基于APOS理論的高中函數(shù)概念理解教學(xué)策略研究

【摘要】函數(shù)理論構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心組成部分，該概念的抽象性質(zhì)對學(xué)生認(rèn)知構(gòu)成了顯著障礙，函數(shù)教學(xué)得以借助APOS理論構(gòu)建起一個(gè)科學(xué)、系統(tǒng)的指導(dǎo)框架，本文以APOS理論為理論支撐，系統(tǒng)分析高中階段函數(shù)概念教學(xué)策略的深化途徑，以實(shí)例為證，分析教學(xué)過程中如何引導(dǎo)學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)操作、過程、對象及圖式四個(gè)認(rèn)知階段的轉(zhuǎn)變，追求提升學(xué)生對函數(shù)概念的理解和實(shí)際應(yīng)用水平。

【關(guān)鍵詞】APOS理論；函數(shù)概念；高中數(shù)學(xué)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的核心主線，作為數(shù)學(xué)其他分支深入研究的基石，其地位不可替代，在自然科學(xué)以及社會科學(xué)等領(lǐng)域均具有普遍的應(yīng)用性，函數(shù)概念的抽象層次較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中面臨諸多學(xué)習(xí)障礙。分析促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)概念深入理解的途徑成為數(shù)學(xué)教育界的核心研究課題，APOS理論為處理該問題引入了新的理論視角與操作方法。?

一、APOS理論概述?

美國數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的學(xué)者杜賓斯基及其同仁提出了APOS理論，該理論認(rèn)為，學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)上，需依次完成四個(gè)階段的學(xué)習(xí)任務(wù)：操作行為、實(shí)施過程、作用對象與認(rèn)知模式。?

1.操作階段?

在實(shí)施環(huán)節(jié)，學(xué)生通過具體實(shí)踐活動，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的直接感知與內(nèi)在吸收。此類實(shí)踐可直接操作實(shí)施，亦可在心理過程領(lǐng)域內(nèi)實(shí)施。在函數(shù)理論學(xué)習(xí)的探索階段，學(xué)生需對若干函數(shù)在特定自變量取值點(diǎn)上的數(shù)值進(jìn)行求解。如計(jì)算函數(shù)時(shí)設(shè)定自變量x=1，則線性函數(shù)y=2x+1的輸出結(jié)果為y=3。

2.過程階段?

經(jīng)歷操作流程的持續(xù)重復(fù)與深度剖析，學(xué)生群體對操作技能的掌握正逐步向內(nèi)在化認(rèn)知階段過渡。在函數(shù)概念的學(xué)術(shù)探討階段，學(xué)生逐步揭示了針對既定函數(shù)的理解。不論自變量取何數(shù)值，每一變量均與一個(gè)既定的依賴因變量相聯(lián)系，此類關(guān)聯(lián)性得以借助既定規(guī)則諸如函數(shù)表達(dá)式表現(xiàn)。在知識更新迅速的今天，學(xué)生群體對具體計(jì)算的關(guān)注已不再局限于傳統(tǒng)計(jì)算范疇，進(jìn)而深入探究函數(shù)內(nèi)在的對應(yīng)關(guān)系實(shí)質(zhì)。?

3.對象階段?

當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⒑瘮?shù)的對應(yīng)法則作為一個(gè)整體性思維模式進(jìn)行綜合分析，在數(shù)學(xué)運(yùn)算與函數(shù)變換領(lǐng)域，該系統(tǒng)亦能實(shí)施相應(yīng)的處理。學(xué)生掌握了執(zhí)行函數(shù)加、減、乘、除等基本運(yùn)算的數(shù)學(xué)技能，抑或?qū)瘮?shù)實(shí)施復(fù)合運(yùn)算流程。函數(shù)被視為一種具備操作屬性的數(shù)學(xué)實(shí)體，函數(shù)的定義已不再局限于過程范疇，此表述已獲得獨(dú)立數(shù)學(xué)實(shí)體的明確認(rèn)可。?

