)層狀地基土中水平抗力比例系數(shù)反演的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，結(jié)合支護(hù)結(jié)構(gòu)水平位移實(shí)測(cè)值和桿系有限元法，提出基于粒子群算法（PSO）的層狀地基土水平抗力比例系數(shù)反分析法[10]。林東等針對(duì)傳統(tǒng) m 法土壓力荷載施加不合理以及不考慮基坑施工過(guò)程的缺陷，在工程設(shè)計(jì)分析軟件SAP2000中實(shí)現(xiàn)了用于基坑開(kāi)挖計(jì)算的增量空間 m 法，并對(duì)基坑外的主動(dòng)土壓力進(jìn)行插值修正，使用非極限狀態(tài)土壓力作為基坑外荷載來(lái)提升傳統(tǒng) m 法的計(jì)算精度1]。張朋成等以規(guī)范理論框架為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)工程現(xiàn)場(chǎng)地連墻測(cè)斜變形曲線的擬合，探求反演 ?_m 值與地勘提供 m 值之間的關(guān)系，分析地連墻內(nèi)力取值及安全評(píng)價(jià)方法[12]。徐中華等利用UCODE反分析軟件和Abaqus有限元分析相結(jié)合的方法，根據(jù)圍護(hù)結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)變形值，對(duì)基坑平面豎向彈性地基梁法中土層參數(shù) m 值進(jìn)行反演分析，得出了上海地區(qū)典型土層的m 值，并利用概率統(tǒng)計(jì)方法給出了更合理的取值范圍，以確定上海地區(qū)基坑工程圍護(hù)結(jié)構(gòu)變形受影響較大的土層 m 值[13]。趙文虎等采用豎向彈性地基梁傳遞矩陣法，對(duì)同一土層的板樁墻進(jìn)行豎向分段計(jì)算，并建立了不動(dòng)點(diǎn)法迭代格式，以求解 ?_m 值[14]。楊光華等取加固體為研究對(duì)象，分析加固體的受力狀態(tài)，建立靜力平衡方程，得到全層加固體的最優(yōu)有效加固寬度值。當(dāng)為有限加固寬度時(shí)， m 值取值可以近似按加固寬度相對(duì)于最優(yōu)有效加固寬度的線性插值進(jìn)行計(jì)算[15]。郭健等基于彈性地基梁的微分方程并考慮基坑的分步開(kāi)挖階段，推導(dǎo)出了相比于有限元計(jì)算更加快速地分步開(kāi)挖彈性地基梁m 法圍護(hù)結(jié)構(gòu)計(jì)算模型，得到了各工況下準(zhǔn)確的圍護(hù)墻體位移函數(shù)、彎矩函數(shù)和剪力函數(shù)，從而可求出圍護(hù)墻體各工況下的位移、彎矩和剪力值并可據(jù)此對(duì)圍護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算[16]。

本研究對(duì)幾種不同水泥土暗撐推導(dǎo)，得出水平基床系數(shù) k 的計(jì)算公式，以解決規(guī)范中經(jīng)驗(yàn)公式的前后量綱不一致，以及忽略有限土體下被動(dòng)區(qū)土壓力會(huì)疊加的問(wèn)題。

1基于胡克定律的 k 值求解方法

1.1等截面暗撐水平基床系數(shù) k 計(jì)算

由廣義胡克定律可知，接觸面應(yīng)力 σ 等于彈性模量 E 和應(yīng)變 ε 的乘積，應(yīng)變?yōu)闊o(wú)量綱單位是變形量和物體壓縮長(zhǎng)度的比值，設(shè)等截面暗撐中不動(dòng)點(diǎn)位于中軸線上，再根據(jù)接觸面應(yīng)力 σ 等于水平基床系數(shù) k 和位移的乘積，結(jié)合二者可以得到水平基床系數(shù) k 和土體彈性模量的一般關(guān)系：

