主題探究促進數(shù)學深度學習的優(yōu)化策略

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2025）05-0099-04

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學，其學科本質(zhì)在于通過抽象、推理與建模形成對客觀世界的結(jié)構(gòu)化認知。當前高中數(shù)學的教學過程中，教師積極嘗試并運用直觀教學、探究式教學等多種手段來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和問題解決能力，但依然存在諸多問題。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“高中數(shù)學新課標”）以核心素養(yǎng)為導向，明確提出“數(shù)學探究活動是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論\"。數(shù)學主題探究遵循發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、解決問題的思維邏輯，以清晰的學習主題為牽引，通過真實情境中的復雜問題鏈，促使學生在認知沖突中實現(xiàn)從記憶事實性知識轉(zhuǎn)向理解概念性本質(zhì)、從機械解題轉(zhuǎn)向批判性建模、從學科割裂轉(zhuǎn)向跨領(lǐng)域遷移（如圖1）。高中數(shù)學教學要以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，引導學生在主題探究中進行深度學習，形成關(guān)鍵能力。

一、明晰主題：數(shù)學深度學習的認知錨點

數(shù)學深度學習通過學習者對學習過程的深度參與、深入思考和深入理解，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘知識背后的邏輯和科學原理。數(shù)學主題探究需以明晰的探究主題為前提，通過錨定學科大概念構(gòu)建認知框架，使零散的知識點形成意義關(guān)聯(lián)的知識網(wǎng)絡(luò)。主題明晰體現(xiàn)在3個方面，即探究素材的明晰，探究方向的明晰，探究方法的明晰。主題明晰的探究活動，不僅能激發(fā)學生的好奇心和探究欲，更能促使學生在認知層面進行深度思考。

在教師的精心組織和引導下，數(shù)學主題探究活動通過設(shè)計切口小、角度新、針對性強的學習主題，以研定導、以導促研，促進學生的研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力的提升[2。高中數(shù)學新課標以預備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計四大主線建構(gòu)課程內(nèi)容體系，為主題設(shè)計提供了結(jié)構(gòu)化指引。主題明晰的探究活動體現(xiàn)出目標導向性（指向核心素養(yǎng)）、方法系統(tǒng)性（貫穿數(shù)學思維）、資源整合性（聯(lián)結(jié)多重領(lǐng)域）等特征，這恰與深度學習“知識整合、高階思維、情境遷移”的內(nèi)在訴求深度契合。

主題探究的素材可來自課程標準和數(shù)學教材、科普讀物和網(wǎng)絡(luò)資源、日常生活和社區(qū)服務(wù)、現(xiàn)實熱點和國家大事，但最終必須回到數(shù)學學科。例如，高中數(shù)學新課標案例23“距離問題”（又稱曼哈頓距離），包括在數(shù)軸上用絕對值定義兩點間的距離和按照街道的垂直與平行方向建立平面直角坐標系定義兩點間的距離這兩個情境，包含幾何與代數(shù)主線的核心概念，是良好的探究素材。課標明確其教學考查學生數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算等素養(yǎng)達成的綜合情況，需體現(xiàn)“用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界”的理念，通過坐標變換探究曼哈頓距離與其他距離模型的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

“距離問題”的探究設(shè)計，包含5重主題，完整呈現(xiàn)主題明晰對深度學習的支撐作用。主題1概念錨定：將歐氏距離、曼哈頓距離等多元模型納入統(tǒng)一認知框架。主題2方法貫通：通過坐標系變換，揭示不同距離模型間的數(shù)學本質(zhì)關(guān)聯(lián)。主題3資源統(tǒng)整：既依托教材中“城市街區(qū)路徑規(guī)劃”等經(jīng)典案例，又引入無人機避障算法、物流配送優(yōu)化等真實問題，實現(xiàn)數(shù)學抽象與現(xiàn)實應(yīng)用的閉環(huán)聯(lián)結(jié)。主題4橫向拓展：從一維直線距離公式出發(fā)，類比推導二維曼哈頓距離。主題5批判遷移：促使學生理解“模型的條件依賴性”，形成選擇數(shù)學工具的決策思維。這種以主題為錨點的深度學習，不僅讓學生掌握距離計算技能，更能構(gòu)建起可遷移的數(shù)學建模能力。

二、思維遞進：數(shù)學深度學習的躍遷路徑

數(shù)學深度學習的本質(zhì)在于通過思維層級的系統(tǒng)性躍遷，實現(xiàn)從“知識復制”到“意義生成”的認知突破。數(shù)學是思維的體操，數(shù)學思維的發(fā)展根植于數(shù)學學科嚴謹?shù)?、系統(tǒng)的知識體系。主題探究突出思維的融會貫通，有利于培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S。在主題探究活動中，圍繞學習模塊，學生展開片段式和局部性的探究活動，通過不斷地追問本質(zhì)、厘清關(guān)系、構(gòu)建結(jié)構(gòu)等一系列思維過程，促思維、長智慧、提學力，促進研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力提升，從而形成系統(tǒng)思維的結(jié)構(gòu)觀念。