4.圖式階段?

在圖式構(gòu)建階段，學(xué)生將所掌握的函數(shù)理論同其既有的知識背景相結(jié)合，構(gòu)建一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。在該架構(gòu)框架之內(nèi)，函數(shù)理論與方程、不等式等基礎(chǔ)概念相互滲透，形成緊密的聯(lián)系，構(gòu)筑成為一個(gè)連貫的統(tǒng)一體。在此階段，學(xué)生具備針對具體問題情境的分析能力，可以精準(zhǔn)地運(yùn)用函數(shù)知識以攻克問題難關(guān)，并能對函數(shù)領(lǐng)域的知識體系進(jìn)行全面的梳理與總結(jié)。

二、基于APOS理論的高中函數(shù)概念教學(xué)策略?

1.操作階段的教學(xué)策略?

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引入實(shí)例。函數(shù)教學(xué)初期階段的開端，必須精心策劃既富于變化又緊貼學(xué)生生活實(shí)際的課堂情境，以汽車行駛現(xiàn)象為分析對象，沿一條寬闊的直線型道路，汽車沿既定速度路徑進(jìn)行勻速行駛，隨著時(shí)間的不斷延伸，行進(jìn)距離持續(xù)增加。教育工作者應(yīng)呈現(xiàn)各個(gè)時(shí)間點(diǎn)對應(yīng)的路程數(shù)值，使學(xué)生能夠直觀地觀察到時(shí)間單位逐級上升的演變規(guī)律。行進(jìn)距離按照既定比例進(jìn)行擴(kuò)張性增長，這兩個(gè)變量間的緊密依賴性聯(lián)系得以直觀顯現(xiàn)。選取一周內(nèi)該地區(qū)每日氣溫變化數(shù)據(jù)作為分析對象，將時(shí)間單位設(shè)定為可變參數(shù)，作為研究中的一個(gè)關(guān)鍵變量，每日氣溫的最高值被單獨(dú)提取，采用圖表手段對數(shù)據(jù)資料進(jìn)行形象化展示，學(xué)生能夠直接洞察氣溫隨時(shí)間軸變化的波動現(xiàn)象，全面理解變量間相互依存的內(nèi)在聯(lián)系。經(jīng)過學(xué)生對于相關(guān)實(shí)例的細(xì)致觀察，教育工作者需按照教學(xué)序列，逐步指導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)術(shù)語表述該關(guān)聯(lián)性，指導(dǎo)學(xué)生探究如何以代數(shù)式展現(xiàn)距離與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，培育學(xué)生形成“路程與速度及時(shí)間乘積相等”的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)筑函數(shù)概念正式導(dǎo)入的理論基石，在學(xué)生掌握的情境中，培養(yǎng)其對函數(shù)變量依賴關(guān)系的初步且具體的理解水平。?

（2）開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?；I備并實(shí)施學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，運(yùn)用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)輔助繪圖軟件，諸如幾何畫板、Desmos等，繪制函數(shù)圖像，是一種高效的方法論，在實(shí)驗(yàn)實(shí)施階段，學(xué)生在計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)系統(tǒng)中親自錄入各類數(shù)學(xué)函數(shù)公式，本案例所展示的線性映射公式為y=2x+3，在二次函數(shù)的范疇內(nèi)存在一個(gè)特定的函數(shù)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為y=x2-4x+3。輸入函數(shù)演變過程中的階段性調(diào)整，動態(tài)圖像的生成任務(wù)可由該軟件迅速執(zhí)行，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，圖像的形狀與位置亦隨之發(fā)生調(diào)整，針對線性函數(shù)y=kx+b的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探討，對k值實(shí)施數(shù)值變動，學(xué)生能夠直接目睹直線傾斜角度的逐步調(diào)整，進(jìn)一步闡釋k值對函數(shù)單調(diào)性影響的實(shí)際意義；對b值實(shí)施數(shù)值上的調(diào)整，直線沿垂直方向進(jìn)行平行移動，揭示了變量b對函數(shù)圖像y軸截距所起的作用機(jī)制。探討二次多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)采用符號調(diào)整方法對二次項(xiàng)系數(shù)a進(jìn)行正負(fù)性質(zhì)的改變，使得學(xué)生能夠識別圖像開口方向所發(fā)生的調(diào)整現(xiàn)象，采用頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式，探討圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)參數(shù)之間的相互關(guān)系。

2.過程階段的教學(xué)策略?

