歸納類比尋定義 數(shù)式通性促遷移

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

數(shù)學概念是數(shù)學知識體系的基礎，是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的載體，概念教學是初中數(shù)學教學的核心.概念課往往作為一章的起始課，在教學過程中，教師需用整體統(tǒng)領觀念去開展概念課的教學，以達到“既見樹木，又見森林”的效果.筆者認為，用整體統(tǒng)領觀念就是跳出局部看整體，明確研究“式”系統(tǒng)的基本套路，會用類比聯(lián)想方法研究新的“式”結構，促進知識的正向遷移和思維的自然生長.下面以魯教版八年級下冊第七章第一節(jié)“二次根式”為例，談談對概念課的理解與思考，供讀者參考.

1教學背景及學情分析

本節(jié)課是在學生認識了平方根、算術平方根、立方根、實數(shù)的有關概念和運算的基礎上，進一步對二次根式的概念和性質(zhì)的學習.學生在之前的學習中已經(jīng)掌握了平方根、算術平方根的概念，了解了數(shù)的開方運算，這為理解二次根式中被開方數(shù)的非負性及二次根式的性質(zhì)奠定了基礎.初中學生的抽象思維能力正在逐步發(fā)展，對于抽象的二次根式概念，可能需要通過具體的實例或直觀的圖形來理解.

2 教學目標及教學重難點

教學目標：從生活實例中觀察、比較、抽象、類比、概括，得出二次根式的概念;經(jīng)歷“概念背景一概念形成一揭示聯(lián)系”的一般過程，感受概念的生成過程；經(jīng)歷從定義出發(fā)，回歸問題的本質(zhì)，概括出二次根式性質(zhì)的數(shù)學活動，了解研究數(shù)與式問題的基本套路，培養(yǎng)學生類比思維、歸納意識；滲透數(shù)學簡潔美，培養(yǎng)學生樂觀主義情懷，促進學生全面發(fā)展.

教學重點和難點：二次根式的概念及二次根式的性質(zhì).

3 教學過程設計

3.1 主題探究列式子

學校勞動實踐小組決定在致遠樓和躬行樓之間的空地上建造一片菜園.請回答下列問題：直角三角形菜園的兩條直角邊長分別為 a，b ，斜邊長怎么表示？要在三塊正方形菜園里種植蔬菜和作物，已知每塊正方形菜園的面積分別為 ^{10，c，c+3} ，正方形的邊長怎么表示？如果在第三塊正方形菜園上共種植100棵棉花，那么每面積單位種植的棉花數(shù)如何表示？

師生活動學生獨立完成上述問題，用給定的數(shù)字或者字母表示結果，教師板書結果并進行適當?shù)囊龑Ш驮u價，為二次根式的學習奠定基礎.

設計意圖用字母表示數(shù)，是由數(shù)到式的基礎從學生熟知的問題出發(fā)，問題的提出非常自然而又具有實際意義，使學生感受到二次根式與實際生活的緊密聯(lián)系，體會研究二次根式的必要性.

3.2 分門別類析結構

問題1上述情境中得到的代數(shù)式中，哪些是你學習過的？哪些你沒有學習過？請嘗試對上述問題中得到的代數(shù)式 進行分類，并說說你分類的理由，

師生活動學生先獨立思考，再在小組內(nèi)交流結論，小組代表發(fā)表見解.教師引導學生回憶知識框架， ， ， 不屬于之前學過的任何一種式子.教師追問學生，如果要給它們起個名字的話，應該叫什么？學生很自然地想到無理式.

設計意圖將二次根式置于代數(shù)式的整體背景之下，使學生對代數(shù)式的分類有一個整體認識，有利于學生整體把握代數(shù)式的結構體系.使即將學習的二次根式與單項式、多項式、分式形成對比，從形式上把握它們的異同.與此同時，喚起學生對算術平方根的回憶和對課堂導入部分由面積求邊長問題的再認識，從而引發(fā)學生的深度思考.

3.3 歸納類比成概念

問題2 你能再說出幾個二次根式的例子嗎？

師生活動同桌之間互相說出幾個二次根式的例子.學生主動發(fā)言，將自己舉的例子在全班范圍內(nèi)分享，教師一一寫在黑板上.同時追問：能不能用一個統(tǒng)一的形式來代表剛剛大家列舉的這些式子呢？如果要找一個最簡潔又具有一般性的代表，你認為誰最合適？引導學生找到一個最簡潔的代表，為學生自然得到二次根式的定義奠定基礎.

設計意圖讓學生發(fā)揮想象力，盡可能多地舉例，在舉例過程中感受二次根式的本質(zhì)特征.學生列舉的例子類型多樣，而大量實例則讓學生真切地感受到建立二次根式概念的必要性和必然性問題3 你能嘗試給出二次根式的定義嗎？

師生活動通過問題2舉例子、找代表，學生已經(jīng)初步感受了二次根式的概念，但是當提及“定義”時，還是無從下手.此時，教師可以引導學生回憶剛剛學過的“分式”的定義，分式的定義是由“形式+ 條件”組成的.教師追問：二次根式的形式和條件是什么？在小組內(nèi)用自己的話說一說二次根式的定義并在全班展示，以此培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力.

設計意圖 通過回憶分式的定義，剖析定義組成，再回憶二次根式的形式和條件，仿照分式的定義，問題變得迎刃而解.“分式”的出現(xiàn)喚醒了學生對“式”結構舊知的回憶，也為后續(xù)分析二次根式的研究套路奠定了基礎.