深度學習強調(diào)知識的有效遷移，即學習者能夠?qū)⑺鶎W知識靈活運用到新的問題和情境中。數(shù)學主題探究中，學生使用“觀察、實驗、操作、猜想、抽象與概括、分析與綜合、歸納與類比”等多種思維方法才能解決問題[3]。學生帶著問題走進課堂，沿著問題展開深度研究，又帶著新的問題離開課堂，養(yǎng)成以數(shù)學工具解決現(xiàn)實問題的思維習慣，提升運用策略性知識的自覺性，從而不斷提升數(shù)學素養(yǎng)。

仍以“距離問題”為例，高中數(shù)學新課標對曼哈頓距離的教學要求聚焦于核心素養(yǎng)導向的情境化建模與數(shù)學思想方法的深度滲透。教師應(yīng)通過真實問題驅(qū)動、多種工具融合的探究活動，幫助學生理解其數(shù)學本質(zhì)與現(xiàn)實價值，同時強化批判性思維與創(chuàng)新應(yīng)用能力。為此，課堂設(shè)計大致如下：一是對學過的距離進行復習回顧（用類比思想觀察直線、平面、空間距離的關(guān)系）；二是從已學的一維距離定義推廣到二維距離的新定義（用類比思想從數(shù)軸推廣到坐標系）三是探究曼哈頓距離的性質(zhì)并進行嚴格證明（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；四是類比平面距離的軌跡探索，進行曼哈頓距離的軌跡探索（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；五是探索曲線外定點與曲線上動點之間距離的最值（用數(shù)形結(jié)合思想去證明）；六是形成對課堂學習的結(jié)構(gòu)化認識。

思維遞進的探究設(shè)計，完整呈現(xiàn)思維的三重進階。一是問題鏈驅(qū)動認知沖突：從“一維數(shù)軸距離”的直觀回顧，到“二維曼哈頓距離”的類比推廣，再到“曲線外定點到直線距離最值問題”的批判性探索，形成逐級遞升的認知階梯。二是多工具融合突破思維定式：通過GeoGebra可視化呈現(xiàn)曼哈頓距離的菱形等距線分布，促使學生在數(shù)形結(jié)合中深化對距離本質(zhì)的認知。三是結(jié)構(gòu)化反思促成遷移：引導學生繪制“距離模型認知圖譜”，橫向?qū)Ρ葰W氏距離、曼哈頓距離的數(shù)學特性，縱向剖析其在數(shù)據(jù)科學、工程優(yōu)化等領(lǐng)域的應(yīng)用邊界，通過思維進階設(shè)計，使學生的數(shù)學核心素養(yǎng)從理念目標轉(zhuǎn)化為可觀測的實踐能力。

三、本質(zhì)理解：數(shù)學深度學習的認知升維

數(shù)學深度學習的終極價值在于促使學習者超越工具性認知，抵達對學科本質(zhì)的概念性理解。這種理解并非對定理公式的簡單復現(xiàn)，而是通過概念澄明與認知的圖式重構(gòu)，將數(shù)學對象的內(nèi)在邏輯轉(zhuǎn)化為個體思維系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化存在。主題探究既要從數(shù)學學科出發(fā)，又要回到數(shù)學學科本身。發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程是數(shù)學學科特征的高度凝練，無論在數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學建模中，還是在數(shù)學實驗、數(shù)學實踐的教學中，教師都要讓學生經(jīng)歷形象化、直觀化、類比化、具象化等基本活動，最終完善思維結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)體系。

主題探究通過“數(shù)學化過程”驅(qū)動本質(zhì)理解：一方面，將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學對象（如將城市導航轉(zhuǎn)化為曼哈頓距離模型）；另一方面，通過模型反演驗證數(shù)學理論的解釋，在雙向建構(gòu)中形成“現(xiàn)實一數(shù)學一現(xiàn)實”的認知閉環(huán)。主題探究活動中，結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)至關(guān)重要。教師要引導學生歸納統(tǒng)整所學知識，并將其條理化、綱領(lǐng)化，通過結(jié)構(gòu)化思維，將所學知識按照某種邏輯順序組織到一起，使之形成一個聯(lián)系緊密的知識群體，構(gòu)成結(jié)點豐富的知識網(wǎng)絡(luò)[4]。

課堂實踐中，教師可通過反思性元認知框架固化本質(zhì)理解成果。教師要把握學科脈絡(luò)和知識結(jié)構(gòu)，審視思維關(guān)鍵和課堂教學行為得失，回顧、梳理和反思，最終形成一般化的研究方法和認識方法（如圖2），使學生能夠穿透具體案例的表象，洞見數(shù)學本質(zhì)的普遍性規(guī)律，進而理解數(shù)學抽象的條件性與創(chuàng)造性。這種從經(jīng)驗操作到形式化表達再到批判重構(gòu)的認知升維，正是數(shù)學深度學習實現(xiàn)“知識一素養(yǎng)一智慧”三級躍遷的核心機制。

綜上所述，數(shù)學主題探究遵循“明晰主題—思維躍遷一本質(zhì)理解”的認知路徑，推動學科核心素養(yǎng)培育方式從傳統(tǒng)到創(chuàng)新的轉(zhuǎn)變，促使學生在知識、能力、素養(yǎng)方面獲得良好發(fā)展，值得我們?nèi)嵺`和探索。

參考文獻：

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[3]鐘志華，王曉東.中學數(shù)學教學設(shè)計[M].北京：化學工業(yè)出版社，2024：33.

[4]侯寶坤.數(shù)學學習內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的教學認知[J].中國數(shù)學教育，2024（1）：17-22.

責任編輯：殷偉