（1）引導(dǎo)學(xué)生分析和概括。學(xué)生經(jīng)過一系列操作行為的實(shí)施，在具體函數(shù)計(jì)算及圖像觀察領(lǐng)域積累了充足的經(jīng)驗(yàn)，教育工作者應(yīng)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)刻引導(dǎo)學(xué)生對操作步驟進(jìn)行深入剖析，以函數(shù)值求取為例證，在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域，學(xué)生針對多類函數(shù)進(jìn)行了運(yùn)算，其中線性函數(shù)y=3x-1亦為其計(jì)算內(nèi)容之一，在既定的自變量取值范圍內(nèi)，對該函數(shù)的函數(shù)值進(jìn)行求解。教師組織學(xué)生就計(jì)算過程的共通性進(jìn)行分組剖析，引導(dǎo)學(xué)生探究函數(shù)形態(tài)的多樣化變化機(jī)制，在各類科學(xué)實(shí)驗(yàn)與探究活動中，自變量作為核心變量，依據(jù)既定規(guī)則，唯一確定的因變量得以產(chǎn)生，此規(guī)律具有關(guān)鍵性，對眾多具體函數(shù)案例實(shí)施深入對比與系統(tǒng)歸納，逐步引導(dǎo)學(xué)生從這些紛雜的計(jì)算案例中總結(jié)出函數(shù)的普遍性定義，即假設(shè)集合A與集合B均構(gòu)成非空數(shù)值集合，按照某一既定的映射函數(shù)f，對集合A中任一數(shù)值x進(jìn)行探究，對于集合B中的每一個(gè)成員，均存在一個(gè)與之對應(yīng)的函數(shù)f（x），且該函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是唯一的，從集合A至集合B的映射，可記作A→B，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與歸納總結(jié)，以深刻把握函數(shù)定義的內(nèi)在精神，非機(jī)械性記憶途徑之異。

（2）強(qiáng)化符號語言的運(yùn)用。精確表達(dá)函數(shù)概念必須依賴符號語言的運(yùn)用，在教學(xué)實(shí)施階段，教育工作者應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)y=f（x）中的符號的全面理解與熟練運(yùn)用技巧，深入剖析符號的內(nèi)涵與外延，f符號揭示了事物間的對應(yīng)原理，自變量x在此模型中占據(jù)核心位置，y是依賴性變量，在數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式中，y=f（x）這一形式全面揭示了因變量y的數(shù)值完全由自變量x與函數(shù)f的映射關(guān)系所決定。追求強(qiáng)化學(xué)生對學(xué)科知識的把握，教師借助實(shí)例進(jìn)行演示，如以x作為購買蘋果重量數(shù)值的標(biāo)識：f（x）函數(shù)量化了購買x千克蘋果的貨幣支出：每公斤蘋果售價(jià)為五元整，所以f（x）=5x，這是函數(shù)表達(dá)的一種標(biāo)準(zhǔn)形式。鼓勵(lì)學(xué)生采用此符號體系對眾多實(shí)際問題中的函數(shù)聯(lián)系進(jìn)行表述，如探討出租車計(jì)費(fèi)機(jī)制的相關(guān)議題，起步費(fèi)用為8元人民幣，包含首3公里的免費(fèi)行駛里程服務(wù)，自三公里起始點(diǎn)，每公里計(jì)費(fèi)金額為2元，假定行駛距離為x公里，且x的數(shù)值應(yīng)滿足x≥3，本項(xiàng)費(fèi)用總計(jì)為y元，根據(jù)函數(shù)y=f（x）的定義，f（x）=8+2（x-3），揭示了函數(shù)的數(shù)值特性。經(jīng)過大量此類訓(xùn)練的積累，學(xué)生能夠逐步實(shí)現(xiàn)從具體實(shí)例到函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的抽象轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對函數(shù)概念的本質(zhì)屬性與符號表征的普遍性認(rèn)知體系，增強(qiáng)學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的抽象邏輯思維及符號化語言運(yùn)用能力。

3.對象階段的教學(xué)策略?

