無(wú)界紅利率下復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型的周期性分紅問(wèn)題分析

摘 要：文章的研究對(duì)象是復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型，探討其在無(wú)界紅利率的條件下周期性分紅問(wèn)題。首先，講述了分紅問(wèn)題的背景與意義。其次，根據(jù)公司盈余的獨(dú)立增量性構(gòu)建了一個(gè)盈余模型，并給出最優(yōu)控制問(wèn)題的一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)。最后，通過(guò)證明得到了最優(yōu)分紅策略及其性質(zhì)和滿(mǎn)足最優(yōu)值函數(shù)的HJB方程。在對(duì)值函數(shù)的變換過(guò)程中得出了最優(yōu)分紅策略的相關(guān)性質(zhì)，還得到了最優(yōu)策略與最優(yōu)值函數(shù)的一些相關(guān)定理。

關(guān)鍵詞：周期性分紅；HJB方程；對(duì)偶模型；值函數(shù)變換；最優(yōu)分紅策略

中圖分類(lèi)號(hào)：F224""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1005-6432（2025）16-0025-05

DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2025.16.007

1 引言

1.1 研究背景

精算數(shù)學(xué)的發(fā)展有著百年的歷史，是一個(gè)利用相關(guān)概率論理論處理風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題的課題，而風(fēng)險(xiǎn)理論被廣泛地應(yīng)用在保險(xiǎn)業(yè)的隨機(jī)模型的研究中，其發(fā)展是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。最初，其被適用在保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中，常用于求解破產(chǎn)概率問(wèn)題，即公司的破產(chǎn)。隨后，由于保險(xiǎn)行業(yè)的快速發(fā)展，僅僅依據(jù)破產(chǎn)概率這一指標(biāo)去衡量風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題越來(lái)越不能滿(mǎn)足大家的需求。為此，學(xué)者們?yōu)榱藢ふ伊硪环N更有效的方法去衡量公司的運(yùn)營(yíng)情況做了大量的研究，由此，紅利分配問(wèn)題的研究誕生了，并成了風(fēng)險(xiǎn)理論的核心。

De Finetti在1957年的第一屆國(guó)際精算會(huì)議上提出了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問(wèn)題［1］。為了使得股東分紅的總收益達(dá)到最大，De Finetti對(duì)最優(yōu)的邊界分紅策略進(jìn)行研究，在收入額為-1和+1的離散風(fēng)險(xiǎn)模型中，通過(guò)討論分析發(fā)現(xiàn)其最優(yōu)紅利策略是barrier策略。此后，在該理論基礎(chǔ)上，針對(duì)這一問(wèn)題學(xué)者們構(gòu)建了各種各樣的模型，做了相關(guān)的大量研究。并且隨著經(jīng)濟(jì)全球化和快速的發(fā)展，各行業(yè)間的界限也越來(lái)越模糊，保險(xiǎn)與金融也慢慢地交織在一起，最優(yōu)分紅問(wèn)題的研究受到了更多研究人員的青睞。例如，Albrecher和Hartinger（2006）［2］對(duì)Sparre Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)紅利問(wèn)題進(jìn)行了研究，Loeffen（2009）［3］和Avram等（2007）［4］對(duì)譜負(fù)Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)紅利問(wèn)題進(jìn)行了研究，研究紅利策略時(shí)理論上允許根據(jù)盈余情況在任何時(shí)刻支付紅利，但與現(xiàn)實(shí)中的情況不符，所以Albrecher等（2011）在復(fù)合泊松模型中考慮周期性分紅問(wèn)題，即只在一系列隨機(jī)時(shí)刻才考慮分紅。Albrecher等的研究主要是在連續(xù)時(shí)間模型下考慮的，此外還有學(xué)者對(duì)分紅決策時(shí)間呈現(xiàn)周期性變化的最優(yōu)紅利策略進(jìn)行研究［5］。在Jin等（2015）的研究中，其在馬氏環(huán)境下對(duì)不定邊界的周期性分紅問(wèn)題做了詳細(xì)研究，探討出了計(jì)算破產(chǎn)時(shí)刻前的期望貼現(xiàn)紅利的一種高效算法［6］。根據(jù)上述研究，文章給定了一個(gè)分紅周期，并在單位時(shí)間內(nèi)考慮是否會(huì)破產(chǎn)的可能。在現(xiàn)實(shí)中發(fā)現(xiàn)保險(xiǎn)公司監(jiān)控它的償付能力比決定支付紅利的時(shí)間間隔會(huì)更短，Michael和Cheung（2014）就對(duì)此做了相應(yīng)的研究。所以文章的模型中也會(huì)考慮這種現(xiàn)象。近幾年隨著國(guó)內(nèi)金融市場(chǎng)的不斷完善和發(fā)展，國(guó)內(nèi)的學(xué)者們也在不同的模型下進(jìn)行了各種研究并取得了相應(yīng)的成果。如吳輝和譚激揚(yáng)（2010）［7］、游凌云等（2017）［8］等對(duì)不同模型的周期性分紅問(wèn)題也做了相應(yīng)的研究，并取得了相應(yīng)的結(jié)論。