其中，通過(guò)彈性模量 E 和跨度 L 的比值可以得到確定的水泥土暗撐 k 值，不需要通過(guò) m 值來(lái)計(jì)算，該法對(duì)于不同深度下的水平抗力系數(shù) k 為定值。但按 m 法計(jì)算的 k 值對(duì)同一土層是隨深度增加的，且在基坑底部算得的 m 值及接觸面應(yīng)力 σ 為 0 。因此，對(duì)比2種方法在同一長(zhǎng)度、不同深度下求得水泥土暗撐的水平基床系數(shù) k ，研究加固土體在不同計(jì)算方法下的區(qū)別。

若水泥土彈性模量為 120MPa ，長(zhǎng)度為 10m ，規(guī)范中水泥土的 m 值一般取 6000kN/m³ ，不同深度下的等截面暗撐水平基床系數(shù) k 如表1所示。

由表1可知，當(dāng)加固長(zhǎng)度為 10m， 加固深度為4m 時(shí)，二者計(jì)算結(jié)果一致。實(shí)際工程中加固深度一般為 3～5m ，在有限土體中二者計(jì)算所得一致，均可使用。加固深度較小時(shí)， m 法低估了水平基床系數(shù) k 的取值;當(dāng)加固深度大于 5m 時(shí)，k法又低估了水平基床系數(shù) k 的取值。根據(jù)式（2），當(dāng)加固區(qū)長(zhǎng)度 L 較大時(shí)，采用此公式得到的水平基床系數(shù) k 值過(guò)小。

1.2變截面暗撐（裙邊加抽條）水平基床系數(shù) k 的計(jì)算

變截面暗撐（裙邊加抽條）模型圖如圖1所示。

如圖1所示，設(shè)暗撐由1、2、3段組成，其截面分別為 A₁、A₂、A₃ ，長(zhǎng)度分別為 L₁，L₂，L₃ 。在軸力 Q （集中力）作用下，各段壓應(yīng)力分別為：

各段壓應(yīng)變分別為：

各段壓縮量分別為：

累計(jì)壓縮量：

δ=δ₁+δ₂+δ₃

對(duì)左側(cè)由式（7），可以推出左側(cè)水平基床系數(shù)k₁ 表達(dá)式：

對(duì)右側(cè)由（7）式，同理推得右側(cè)水平基床系數(shù)k₃ 表達(dá)式：

1.3變截面暗撐（多孔板狀）水平基床系數(shù) k 的計(jì)算 變截面暗撐（多孔板狀）模型圖如圖2所示。

適用于變截面暗撐為對(duì)稱圖形時(shí)，兩側(cè)梯形段壓縮量計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示。

公式推導(dǎo)如下，由式（10）和式（11）得每單元體寬度 dx 下的壓縮量 δ_x ：

式中：tanα為梯形腰與水平線夾角正切值； Q 為作用在梯形截面的集中荷載（kN）； A_x 為微元體截面面積（ m² ）； h 為梯形段暗撐厚度（m）。

對(duì)每段微元體的壓縮量求和，可得梯形段整體壓縮量。通過(guò)對(duì)式（11）積分實(shí)現(xiàn)：

無(wú)論在 b₁ 與 b₂ 任何大小關(guān)系的情況下，該公式均適用。當(dāng) b₁=b₂ 時(shí)，按一般式（13）進(jìn)行計(jì)算：