（1）加強(qiáng)函數(shù)運(yùn)算的教學(xué)。學(xué)生已充分把握函數(shù)的實(shí)質(zhì)，教育者需在課程實(shí)施中及時(shí)引入函數(shù)運(yùn)算的教學(xué)內(nèi)容，對函數(shù)的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算及其復(fù)合函數(shù)形態(tài)進(jìn)行探討，以翔實(shí)的運(yùn)算實(shí)例為分析對象，使學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)這一數(shù)學(xué)實(shí)體，具備執(zhí)行各類數(shù)學(xué)運(yùn)算的屬性，在數(shù)學(xué)分析中，我們研究兩個(gè)特定的函數(shù)f（x）和g（x），f（x）的函數(shù)形式為x2+1，g（x）的函數(shù)形式為2x-1，讓學(xué)生計(jì)算函數(shù)f與函數(shù)g的代數(shù)組合。函數(shù)論研究，f（x）g（x）與f（g（x））等運(yùn)算模式構(gòu)成了函數(shù)運(yùn)算的基本框架，增進(jìn)學(xué)生對函數(shù)運(yùn)算規(guī)則的認(rèn)識與掌握，對函數(shù)這一數(shù)學(xué)對象進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的操作視角轉(zhuǎn)換。?

（2）對比不同函數(shù)的性質(zhì)。教授學(xué)生對比研究各類函數(shù)（諸如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的性質(zhì)差異，探討定義域、值域、單調(diào)性及奇偶性等基本數(shù)學(xué)性質(zhì)，基于此番對照，引導(dǎo)學(xué)生深入探究函數(shù)這一數(shù)學(xué)對象的獨(dú)特性質(zhì)，剖析不同函數(shù)間的相互關(guān)系及其本質(zhì)上的不同點(diǎn)，在分析指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)特征及其數(shù)學(xué)意義時(shí)，采用圖像繪制與特性分析手段，培養(yǎng)學(xué)生對這組函數(shù)反函數(shù)關(guān)系的深刻認(rèn)識，在定義域、值域以及單調(diào)性等關(guān)鍵屬性上，呈現(xiàn)出特定的映射關(guān)系。?

4.圖式階段的教學(xué)策略?

（1）構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)?。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生形成完整的函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)，對函數(shù)理論及其相關(guān)數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行系統(tǒng)性的整合與綜合研究，深入挖掘函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系及其數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生掌握，方程f（x）=0的解即函數(shù)y=f（x）圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值；闡述函數(shù)與不等式相互依存的關(guān)系及其數(shù)學(xué)表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生掌握以函數(shù)單調(diào)性為基礎(chǔ)的不等式求解技巧，采用該知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建模式，深化學(xué)生對函數(shù)概念全面性與深入性理解層次。?

（2）解決綜合問題?。研發(fā)綜合性的數(shù)學(xué)問題探究路徑，鼓勵(lì)學(xué)生在探究問題解決的過程中，綜合應(yīng)用函數(shù)及其相關(guān)領(lǐng)域的知識體系，描述一個(gè)實(shí)際面臨的挑戰(zhàn)，要求學(xué)生著手構(gòu)建函數(shù)模型。依據(jù)不等式原理，分析最優(yōu)解的求解途徑，依托此問題解決途徑，學(xué)生展現(xiàn)出將函數(shù)知識與其他學(xué)科知識體系相融合的技能，對個(gè)人認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)化升級，進(jìn)入圖式化成熟階段。?