1.2 研究意義

1.2.1 理論意義

第一，有利于公司更好的運(yùn)行。在公司的資產(chǎn)負(fù)債表中，只有資產(chǎn)等于負(fù)債，公司的正常運(yùn)行才能繼續(xù)下去。合適的紅利支付可以給外界釋放公司經(jīng)營(yíng)良好的信息，吸引其他潛在投資者注資，有利于擴(kuò)大公司的規(guī)模，使公司更順暢的經(jīng)營(yíng)。

第二，有利于平衡公司盈利在股東的分紅與凈營(yíng)運(yùn)資本之間的分配。對(duì)于公司股東而言，公司是投資后獲得回報(bào)的一種工具，獲得收益是股東的最終目的。如果紅利支付過(guò)少可能導(dǎo)致股東撤資，公司經(jīng)營(yíng)遭遇風(fēng)險(xiǎn)；若過(guò)多的支付紅利，在企業(yè)經(jīng)營(yíng)過(guò)程中又會(huì)因?yàn)榱鲃?dòng)性資金不足而出現(xiàn)經(jīng)營(yíng)困難、盈利難的情況，最終導(dǎo)致公司的運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)。所以公司在支付紅利和保留盈利兩者之間要保持平衡。

第三，有利于控制公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)。在持續(xù)支付紅利直至到達(dá)公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的邊際，存在一個(gè)臨界點(diǎn)。在臨界點(diǎn)內(nèi)，公司正常運(yùn)營(yíng)不會(huì)受到威脅，超過(guò)臨界點(diǎn)，公司面臨破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，股東的利益也會(huì)受到損害。所以最優(yōu)的紅利支付策略至關(guān)重要。

第四，豐富了紅利支付的多樣性。現(xiàn)實(shí)中，紅利的支付一般是一個(gè)固定的數(shù)值，但理論上在公司盈利無(wú)限增長(zhǎng)的情況下，紅利的支付也會(huì)隨之增長(zhǎng)，紅利支付無(wú)限大成為一種可能。

1.2.2 實(shí)際意義

第一，有助于管理者做出正確的決策。公司的盈利是連續(xù)時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的，理論上紅利的支付也是可以在連續(xù)時(shí)間內(nèi)隨時(shí)被支付，可是連續(xù)時(shí)間的紅利隨時(shí)支付可能導(dǎo)致公司的營(yíng)運(yùn)資本不清晰，影響公司決策等問(wèn)題。所以規(guī)定固定周期支付紅利符合事實(shí)。

第二，有利于避免股東撤資。股東為公司投入資金，主要的目的是獲取收益，而紅利的分配就是股東的投資回報(bào)。只有股東認(rèn)為得到了應(yīng)有的回報(bào)，才會(huì)繼續(xù)投資，否則，股東就會(huì)撤資。

第三，有利于吸引新的投資者。固定支付紅利給潛在投資者釋放公司運(yùn)營(yíng)良好的信息，對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，大多都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，偏好穩(wěn)定的收益。文章在固定的周期下發(fā)放紅利是具有實(shí)際意義的。

