談圖示法在概率學(xué)習(xí)中的工具性作用

本文針對人教A版高中數(shù)學(xué)教材中概率部分的內(nèi)容展開深人探究，以樹狀圖、表格和Venn圖三種圖示法為工具，系統(tǒng)梳理并提煉出應(yīng)對三類典型概率問題的策略.

1概率學(xué)習(xí)在教材中的地位和價值

概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，被編排在必修第二冊和選擇性必修第三冊.在概率的學(xué)習(xí)過程中，教材必修第二冊將樹狀圖、表格、Venn圖等圖示法作為工具穿插其中，使學(xué)生能很好地理解樣本點、隨機(jī)事件、樣本空間、互斥事件、獨立事件等概念.教材對古典概型進(jìn)行研究和計算、對概率的性質(zhì)進(jìn)行探究，使學(xué)生掌握了概率語言，體會概率的意義和統(tǒng)計思想.

教材選擇性必修第三冊中研究條件概率和全概率等知識時，進(jìn)一步采用Venn圖和樹狀圖幫助學(xué)生理解條件概率、全概率等核心概念的本質(zhì).圖示法是學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識和分析概率問題的有效工具.圖示法能有效幫助學(xué)生對數(shù)據(jù)分析和整理，是剖析概率事件的屬性、弄清概率模型的最佳方法.

將概率學(xué)習(xí)中圖示法的“形”與概率模型的數(shù)據(jù)分析有機(jī)結(jié)合起來，理解“用概率的語言符號表達(dá)對象，用概率的知識分析問題，用函數(shù)與數(shù)列的其他知識解決問題\"的本質(zhì)，將收獲事半功倍的效果.

2 圖示法在教材中的呈現(xiàn)

人教版A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊第228頁例4，用樹狀圖展示了電路“正?！焙汀笆"試驗的所有可能結(jié)果，展示了研究概率對象的數(shù)字化和符號化的表示，有助于學(xué)生理解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念；第230頁在“事件的關(guān)系和運算”這一節(jié)中，利用集合的知識和五張Venn圖解釋了和事件、積事件、互斥事件與對立事件；第237頁例9題用表格法列出從袋子中摸出2個球的樣本點，有助于學(xué)生理解隨機(jī)事件的構(gòu)成，掌握古典概型的本質(zhì)思想.下面筆者總結(jié)三種圖示法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

3圖示法在概率問題中工具性作用的展示

3.1 研究重復(fù)性概率試驗?zāi)Ｐ鸵粯錉顖D法

一例1（人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第91頁第10題）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，求 n 次傳球后球在甲手中的概率.

分析題中是三人相互傳球，可以通過樹狀圖（如圖1）來分析前幾次傳球存在的規(guī)律，再用歸納法將特殊情形推廣到一般情形，最后用數(shù)列中的構(gòu)造法求出通項公式，即為 n 次傳球后球在甲手中的概率.

解記 表示事件“經(jīng)過 n 次傳球后球在甲手中”，設(shè) n 次傳球后球在甲手中的概率 p"n"，則 0，且

由全概率公式可知

即得到一個遞推數(shù)列公式

由于 則數(shù)列 是以 為首項、 為公比的等比

數(shù)列，所以

故

即 n 次傳球后球在甲手中的概率是

此類概率問題第 次傳球與前 n - 1 次有關(guān)，解題的關(guān)鍵是通過樹狀圖提煉出遞推公式，將原問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項公式問題.解析中涉及的遞推關(guān)系為一階遞推關(guān)系，有時學(xué)生還可能遇到二階遞推或三階遞推關(guān)系的概率問題.

例2“布朗運動”是指微小顆粒永不停息地?zé)o規(guī)則隨機(jī)運動，在如圖2所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個到達(dá)相鄰倉或容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束.已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子從1號倉到達(dá)容器外的概率為

分析題中有三個倉，可以用 表示粒子第 n 次時，分別在1號倉、2號倉、3號倉的概率，通過樹狀圖（如圖3）找出遞推關(guān)系.

解1號倉和2號倉有三個通道出口，通過每個通道口的概率均為 ，3號倉有兩個通道口，通過每個通道口的概率均為 用 表示粒子第 n 次時，分別在1號倉、2號倉、3號倉時的概率.

由全概率知識可以列出三維遞推關(guān)系

由 ③ 可得 ，將其代人式 ② 消去 可得

由 ① 可得 ，將其代入式 ④ 可得

化簡可得 18a且ao=1，a=0，a2 ，則 是偶數(shù)項成等比數(shù)列，奇數(shù)項都是0的數(shù)列，故 是偶數(shù)）.

粒子從1號倉出發(fā)，只有經(jīng)過偶數(shù)次運動后才可能回到1號倉，則

其中 n 為偶數(shù)，整理得

3.2研究復(fù)雜性概率樣本點的規(guī)律 一表格法

例3（2024年新課標(biāo)I卷14）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選擇一張，并比較所選的卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片上的數(shù)字在此后輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總分不小于2分的概率為

分析四輪比賽后，甲可能得0分、1分、2分、3分，故甲的總分不小于2分的對立事件為甲的總分為

0分或1分.本題雖然是復(fù)雜事件的概率，但是用表格法列出甲的對立事件得分情況，問題就能變得簡單易操作.

解甲、乙出卡片共有 種可能，四輪結(jié)束后甲的總分為0分的情況如表1所示，甲的總分為1分的情況如表 2～4 所示，故四輪結(jié)束后甲得0分或1分有 12 種情況，概率為 ，則四輪結(jié)束后甲的得分不小于2的概率為

3.3研究復(fù)雜事件的相互關(guān)系——Venn圖法

例4 （多選題）設(shè) A ， B 是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且 則（ ）.

A.

B.

C.

D.

分析本題考查概率的基本性質(zhì)、條件概率，先畫出Venn圖，再通過計算可探究出事件 A ， B 是互斥事件還是獨立事件.

解畫出Venn圖（如圖4），事件 A ， B 是樣本空間的兩個子集，則

解得 從而 A 與 B 的積事件的概率 故A錯誤.

因為

所以 A 與 B 既不是獨立事件，也不是互斥事件.因為 ，所以B正確.

由條件概率可知

故C正確.

因為

所以D錯誤.

綜上，選BC.

在處理概率問題時，采用圖示法對問題情境抽絲剝繭，有利于挖掘概率情境背后隱含的數(shù)據(jù)規(guī)律，弄清事件的相互關(guān)系，進(jìn)而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題用概率的模型和知識分析和解決問題，是學(xué)好概率知識的法寶.因此，學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)不斷培養(yǎng)這種用圖形語言解決概率問題的能力，領(lǐng)悟概率模型的內(nèi)涵和外延.

（完）