求出壓縮量進(jìn)而帶入變截面暗撐（多孔板狀）模型中推導(dǎo) k 的計(jì)算公式。變截面暗撐（多孔板狀）簡(jiǎn)化模型如圖4所示。

為方便計(jì)算，引入變截面暗撐形狀參 α_B ，取值按照式（14）參考：

則梯形截面壓縮量公式變?yōu)椋?/p>

再整理總壓縮量表達(dá)式及水平基床系數(shù)和應(yīng)力與位移的關(guān)系得：

δ=2δ_A+2δ_B+δ_C

聯(lián)立式（2.16）（2.17）（2.18），可得到變截面暗撐（多孔板狀）水平基床系數(shù) k 的表達(dá)式：

2關(guān)于大跨度暗撐的問(wèn)題討論

由以上水平基床系數(shù) k 值公式推導(dǎo)可知，水平基床系數(shù) k 值與加固區(qū)跨度 L 成反比。如果 L 很大，如70～80m 甚至超過(guò) 100m ，則 k 值將很小，以至滿堂加固的變形計(jì)算結(jié)果大于同樣厚度裙邊加固計(jì)算的結(jié)果，結(jié)論與工程實(shí)際不吻合。其原因是完全忽略了暗撐底部土體的作用。面對(duì)大跨度暗撐 k 值可能偏小的問(wèn)題，可以改變計(jì)算模型，采用規(guī)范中 ?_m 值用m法計(jì)算并比較結(jié)論，取兩者更為合理的結(jié)果。

總而言之，被動(dòng)區(qū)加固體如果形成了暗撐，可通過(guò)理論公式計(jì)算其面剛度指標(biāo)一—水平向基床系數(shù)k 。對(duì)于大跨度暗撐應(yīng)通過(guò)多種方法比較合理取值。

3基于廣義胡克定律的一般土體 值計(jì)算

一般土體由于沒(méi)有水泥土的高強(qiáng)度、高穩(wěn)定性的特點(diǎn)，因此不考慮 k 法，依舊采用一般土體最契合的 m 法進(jìn)行公式推導(dǎo)。

對(duì)于同一層土，顯然變形模量 E 和水平抗力系數(shù)的比例系數(shù) m 為一定值，不符合 m 法中 k 值沿深度變化的規(guī)律；假設(shè)模型如圖5所示。

基坑底kk_h，2 （20中 k=m×zZ

假設(shè)求得的水平基床系數(shù) k 就是該土層的平均值 k_h/2 ，同時(shí)假設(shè)求得 m 值為單位土層深度下 m 值，單位深度 z 取 1m 。由式（2）變形得到一般土體 ?_m 值計(jì)算公式：

式（19）為一般土在有限土體條件下的 ?_m 值計(jì)算公式。由該公式得到當(dāng)被動(dòng)區(qū)寬度在 5m 以內(nèi)時(shí)需要對(duì)土的水平基床系數(shù)的比例系數(shù) ?_m 值進(jìn)行加強(qiáng)，土的抗力大小也相應(yīng)增加。此類基坑統(tǒng)稱為溝槽基坑，諸多對(duì)溝槽基坑的研究也證明[17-18]，以往設(shè)計(jì)方法沒(méi)有考慮被動(dòng)區(qū)兩側(cè)土抗力互相影響、疊加從而提升抗力大小的問(wèn)題，從而導(dǎo)致溝槽基坑設(shè)計(jì)中樁長(zhǎng)過(guò)大造成浪費(fèi)，公式不僅符合該研究現(xiàn)象，也適用于溝槽基坑的計(jì)算。

4結(jié)語(yǔ)

通過(guò)廣義胡克定律對(duì)加固土體和一般土體在有限土體情況下的 k 值 ?^m 值進(jìn)行推導(dǎo)，得出了等截面暗撐、變截面暗撐的 k 值公式，以及一般土體的 ?_m 值計(jì)算公式。對(duì)于加固土體，因其具有高強(qiáng)度的特性，在被動(dòng)區(qū)寬度 L 較低時(shí) k 法更適用于計(jì)算加固區(qū)的水平抗力系數(shù) k 值。但 k 法隨著被動(dòng)區(qū)跨度越來(lái)越大，值將很小，以至變形計(jì)算結(jié)果還大于同樣厚度裙邊加固計(jì)算的結(jié)果，完全忽略了暗撐底部土體的作用。面對(duì)大跨度暗撐 k 值可能偏小的情形，此時(shí)采用 m 法進(jìn)行計(jì)算則更符合實(shí)際。對(duì)于普通土體，在被動(dòng)區(qū)寬度 5m 以內(nèi)時(shí)，由于兩側(cè)被動(dòng)抗力互相疊加影響，應(yīng)提高土體的 ?_m 值，在溝槽基坑設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)采取適當(dāng)減少樁長(zhǎng)及支護(hù)的措施以達(dá)到經(jīng)濟(jì)節(jié)能的目的，為工程中水平基床系數(shù)的比例系數(shù)取值提供參考。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉武.改性加固土抗壓/粘聚/內(nèi)摩擦等性能測(cè)試及基坑應(yīng)用驗(yàn)證分析[J].粘接，2023，50（2）：172-175.

