賞析與數(shù)字2025有關(guān)的數(shù)學(xué)題

數(shù)學(xué)題的命制離不開(kāi)數(shù)字，將當(dāng)年的年份巧妙編進(jìn)高考試題不但能使數(shù)學(xué)題產(chǎn)生年代感，而且也增添幾分趣味.時(shí)值2025年，與數(shù)字2025有關(guān)的數(shù)學(xué)新題應(yīng)運(yùn)而生，本文分類列舉幾道例題，與大家共賞.

1抽象函數(shù)的函數(shù)值問(wèn)題

例1 已知定義在 上的函數(shù) f （ x ） 滿足 且對(duì)任意的 x ， y ∈ R， f （ x + y ） = f （ x ） f （ 1 - y ） + f （ y ） f （ 1 - x ） ，則

O ，得 解析

令 x = y = 0 ，得 f （ 0 ） = f （ 0 ） f （ 1 ） + f （ 0 ） f （ 1 ） ，則 f （ 0 ） = 0 . 令 y = 1 ，得 f （ x + 1 ） = f （ 1 - .令 y = - x ，得

f （ 0 ） = f （ x ） f （ 1 + x ） + f （ - x ） f （ 1 - x ） .

因?yàn)閷?duì)任意的 x ∈ R， f （ x + 1 ） = f （ 1 - x ） 恒成立，且不恒為0，所以 f （ x ） + f （ - x ） = 0 ，故 f （ x ） 為奇函數(shù).

由 f （ x + 1 ） = f （ 1 - x ） ，可得

f （ x + 2 ） = f （ - x ） = - f （ x ） ， f （ x + 4 ） = - f （ x + 2 ） = f （ x ） ，

所以4為 f （ x ） 的周期，故

求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)條件，通過(guò)賦值法得到 f （ x + 1 ） = f （ 1 - x ） ， f （ - x ） = - f （ x ） ，再利用函數(shù)的性質(zhì)得到 f （ x ） 的周期為4.

2 冪的大小比較問(wèn)題

例2 已知 ， ， c = ，則（ ）.

A. a gt; c gt; b B.

C. a gt; b gt; c D. c gt; a gt; b

，對(duì) f （ x ） 求導(dǎo)可得f＇ （ x ） = 1 +" 1／"x -ln x／{ （ x + 1 ）"2 ".令h（ x） = 1 +" 1／"x"-ln x （ x gt;"" ），則 在 上單調(diào)遞減，所以 ，即 0，函數(shù) f （ x ） 在 上單調(diào)遞減，則 ，即 又 b gt; 1 ，所以 ，則 ，故 a gt; b 令 ，則 .當(dāng) 時(shí)， 即 在 ）上單調(diào)遞減，則 ，即 ，又c gt; 1 ，所以 l n c gt; 0 ，則 ，故 b gt; c ：

綜上， a gt; b gt; c ，故選C.

求解本題時(shí)，通過(guò)取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解題是關(guān)鍵.

3 數(shù)列問(wèn)題

例3已知數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 ，滿足 ，且 ，則 ：

A. （204號(hào) （204號(hào) C. （204號(hào) D.

由 ，可得 因解析為 ，所以 ，則數(shù)列 是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，所以 ，則 ，所以

故選C.

點(diǎn)本題將已知等式兩邊同時(shí)除以 ，可得 是等差數(shù)列，從而得到 的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出 ，由 即可得解.

4函數(shù)不等式問(wèn)題

例4不等式 的解集為

因?yàn)楹瘮?shù) 在（ 0 ， + ∞ ）上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以 y =

在 （ 0 ， + ∞ ） 上嚴(yán)格單調(diào)遞增.當(dāng)x = 1 時(shí)， ，所以不等式 的解集為 （ 1 ， + ∞ ） ：

求解本題的關(guān)鍵是將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不的解集.

5 二項(xiàng)式問(wèn)題

（多選題）已知 ，則下列結(jié)論成立的是（ ）.

A. B. 5×102024 C. （20 D.

令 x = 3 ，得 ，故A正

確.令 x - 2 = t ，則原等式變形為

（ 2 t - 1 ）2 0 2 5 "= a"0"+ a 1"t + a" 2"t"2"+ …"+ a 2 0 2 5} t 2 0 2 5"： ①由二項(xiàng)式定理得 .令

得 0 = a0 "+" a"1／ 2"+a"2／2 2 +…"+" a"2 0 2 4／ 2 "2 0 2 4 + a "2"0 2 5 ／2 2025，等式邊同時(shí)乘2 2024得

則

，故B錯(cuò)誤. 令 x = 1 ，得

（204號(hào) ，則 ，故C錯(cuò)誤.

對(duì) ① 兩邊同時(shí)求導(dǎo)得 .令 t = 1 ，得 ，故D正確.

綜上，選AD.

應(yīng)用賦值法及換元法即可判斷各選項(xiàng)是否正確.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和求指定項(xiàng)的系數(shù).

6 復(fù)數(shù)問(wèn)題

例6 已知復(fù)數(shù)滿足 且 則 ：

設(shè) z = a + b i（ a ， b ∈ R） ，則 .由 ，得 由 ，得 （204號(hào)聯(lián)立 解得 或

故 或 i.當(dāng) z = - 1 +

，即 時(shí)，有 同理可得 ，所以

z "2 0 2 5} = （ - 1±根號(hào)下 3 i"） 2 0 2 5"= [ 2×（ -1／ 2±根號(hào)下 3／"2 i） ] "2 0 2 5 "=2" 2 0 2 5×[ （ -1 ／"2±根號(hào)下3／"2i "）"3"]6 7 5"= 2 "2"0 2 5"，

故選D.

點(diǎn)設(shè) z = a + b i（ a ， b ∈ R） ，根據(jù)題意求得 z = 評(píng) 或 ，則可得 ，據(jù) 此可求得 的值.

（完）