立體幾何考題分析及備考建議

2024年新課標(biāo)I卷與新課標(biāo)Ⅱ卷在立體幾何方面的命題風(fēng)格仍保持穩(wěn)定，其核心考點(diǎn)是幾何體表面積與體積、線(xiàn)面關(guān)系、線(xiàn)面角與二面角等，試題均以學(xué)生熟悉的棱錐、棱臺(tái)、圓柱等圖形為背景，難度整體分布在高、中、低檔各個(gè)區(qū)間，既能考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、空間思維等核心素養(yǎng)，又有一定的區(qū)分度.本文對(duì)試題進(jìn)行分析，并提出幾點(diǎn)備考建議，

1命題導(dǎo)向與試題評(píng)析

1.1立足教材，考查基礎(chǔ)知識(shí)

隨著高考的不斷改革，高考試題與教材的聯(lián)系愈發(fā)緊密，以強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性.2024年新課標(biāo)I卷與新課標(biāo)Ⅱ卷多數(shù)立體幾何問(wèn)題以教材例題、習(xí)題為基礎(chǔ)，通過(guò)改造、變形，最終形成高考題，這提醒學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時(shí)要重視回歸教材.

例1 （2024年新課標(biāo)I卷5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為 ，則圓錐的體積為（ ）.

Ａ.2根號(hào)下 3π B .3 根號(hào)下3 π C . "6根號(hào)下3 π D ."9根號(hào)下3 π

設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為 r ，則圓錐的母 線(xiàn)長(zhǎng)為 .因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面積相等，所以 ，即 ，解得r = 3 ，所以圓錐的體積為 ，故選B.

例2（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷17）如圖1所示，平面四邊形ABCD 中， A B = 8 ， ， ， ， ∠ B A D = ，點(diǎn) E ， F 滿(mǎn)足 ， 將Δ A E F 沿 E F 翻折至 P E F ，使得 ·

（1）證明： E F ⊥ P D ：

（2）求平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角的正 弦值.

0 （1）由題意可知 解析 .在△AEF中，由余弦定理得

則 E F = 2 ，故 ， A E ⊥ E F ，所以D E ⊥ E F ·

由折疊的性質(zhì)知 P E ⊥ E F .因?yàn)?P E ∩ D E = E ，P E ? 平面 P D E ， D E = 平面 P D E ，所以 E F 工平面PDE.又 P D 平面 P D E ，所以 E F ⊥ P D

（2）連接 C E ，因?yàn)? ！ C D = ，所以 又 P E = ，所以 ，故 P E ⊥ C E . 又P E ⊥ E F ， E F ∩ C E = E ， E F ? 平面 D E F ， C E C平面

D E F ，所以 P E ⊥ 平面D E F .又 平面D E F ，所以 P E ⊥ E D ，故E F ， E D ， E P 兩兩垂直.分別以 E F ， E D ， E P 為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

易得 ，所以

設(shè)平面 P C D 的一個(gè)法向量為 ，則

取 ，得 ，所以

設(shè)平面 P B F （即平面 P A F ）的一個(gè)法向量為 ，則

取 ，則 ，所以 1）.設(shè)平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角為 α ，則 所以si

綜上，平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角的正弦值為

本題以平面四邊形翻轉(zhuǎn)為背景，以線(xiàn)的位置關(guān)系、二面角設(shè)問(wèn)，考查學(xué)生對(duì)翻折的性質(zhì)、勾股定理、余弦定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.當(dāng)立體幾何題以解答題的形式出現(xiàn)時(shí)，往往考查知識(shí)的綜合應(yīng)用，設(shè)問(wèn)方式常為位置關(guān)系、二面角問(wèn)題.

1.2 考查思維能力

近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)真題不再停留在對(duì)知識(shí)的機(jī)械考查，更加看重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的考查.因此，高考中常出現(xiàn)一些“高等思維、少量計(jì)算”的問(wèn)題，這就需要學(xué)生多思考，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

例3 （2024年新課標(biāo)Ⅱ卷7）已知正三棱臺(tái) 的體積為 ，則 與平面 A B C 所成角的正切值為（ ）.

A. B. 1 C.2 D.3

由題意得

設(shè)正三棱臺(tái) 的高為 h .由臺(tái)體的體積公式可得

則

如圖3所示，分別取上、下底面的中心 ，連接 ，已知 上底面ABC.過(guò)點(diǎn) 作底面的垂線(xiàn)，垂足為 M ，易知 ，則

由正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可得 ，所以tar ，故選B.

本題以三棱臺(tái)為背景，求解線(xiàn)面角問(wèn)題，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力、計(jì)算能力.解題時(shí)首先要構(gòu)建準(zhǔn)確的空間模型，繪制符合題意的圖像，而后分析其中存在的數(shù)量關(guān)系，此過(guò)程往往需要借助輔助線(xiàn).

2復(fù)習(xí)備考策略

2.1立足教材，打牢基礎(chǔ)

對(duì)高考真題進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，試題對(duì)書(shū)本知識(shí)的考查愈發(fā)頻繁，立足于基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).棱臺(tái)的體積問(wèn)題、圓錐類(lèi)問(wèn)題等在教材必修課程中均有所涉及.因此，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)立足教材、回歸教材、吃透教材，熟練掌握教材的例題與習(xí)題

2.2 開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

高考是對(duì)相關(guān)知識(shí)的綜合考查，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)重視知識(shí)的整體框架與相互聯(lián)系，以此加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，提升解題效率.尤其在解答題中，其所設(shè)置的問(wèn)題較為統(tǒng)一，如位置關(guān)系、二面角等，但涉及勾股定理、正（余）弦定理、位置關(guān)系的判斷、二面角性質(zhì)等諸多知識(shí).因此，學(xué)生可以通過(guò)專(zhuān)題訓(xùn)練，在提升解題效率的同時(shí)，促進(jìn)知識(shí)體系的構(gòu)建，

2.3培養(yǎng)學(xué)生思維素養(yǎng)

近年來(lái)，高考對(duì)學(xué)生各類(lèi)素養(yǎng)的考查愈發(fā)突出.求解立體幾何問(wèn)題，需要學(xué)生擁有較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯推理能力.此外，解題中常用到的割補(bǔ)法、垂面法等，同樣需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力.

（完）