問題4 Δ_a 是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

（1）

師生活動 學生板書展示，教師點評.

設計意圖二次根式有意義的條件，實際上是對二次根式概念的深入理解，此問題能夠加深學生對 a?0 這個條件的理解

3.4 數(shù)式通性尋性質(zhì)

問題5問題情境中每個正方形的邊長分別為 ，如果正方形的面積為 a（a） 為實數(shù)，且 a≥0 ），邊長為 x ，請用一個等式描述 x 與 Ψ_a 之間的關系.

師生活動學生先獨立思考、列式，再小組討論，交流意見，教師適時指導.

設計意圖用一個等式描述 x 與 Ω_a 之間的關系，學生可能會寫出 ，這是基于對算術平方根的認識，也有的學生會寫出 x²=a. 通過小組討論和交流，進行思維碰撞，求同存異，互相補充，在交流中理解二次根式

問題6由 x²=a（xgt;0） 到 可以看作是開平方的過程，因此從運算的角度， 可以看作是 Ψ_a （ Ω_a 為實數(shù)，且 a≥0 ）的算術平方根.二次根式與算術平方根有什么相同和不同之處？

師生活動 學生討論，自由發(fā)言，其他同學相互補充，在交流中理解二次根式.

設計意圖發(fā)現(xiàn) 是 a（a 為實數(shù)，且 a?0 的算術平方根，也就是當被開方數(shù)為非負實數(shù)時，二次根式其實是之前學習過的算術平方根，這樣學生就找到了學習二次根式的生長點.

問題7 你能寫出一些數(shù)的算術平方根嗎？每人寫兩個，填寫在表1內(nèi)，并在小組內(nèi)交流你們的結果.請用一個等式描述 與 Ψ_a 之間的關系.

師生活動學生先獨立思考，完成表格，回憶算術平方根的概念，小組內(nèi)交流并展示.教師巡回指導，引導學生對比每個小組成員的結果并自行糾錯.

設計意圖 通過回憶算術平方根的性質(zhì)，類比遷移得到二次根式的性質(zhì)，實現(xiàn)由數(shù)到式的飛躍.

問題8從運算的角度來看，等式 的左邊先后對 Ψ_a 進行了什么運算？等式右邊運算的結果還是 Ψ_a ，這說明了什么？對這個等式，是否還可以從其他角度去理解？

設計意圖 理解開方與平方互為逆運算，回憶互逆運算.例如，加與減、乘與除.從幾何圖形的角度理解二次根式的性質(zhì)，感受數(shù)形結合思想.

4 教學反思

4.1 情境構建助成單元結構

數(shù)學教學的指向是思維能力及問題解決能力的提升.在初中數(shù)學教學中，教師要注重發(fā)揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用只有在真實或接近真實的情境問題解決過程或問題解決活動中，學生才能逐步積累并遷移運用數(shù)學知識解決問題的經(jīng)驗，從而逐步發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)[1].教師通過在空地上構建一片菜園的問題，用面積、邊長及單位面積種植的棉花數(shù)，引出單項式、多項式、整式、分式、有理式、無理式等概念，并將二次根式置于代數(shù)式的背景之下.這有利于學生整體把握代數(shù)式的體系結構，引發(fā)深度思考，從而促進遷移能力、問題解決能力和創(chuàng)新能力的提升.

4.2 類比聯(lián)想助力概念形成

從學生熟悉的整式和分式出發(fā)，類比得到了二次根式，而后又從系統(tǒng)的高度說明了整式、分式和無理式同屬于代數(shù)式.類比和聯(lián)想是數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的源泉，從學生已有的知識結構中遷移到新的知識，既復習了舊知識，又加深了對新知識的理解，有利于學生形成相應的知識體系.二次根式定義的教學有目標、有層次，設計較為巧妙，挖掘了定義的本質(zhì)屬性，自始至終由學生歸納總結得出，整個過程揭示了概念的背景，展現(xiàn)了其抽象概括的形成過程.

4.3 數(shù)式通性助推思維生長

數(shù)學概念是思維的基本單位，是數(shù)學邏輯的起點，是學生認知的基礎，是數(shù)學教學的核心，它在數(shù)學學習與數(shù)學教學中具有重要作用.概念教學活動必然經(jīng)過“給例子一找屬性一舉例子—下定義—再辨析\"這五個環(huán)節(jié)[2].通過數(shù)式通性促進知識遷移，利用歸納類比的方法找到二次根式的定義，鼓勵學生在今后的學習中，善于運用此方法去探索新的數(shù)學概念和規(guī)律.在教學過程中，教師應當通過多種多樣的數(shù)學活動，讓學生運用觀察、比較、抽象、類比、歸納的思維方式，發(fā)現(xiàn)概念的屬性，從而建立數(shù)學概念.

5 結束語

筆者力求通過情境構建、類比聯(lián)想、數(shù)式通性等方式，引導學生主動歸納二次根式的概念、理解二次根式的性質(zhì)，再通過數(shù)學活動促進學生知識的正向遷移和思維的自然生長，從而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1］丁波.明晰模型本質(zhì)突出重建重構：一道教材習題的教學實踐與反思[J].中學數(shù)學教學參考，2024（26） ：43 -45.

[2]卜以樓.卜以樓生長數(shù)學教育40年文集［M].西安：陜西師范大學出版總社，2021.

[責任編輯：李慧嬌]