“抓住”角平分線實(shí)質(zhì) 快速求解三角形問(wèn)題

在解三角形問(wèn)題中，如果已知三角形中的一個(gè)內(nèi)角的平分線或能夠推出某內(nèi)角的平分線，則應(yīng)充分挖掘其他條件與此條件的內(nèi)在關(guān)系，并“抓住\"其特點(diǎn)建立相關(guān)等式求解問(wèn)題.本文結(jié)合典型例題介紹解三角形問(wèn)題的常用解題技巧，

1“抓住”兩個(gè)角相等

例1在 Δ A B C 中，內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別是 ，若 Δ A B C 的三條角平分線相交于點(diǎn) O ，且 的面積為 （204號(hào) ，求 0 因?yàn)? ，且點(diǎn) O 是 Δ A B C 的內(nèi)心，解析所以 （20 又 ，所以

O A × O B = 1 5 .

在 中，由余弦定理得

聯(lián)立 ① 和 ② ，解得 不妨設(shè) O A = 3 ， O B = 5 . 在 中，由余弦定理得 cos ∠ O A B = 則 又 O A 為∠ B A C 的平分線，所以sin 則 ，故

1

通過(guò)“抓住”內(nèi)角平分線的性質(zhì)，挖掘出內(nèi)心角的大小，再在 和 中運(yùn)用余弦定理和正弦定理分別建立等式求三角函數(shù)值，從而達(dá)到解題目的.

例2如圖1所示，在Δ A B C 中， ∠ A C B 的平分線CM與邊AB交于點(diǎn) M ，且A M = C M = 1

（1）若 ，求S△ABC;

（2）求 的最小值.

（1）在 Δ A M C 中，因?yàn)?A M = C M = 1 ， A =

，所以 A

又 C M 是 ∠ A C B 的平分線，所以 ， 在 R tΔ C B M 中， C M = 1 ，所以 則

（2）設(shè) A = θ ，則 ∠ B C M = ∠ A C M = θ ，故 ∠ C M B = 2 θ ， B = π - 3 θ ，所以 解得 .在

Δ C M B 中，由正弦定理得

則

當(dāng)且僅當(dāng) ，即cos 20=√2-1時(shí)，等號(hào)成立.

綜上， 的最小值為

求解本題時(shí)“抓住”角平分線及等腰三角形的特點(diǎn)，在 Δ M B C 中挖掘出單角、復(fù)角等關(guān)系，從而用 θ 表示出 ∠ B C M ， ∠ C M B ， B ，為順利建立關(guān)于 θ 的函數(shù)式奠定基礎(chǔ).

2 “抓住”平分角的兩個(gè)三角形面積關(guān)系

例3 在△ABC中， A B = 1 A C = 4 ， ∠ B A C = 為 ∠ B A C 的平分線，交邊 B C 于點(diǎn) E ，求Δ A B E 的面積.

在△ABC中，因?yàn)? 3，AE為∠ B A C 的平分線，所以 6則 ，即

將條件代人易得 ，故

解題時(shí)“抓住”了 A E 是一個(gè)已知角的平分線，用拆分三角形面積的方法建立等式，求出角平分線的長(zhǎng)，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例4在△ABC中，角 所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知 且 A ≠ B ：

（1）求角 c 的大??；

（2）若 ∠ A C B 的平分線交 于 D ，且 C D = ，求 a + 2 b 的最小值.

（1）因?yàn)? ，所以

故

又 0 lt; A lt; π ， 0 lt; B lt; π ，且 A ≠ B ，所以

則 或 π ，解得 A +

（舍）或 即 1

（2）因?yàn)?∠ A C B 的平分線交 A B 于 D ，所以 又 ，所以 sin ，化簡(jiǎn)整理得 ，則

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，故 a + 2 b 的最小值為

求解時(shí)利用角平分線的條件建立關(guān)于 a ， b 的關(guān)系式，為后續(xù)運(yùn)用均值不等式解決最小值問(wèn)題創(chuàng)造條件.

3運(yùn)用角平分線定理

例5如圖2所示，在△ABC中，已知 ∠ B A C 的平分線交邊BC于點(diǎn) D 若 A B = 2 .A C = 1 ，求 A D ：

在△ABC中，由余弦定理得 A C × cos ∠ B A C = 7

所以 .因?yàn)?A D 是 ∠ B A C 的平分線，由角平分線定理得 所以 又 ∠ B D A + ∠ C D A = π ，所以

c o s∠ B D A = - c o s∠ C D A .

在 Δ A B D 和 Δ A D C 中，由余弦定理得

代人式 ① ，解得 負(fù)值舍）.

本解法運(yùn)用了角平分線定理求解相關(guān)線段的長(zhǎng)，有利于后續(xù)利用 ∠ B D A + ∠ C D A = π 的關(guān)系建立了關(guān)于 A D 的方程，進(jìn)而求出 A D 的長(zhǎng).（完）