三、教學(xué)實(shí)例分析?

1.操作階段?

在課程導(dǎo)入階段，教師向?qū)W生展示了若干與生活緊密相關(guān)的二次函數(shù)實(shí)例，研究籃球投籃時(shí)的運(yùn)動軌跡規(guī)律，以及橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中拱形結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方法等，引導(dǎo)學(xué)生直觀體驗(yàn)二次函數(shù)的實(shí)際存在感，引導(dǎo)學(xué)生采用列表計(jì)算方法求解二次函數(shù)y=x2在x=-3的函數(shù)值，探討函數(shù)所對應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，于坐標(biāo)網(wǎng)格上實(shí)施點(diǎn)標(biāo)記與線段繪制操作，繪制函數(shù)的幾何映射，實(shí)施此動作，可以使學(xué)生初步形成對二次函數(shù)圖像特性的認(rèn)知，并探討自變量與因變量之間的對應(yīng)原理。?

2.過程階段?

學(xué)生圖像繪制作業(yè)的完成標(biāo)志著該環(huán)節(jié)的結(jié)束，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖像視覺分析，對二次多項(xiàng)式函數(shù)的特性進(jìn)行細(xì)致的數(shù)學(xué)考察，引導(dǎo)學(xué)生對圖像的開口朝向、對稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)等要素進(jìn)行系統(tǒng)觀察，討論當(dāng)x在各個(gè)分界點(diǎn)的變動現(xiàn)象，y值變動情況考察，據(jù)此歸納出二次函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律。

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述二次函數(shù)的性質(zhì)，如對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），其對稱軸為x=?b/2a，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)圖像開口向上，在對稱軸左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，在對稱軸右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增等。通過這種方式，學(xué)生將操作過程內(nèi)化，形成對二次函數(shù)性質(zhì)的一般性認(rèn)識。?

3.對象階段?

教師引入二次函數(shù)的運(yùn)算，如給定兩個(gè)二次函數(shù)?y1=x2+2x+1和y2=2x2?3x+1，讓學(xué)生計(jì)算y1+y2，y1?y2，y1×y2等。通過這些運(yùn)算，學(xué)生將二次函數(shù)視為一個(gè)可以進(jìn)行數(shù)學(xué)操作的對象。教師引導(dǎo)學(xué)生對比不同二次函數(shù)的性質(zhì)差異，如比較y=x2，y=2x2，y=-x2等函數(shù)圖像的開口大小、頂點(diǎn)位置等，讓學(xué)生深入理解二次函數(shù)中系數(shù)a對函數(shù)性質(zhì)的影響。?

4.圖式階段?

教師引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式進(jìn)行聯(lián)系。例如讓學(xué)生思考二次函數(shù)y=x2?2x?3的圖像與x軸的交點(diǎn)與方程x2?2x?3=0的解之間的關(guān)系，以及如何利用二次函數(shù)的圖像求解不等式x2?2x?3＞0。通過這種聯(lián)系，讓學(xué)生構(gòu)建起二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)。教師給出一個(gè)綜合問題，如：某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元時(shí)，每個(gè)月可賣出100件。如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣2件。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元，每個(gè)月的利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求售價(jià)為多少時(shí)利潤最大。學(xué)生在解決這個(gè)問題的過程中，需要運(yùn)用二次函數(shù)的知識建立函數(shù)模型，并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，從而將二次函數(shù)知識與實(shí)際問題解決相結(jié)合，完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。?

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳函銳.基于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐——以“集合與函數(shù)概念”單元為例[J].教育觀察，2025（02）.

[2]湯冬健.高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的巧解[J]. 科學(xué)咨詢，2022（18）.

[3]鐘志華，黃桂君.從聯(lián)系觀點(diǎn)看高中函數(shù)概念教學(xué)難點(diǎn)及成因[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022（06）.

[4]劉杰，韓繼偉，高夯.由描述性到形式化：中學(xué)函數(shù)定義的發(fā)展及其價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（03）.