解析幾何中關(guān)于三角形“四心”問題探究

三角形的“四心\"是指三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心.解析幾何中時(shí)常出現(xiàn)有關(guān)“四心”的問題，這也體現(xiàn)了平面幾何與解析幾何密切相關(guān).解決此類問題不但需要熟練掌握解析幾何問題的求解策略，還需要注重三角形“四心\"的特點(diǎn)與應(yīng)用.本文通過典型例題的分析點(diǎn)評，介紹“四心”問題的解題思路和技巧.

1關(guān)于三角形重心問題

重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，重心到三角形頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍.求解三角形重心問題常用到重心的坐標(biāo)表示.

例1已知 M 是拋物線 上一動點(diǎn)，過點(diǎn) M 作拋物線 的切線 ，切點(diǎn)分別是 P ， Q ，若 Δ M P Q 的重心坐標(biāo)為（3，4)，求拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo).

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設(shè) .由于切點(diǎn) P ， Q 在解析

拋物線 上，則切線的斜率分別為 所以切線 的方程為 2χ1(x-x1），即y= 同理可得 的方程為 ，聯(lián)立 和 方程，解得 又 x1+x2=3×3， ，解得 ，則 M ( 3 ， - 3 ) ，代入拋物線 a x ，可得 a = 3 ，則拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

例2在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，已知拋物線 上存在兩動點(diǎn) A ， B （異于原點(diǎn) o )滿足 A O ⊥ O B ，求 Δ A O B 的重心 M 的軌跡方程.

設(shè) 根據(jù)重心的坐標(biāo)公式有 ， .由于 ，則

又 A ， B 在拋物線 上，所以 ，代入式 ① 得 (舍)或-1，則 （204號所以△AOB 的重心M的軌跡方程為y=3.x2+.

2關(guān)于三角形垂心問題

垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)，求解三角形垂心問題時(shí)常用到高線與對邊互相垂直這一性質(zhì).

例3在△ABC中， B ( - 3 ， 0 ) ， C ( 3 ， 0 ) ， D 為線段 B C 上一點(diǎn)， H 是 Δ A B C 的垂心，且 求點(diǎn) H 的軌跡方程.

設(shè) 因?yàn)? 所以點(diǎn) H 在 A D 上.又 H 是 Δ A B C 的垂心，所以 A D ⊥ B C ，則 .由 ，可得 且 ，則 A ( x ， 4 y ) .易知 ，且 ( 3 - x ， - 4 y ) ！ .根據(jù) H 是 Δ A B C 的垂心可知 ，所以垂心 H 的軌跡方程為

一例4設(shè)雙曲線 的左頂點(diǎn)為 A ，斜率為2的直線 與 C 相交于 M ， N 兩點(diǎn)，證明：Δ A M N 的垂心在 C 上.

證明設(shè)直線 的方程為 （204號 ，將直線 的方程與雙曲線方程聯(lián)立， 消去 y 得 由題意可知 Δ > 0 ， 則 或 ，所以 （20 知 A ( - 4 ， 0 ) ，過 A 作 M N 的垂線交 雙曲線 C 于另一點(diǎn) H ， A H 的方程為 代人方程 ，得 ，解得 x = -4（舍）或 ，則點(diǎn) .因?yàn)?

則 M H ⊥ A N ，故△AMN的垂心在 C 上.

3關(guān)于三角形內(nèi)心問題

內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心，求解三角形內(nèi)心問題時(shí)常用到內(nèi)心到三角形各邊的距離相等及其角平分線的性質(zhì).

一例5已知雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A ( 1 ， 0 ) ，點(diǎn) P ， Q 在雙曲線 C 的右支上，若△APQ的內(nèi)心為 ，且點(diǎn) M 到直線 A P 的距離為1，求雙曲線 c 的方程.

設(shè)雙曲線C的方程為x22 ，易得 .因?yàn)?M 為 Δ A P Q 的內(nèi)心且點(diǎn) M 到直線 A P 的距離為1，所以 ，點(diǎn) M 到直線A Q ， P Q 的距離都為1.

不妨設(shè)點(diǎn) P 在第一象限，則 ，直線 A P 的方程為 的方程為 .聯(lián)立直線A P 與直線 P Q 的方程解得 ，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代人x2-2 ，得 ，則雙曲線C 的方程為

例6 已知定點(diǎn) 在橢圓 c 上，一條斜率為 的直線 l 與橢圓 C 交于 A ， B 兩點(diǎn)，試判斷△PAB的內(nèi)心是否在定直線 x = 1 上.

設(shè)直線 l 的方程為 ，則 由 得 .因?yàn)?∣ Δ > 0 ，所以 ，（20 因?yàn)?/p>

所以直線 x = 1 平分 ∠ A P B ，即 Δ P A B 的內(nèi)心在定直線 x = 1 上.

4關(guān)于三角形外心問題

外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心.在解題的過程中常用到外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等這一性質(zhì).

例7已知拋物線 （ )與過點(diǎn)Q ( 2 p ， 0 ) 的直線交于 A ， B 兩點(diǎn)，設(shè)線段 A B 的中點(diǎn)為 H ，證明： H 為 Δ A O B ( O 為原點(diǎn))的外心.

證明由題意可知直線 A B 不與 x 軸平行.設(shè) ，直線 A B 的方程為 x = k y + 2 p ，與拋物線 聯(lián)立消去 x 得 因?yàn)?Δ > 0 ，所以 且 ，則 ， （2p）2=4p2，故OA·OB=x1x2+y1y2=0，即 O A ⊥ O B ，即 Δ A O B 為直角三角形，且 H 是Δ A O B 的斜邊 A B 的中點(diǎn)，所以 H 為 Δ A O B 的外心.

例8過點(diǎn) P ( - 1 ， 2 ) 作拋物線 的兩 條切線分別交 y 軸于 M ， N 兩點(diǎn)，試求 Δ P M N 的外 接圓的方程.

設(shè)過點(diǎn) 的切線方程為 x + 1 = t ( y - 2 ) ，將其與拋物線方程聯(lián)立消去 x 整理得 由 .解得 ，則兩切線方程分別為 和 ，與y 軸的交點(diǎn)分別為

又△PMN的外心 Q 在線段 M N 的垂直平分線y = 1 上，設(shè) Q ( α ， 1 ) ，則 ∣ Q M ∣ = ∣ Q P ∣ ，即 ，解得 ，所以 ，且 ，故△PMN的外接圓的方程為

（完）