1.3 主要內(nèi)容及創(chuàng)新點(diǎn)

1.3.1 主要內(nèi)容

文章是在假定紅利率是無(wú)上界的條件下研究復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型的周期性紅利問(wèn)題。假設(shè)，該模型單位時(shí)間內(nèi)的收益是一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，且分紅決策間隔的時(shí)間是一個(gè)固定的值。因此，基于對(duì)偶模型的盈余過(guò)程構(gòu)建出了周期性分紅的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其提出一些假設(shè)條件，再在對(duì)值函數(shù)進(jìn)行變換得到了最優(yōu)分紅策略和相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)之間的關(guān)系以及最優(yōu)分紅策略的一些性質(zhì)。具體步驟如下。

首先，在復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型（經(jīng)典離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型），針對(duì)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)紅利分配問(wèn)題進(jìn)行研究，依據(jù)公司的盈余過(guò)程構(gòu)建周期性分紅模型。即分紅只在t=nk（n∈N） 時(shí)刻發(fā)生，在其他時(shí)刻均不發(fā)生，且在任何分紅時(shí)刻的分紅均不會(huì)導(dǎo)致破產(chǎn)。

其次，根據(jù)盈余過(guò)程的獨(dú)立增量性等條件下得出了最優(yōu)控制問(wèn)題的一個(gè)嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)式，且建立了HJB方程和值函數(shù)方程。

最后，對(duì)值函數(shù)進(jìn)行數(shù)值變換，根據(jù)壓縮映射原理推導(dǎo)出了最優(yōu)紅利策略的相關(guān)性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的證明。

1.3.2 創(chuàng)新點(diǎn)

在現(xiàn)實(shí)世界中，紅利的支付是固定支付周期的，文章中的假設(shè)貼近現(xiàn)實(shí)，研究周期性分紅問(wèn)題，且支付紅利的上限是無(wú)界的，文章在無(wú)上界的紅利支付率的條件下研究周期性分紅問(wèn)題，給公司的分紅策略提供了建議和參考。

2 基本模型及假設(shè)

在復(fù)合二項(xiàng)模型下，文章假設(shè)保險(xiǎn)公司的收益是一個(gè)隨機(jī)變量，構(gòu)建出保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程并提出一些假設(shè)。在探索過(guò)程中文章可能用到一些經(jīng)典的引理和定義。

2.1 基本模型

在復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型中，在任意時(shí)刻t的盈余為：

U（t）=u－ct+S（t）; t=1， 2， 3， …（1）

式中，u的取值為非負(fù)整數(shù)，表示初始盈余；c的取值為非負(fù)整數(shù)，表示單位時(shí)間內(nèi)需要給出的支付值；S（t）的取值為非負(fù)整數(shù)，表示t時(shí)刻前所有得到的收益，可用下式具體表述。

S（t）=∑ti=1Xiξi; t=1， 2， 3， …（2）

式中，S（0）=0， 假設(shè)Xi為i時(shí)刻可能的收入量，隨機(jī)變量序列{Xt; t=1， 2， …}是獨(dú)立同分布，且取正整數(shù)值的，其中X0=0。在單位時(shí)間內(nèi)，將有收入的概率用p（0lt;plt;1）表示，那無(wú)收入的概率為q=1－p；若在單位時(shí)間區(qū)間（t－1， t）內(nèi)有一次收入，用ξt=1表示；若在單位時(shí)間區(qū)間（t－1， t）內(nèi)沒(méi)有收入，用ξt=0表示。

記：

H（t）=∑ti=1ξi； t=1， 2， 3， …（3）

隨機(jī)變量序列{H（t）， t=1， 2， 3， …}是獨(dú)立同分布，其中H（0）=0，并與隨機(jī)變量序列{Xt; t=1， 2， …）相互獨(dú)立。

令：

f（x）=pr（Xi=x）； x=1， 2， 3， …（4）

這是收入量的概率函數(shù)。令：

F（x）=∑xi=1f（i）; x=1， 2， 3， …（5）

式中，F(xiàn)（0）=0；這樣，盈余模型就可以表述為：

U（t）=u－ct+∑ti=1Xiξi; t=0， 1， 2， 3， 4， …（6）

2.2 基本假設(shè)