[2]楊培濤，單亭棟.基坑支護(hù)中被動(dòng)區(qū)土體加固機(jī)理及優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J].巖土工程技術(shù)，2023，37（2）：247-252.

[3]周國(guó)強(qiáng)，吳明明，王晶，等.偏壓作用下坑底土體加固對(duì)圍護(hù)墻變形特性的影響研究［J].巖土工程學(xué)報(bào)，2022，44（S1）：201-206.

［4]陶鳳娟，章榮軍，汪海博，等.欠固結(jié)軟土深基坑被動(dòng)區(qū)加固變形控制[J].土木工程學(xué)報(bào)，2023，56（S1）：160-170.

［5］丁梓涵，趙其華，彭社琴.基于修正計(jì)算寬度的斜坡場(chǎng)地 m 值取值方法研究[J].地下空間與工程學(xué)報(bào)，2019，15（6） ：1858-1865.

[6]張俊云，張樂(lè)，馮君.軟土地區(qū)樁基橫向抗力系數(shù)的精細(xì)化取值研究[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2021，43（S2）：202-207.

[7]雷建偉，王盛.按 ?_m 法計(jì)算彈性樁水平位移及作用效應(yīng)[J].工程建設(shè)與設(shè)計(jì)，2019，（24）：32-33.

[8]雷國(guó)平，蘇棟，程馬遙，等.基于被動(dòng)區(qū)土彈簧剛度降低過(guò)程的基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)計(jì)算增量法及軟化p-y曲線[J].巖土力學(xué)，2024，45（3）：797-808.

[9]胡峰華，張麗，滕新保.某基坑 m 值與被動(dòng)區(qū)加固寬度相關(guān)性分析[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新，2021（9）：114-115.

[10］朱偉鑫，孫前林，呂樂(lè)，等.層狀地基土水平抗力比例系數(shù)反演的雜交粒子群算法［J].南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，46（1）：84-92.

[11]林東，李子騫，楊友彬，等.考慮非極限土壓力的增量空間 m 法在深基坑開(kāi)挖計(jì)算中的應(yīng)用[J].結(jié)構(gòu)工程師，2023，39（3）：150-157.

［12］張朋成.深厚軟粘土區(qū)基坑 ?_m 值反演及變形控制對(duì)策研究［J].低溫建筑技術(shù)，2021，43（5）：112-116.

[13]徐中華，李靖，王衛(wèi)東.深基坑工程豎向彈性地基梁法中m 值反分析[J].建筑結(jié)構(gòu)，2020，50（S1）：1000-1006.

[14]趙文虎，顧明如，杜成斌，等.基于大變位板樁墻結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)位移的 m 值反演分析[J].水運(yùn)工程，2017（2）：135-142.

[15]楊光華，張文雨，陳富強(qiáng)，等.軟土基坑被動(dòng)區(qū)土體不同加固寬度的 ∣m∣ 值計(jì)算方法研究［J].廣東水利水電，2020（2）：13-19.

[16]郭健，王陽(yáng)，裴陸杰，等.基于 m 法的彈性地基梁優(yōu)化計(jì)算模型研究[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，38（2） ：1-5.

[17］施琦.考慮空間效應(yīng)的狹長(zhǎng)型溝槽基坑穩(wěn)定性計(jì)算方法研究[J].城市道橋與防洪，2021（8）：283-285.

[18］沈銠杰.管道溝槽等窄條形基坑隆起穩(wěn)定性計(jì)算方法［J].城市道橋與防洪，2021（7）：321-324.