筆者考慮在公司的盈余模型中加入紅利策略，然后提出一些基本假設(shè)。設(shè)dt表示在t時(shí)刻所需要支付的紅利的數(shù)值，t∈N（N=0， 1， 2， 3， …）。我們知道公司支付紅利的時(shí)間一般是固定的，為了更貼近現(xiàn)實(shí)，文章記分紅周期長(zhǎng)為k，為一個(gè)固定的正整數(shù)。若周期長(zhǎng)為k的周期性紅利策略是可行的，則滿(mǎn)足以下方面。

①對(duì)于任意時(shí)刻t≠nk（n∈N）時(shí)的分紅dt=0， 即該時(shí)刻不考慮分紅；當(dāng)且僅當(dāng)t=nk時(shí)考慮分紅。②在任何分紅時(shí)刻的分紅均不會(huì)導(dǎo)致破產(chǎn)。③分紅時(shí)刻支付的紅利的上界記為l，l的取值為正整數(shù)。但因?yàn)槲恼率窃跓o(wú)紅利支付上界的前提下討論周期性分紅問(wèn)題，所以，在這里l的取值為l=+SymboleB@。④t時(shí)刻的分紅是關(guān)于{Ft}可預(yù)測(cè)的，即是一個(gè)包含t時(shí)刻和t時(shí)刻之前的所有信息的σ代數(shù)。所以可根據(jù)Ft來(lái)預(yù)測(cè)t時(shí)刻要支付的最優(yōu)紅利。

根據(jù)盈余過(guò)程式（1）的馬爾可夫性，在文章中只討論對(duì)公司價(jià)值有意義的一類(lèi)可行性策略，這類(lèi)策略是關(guān)于盈余x的函數(shù)，記為Φ（x），Γ表示這類(lèi)可行性策略構(gòu)成的集合，即Φ（x）∈Γ。故在策略Φ下控制的盈余模型可以表示為：

UΦ（t）=UΦ（t－1）－c+Xtξt－Φ（UΦ（t－1）－c+Xtξt）； t=1， 2， 3， …（7）

式中，UΦ（0）=u－Φ（u），Φ（u）表示初始盈余為u的紅利策略。對(duì)任意的Φ（x）∈Γ，破產(chǎn)前的全部紅利現(xiàn)值的平均數(shù)見(jiàn)如下定義，也稱(chēng)為值函數(shù)。

VΦ（u）=Eu［∑αt=0rtΦ（UΦ（t－））］（8）

式中，Eu表示初始盈余為u的前提下的條件期望，r∈（0，1）為貼現(xiàn)因子，UΦ（t－）表示t時(shí)刻前的瞬時(shí)盈余，可表示為： UΦ（t－）=UΦ（t－1）－c+Xtξt; α=inf{tgt;0; UΦ（t）lt;0}， 意為盈余第一次小于零的時(shí)刻，又稱(chēng)破產(chǎn)時(shí)刻。文章的目標(biāo)是找到值函數(shù)取最大值時(shí)滿(mǎn)足最優(yōu)值函數(shù)V（u）的最優(yōu)策略Φ，最優(yōu)值函數(shù)與最優(yōu)紅利策略滿(mǎn)足如下關(guān)系：

V（u）=maxΦ∈ΓVΦ（u）， u∈N（9）

使得V（u）=VΦ（u）。

3 最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)

因dt（t∈N）表示第t個(gè)單位時(shí)間內(nèi)紅利策略決定要支付的數(shù)額，則Φ={d0， d1， d2， …}表示紅利支付周期長(zhǎng)度為k的最優(yōu)分紅策略，且t時(shí)刻的分紅是一個(gè)包含t時(shí)刻和t時(shí)刻之前的所有信息的σ代數(shù)，其是關(guān)于{Ft}可預(yù)測(cè)的。例如，分紅的初始時(shí)刻t=0的最優(yōu)紅利策略可表示為：

Φ（u）=d0（u， x0）（10）

根據(jù)盈余過(guò)程的馬爾可夫性，從當(dāng)前時(shí)刻為t=k開(kāi)始，接下來(lái)的過(guò)程還是一個(gè)馬氏過(guò)程，此時(shí)這個(gè)新的馬氏過(guò)程的初始收益記為：

u=UΦ（t－1）－Ct+Xtξt（11）

當(dāng)x≥0以及Xt=x0同時(shí)成立時(shí)，最優(yōu)的紅利支付數(shù)額依舊保持Φ（u）不變。同理可知，當(dāng)t=2k， 3k， 4k， …， nk時(shí)，最優(yōu)紅利Φ（u）的變化與對(duì)應(yīng)的盈余過(guò)程UΦ（t－）及Xt的狀態(tài)相關(guān)。所以，前一單位的瞬時(shí)收入為x，狀態(tài)是Xt=x0的條件下的最優(yōu)紅利可用Φ（u）表示。

對(duì)任意的策略Φ（x）∈Γ， 文章利用全概率公式建立如下的關(guān)于值函數(shù)V（u）的方程。

V（u）=Φ（u）+qr［V〈1〉（u－c－Φ（u））］+pr∑SymboleB@x=1［V〈1〉（u+x－c－Φ（u））］f（x）， u∈N（12）

式中，

V〈t〉（u）=qr［V〈t+1〉（u－c）］+pr∑

x=1［V〈t+1〉（u+x－c）］f（x）； t=1， 2， 3， …， k－2（13）

和

V〈k－1〉（u）=qr［V（u－c）］+pr∑

SymboleB@x=1［V（u+x－c）］f（x）（14）

上式中，當(dāng)u∈N－={－1， －2， …}時(shí)，筆者規(guī)定V（u）=0和V〈t〉（u）=0（t=1， 2， …， k－1），需要注意的是，V〈t〉（t=1， 2， …， k－1）可看作從時(shí)刻t開(kāi)始的一個(gè)新的盈余過(guò)程的值函數(shù)。

定理1：假設(shè)r∈（0， 1），Φ（x）∈Γ，最優(yōu)值函數(shù)V（u）滿(mǎn)足HJB方程。

V（u）=sup0≤d≤l∧u{d+qrV〈1〉（u－c－d）+pr∑

因此，最優(yōu)值函數(shù)V（u）滿(mǎn)足HJB方程，如下：

V（u）=supΦ∈Γ{Φ（u）+qrV〈1〉（u－c－Φ（u））+pr∑

4 無(wú)界紅利率條件下的最優(yōu)策略的性質(zhì)

對(duì)Φ（x）∈Γ ，u∈N的情況下，筆者定義值函數(shù)的像函數(shù)為W（u）。

W（u）=qrV〈1〉（u－c）+pr∑

若u∈N－，定義W（u）=0，此時(shí)像函數(shù)、值函數(shù)和紅利策略滿(mǎn)足：

V（u）=Φ（u）+W（u－Φ（u））（19）

以及：

V〈k－1〉（u）=qr［W（u－Φ（u－c）－c）+Φ（u－c）］+pr∑

對(duì)于一個(gè)可能的紅利策略Φ=Φ（u）∈Γ，有Φ（u）∈［0， u］，由于分紅時(shí)刻的紅利是有上界l，故分紅策略Φ（u）∈［0， u∧l］。因?yàn)槲恼卵芯康氖菬o(wú)紅利支付上界，所以l=

在策略集Γ范圍內(nèi)，如果策略對(duì)應(yīng)的函數(shù)W（u）對(duì)任意的u∈N都是最大的，則稱(chēng)函數(shù)是集合上最優(yōu)。

定理2：若Φ=Φ（u）∈Γ，V（u）表示值函數(shù)，像函數(shù)W（u）滿(mǎn)足式（18）。當(dāng)W（u）在Φ=Φ（u）∈Γ時(shí)取最優(yōu)值，則：

①u(mài)∈N，有：

Φ（u）=u－argsup0≤x≤u{W（x）－x}（21）

②Φ=Φ（u）是最優(yōu)紅利策略。

證明： 由式（13）、" 式（18）和式（20）以及像函數(shù)W（u）的最優(yōu)性可以得出：

V〈k－1〉（u）=supΦ∈Γ{qr［W（u－Φ（u－c）－c）+Φ（u－c）］+pr

supuV〈t〉（u）≤rsupuV〈t+1〉（u），t=1， 2， …， k－2（36）

根據(jù)式（34）、 式（35）和式（36）， 可得到：

supuW（u）≤rsupuV〈1〉（u）≤r2supuV〈2〉（u）≤…≤rk－1supuV〈k－1〉（u）≤rkl+rksupuW（u）

因此：

supuW（u）≤rkl1－rk

由此， 式（33）得證。

定義1：H表示為N上的全體由界實(shí)值函數(shù)組成的集合。對(duì)任意的X，Y∈H，在H上定義距離，記為：

d（X， Y）=‖X－Y‖=supu∈N|X（u）－Y（u）|

顯然，H=（H， d）是一個(gè)完備的度量空間。

定義2：對(duì)集合N上任意的實(shí)值函數(shù)Y（u），定義：

BY（u）=u－argsup0≤x≤u∧K{Y（x）－x}（37）

根據(jù)式（37）， 則式（20）可以寫(xiě)成：

V〈k－1〉（u）=qr［W（u－BW（u－c）－c）+BW（u－c）］+pr∑SymboleB@x=1［W（u－BW（u－c+x）－c+x）+BW（u－c+x）］f（x）， u∈N（38）

定義3：定義映射。

Ti： H→H， i=0， 1， 2， …， k－1

式中，記T0為把V〈1〉（u） 變換成式（18）右端的映射；同理，Tt（t=1， 2， …， k－2）為把V〈t+1〉（u）變換成式（13）右端的映射；Tk－1為把W（u）變換成式（38）右端的映射。因此，T=T0， T1， …， Tk－1為一個(gè)H→H的非線(xiàn)性映射， 合并式（18）、 式（13）和式（38）可記為：

W=TW（39）

定理5：若r∈（0， 1）， 式（39）有且僅有一個(gè)解。

證明：對(duì)X， Y∈H， 都有：

d（Tk－1X， Tk－1Y）=supu∈N{qr|X［u－c－BX（u－c）］+BX（u－c）－Y［u－c－BY（u－c）］－BY（u－c）|+pr∑SymboleB@x=1|X［u－c+x－BX（u－c+x）］+BX（u－c+x）－Y［u－c+x－BY（u－c+x）］+BY（u－c+x）|f（x）} （40）

式中，對(duì)任意u∈N－， 定義X（u）=Y（u）=0和BX（u）=BY（u）=0。不失一般性，假設(shè)對(duì)一給定的u∈N，" 有X（u－BX（u））+BX（u）≥Y（u－BY（u））+BY（u）。

則：

|X（u－BX（u））+BX（u）－Y（u－BY（u））+BY（u）|≤|X（u－BX（u））+BX（u）－Y（u－BX（u））+BX（u）|≤d（X， Y）

故：

d（Tk－1X， Tk－1Y）≤qrd（X， Y）+pr∑SymboleB@x=1d（X， Y）f（x）≤rd（X， Y）

式中，對(duì)任意X， Y∈H，下式成立。

d（TX， TY）=d（T0T1…Tk－1X， T0T1…Tk－1X）≤rd（T1…Tk－1X， T1…Tk－1X）≤…≤rkd（X， Y）

對(duì)任意r∈（0，1），所以T是H上的一個(gè)壓縮映射，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)原理，得證。

定理6：假設(shè)對(duì)任意Φ∈Θ，V（u）為值函數(shù)，且W（u）由式（18）定義，對(duì)u∈N，若式（21）成立，則W（u）最大。

證明：根據(jù)定理2， 滿(mǎn)足式（13）的策略是最優(yōu)的，而最優(yōu)策略所對(duì)應(yīng)的W（u）是最大的，得證。

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