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    立體幾何考題分析及備考建議

    2025-06-16 00:00:00宋明花
    高中數(shù)理化 2025年10期
    關(guān)鍵詞:新課標(biāo)解題教材

    2024年新課標(biāo)I卷與新課標(biāo)Ⅱ卷在立體幾何方面的命題風(fēng)格仍保持穩(wěn)定,其核心考點(diǎn)是幾何體表面積與體積、線(xiàn)面關(guān)系、線(xiàn)面角與二面角等,試題均以學(xué)生熟悉的棱錐、棱臺(tái)、圓柱等圖形為背景,難度整體分布在高、中、低檔各個(gè)區(qū)間,既能考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、空間思維等核心素養(yǎng),又有一定的區(qū)分度.本文對(duì)試題進(jìn)行分析,并提出幾點(diǎn)備考建議,

    1命題導(dǎo)向與試題評(píng)析

    1.1立足教材,考查基礎(chǔ)知識(shí)

    隨著高考的不斷改革,高考試題與教材的聯(lián)系愈發(fā)緊密,以強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性.2024年新課標(biāo)I卷與新課標(biāo)Ⅱ卷多數(shù)立體幾何問(wèn)題以教材例題、習(xí)題為基礎(chǔ),通過(guò)改造、變形,最終形成高考題,這提醒學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時(shí)要重視回歸教材.

    例1 (2024年新課標(biāo)I卷5)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等,且它們的高均為 ,則圓錐的體積為( ).

    A.2根號(hào)下 3π B .3 根號(hào)下3 π C . "6根號(hào)下3 π D ."9根號(hào)下3 π

    設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為 r ,則圓錐的母 線(xiàn)長(zhǎng)為 .因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面積相等,所以 ,即 ,解得r = 3 ,所以圓錐的體積為 ,故選B.

    例2(2024年新課標(biāo)Ⅱ卷17)如圖1所示,平面四邊形ABCD 中, A B = 8 , , , , ∠ B A D = ,點(diǎn) E , F 滿(mǎn)足 , 將Δ A E F 沿 E F 翻折至 P E F ,使得 ·

    圖1

    (1)證明: E F ⊥ P D :

    (2)求平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角的正 弦值.

    0 (1)由題意可知 解析 .在△AEF中,由余弦定理得

    則 E F = 2 ,故 , A E ⊥ E F ,所以D E ⊥ E F ·

    由折疊的性質(zhì)知 P E ⊥ E F .因?yàn)?P E ∩ D E = E ,P E ? 平面 P D E , D E = 平面 P D E ,所以 E F 工平面PDE.又 P D 平面 P D E ,所以 E F ⊥ P D

    (2)連接 C E ,因?yàn)? ! C D = ,所以 又 P E = ,所以 ,故 P E ⊥ C E . 又P E ⊥ E F , E F ∩ C E = E , E F ? 平面 D E F , C E C平面

    D E F ,所以 P E ⊥ 平面D E F .又 平面D E F ,所以 P E ⊥ E D ,故E F , E D , E P 兩兩垂直.分別以 E F , E D , E P 為 x 軸、 y 軸、 z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖2所示.

    圖2

    易得 ,所以

    設(shè)平面 P C D 的一個(gè)法向量為 ,則

    ,得 ,所以

    設(shè)平面 P B F (即平面 P A F )的一個(gè)法向量為 ,則

    ,則 ,所以 1).設(shè)平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角為 α ,則 所以si

    綜上,平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角的正弦值為

    本題以平面四邊形翻轉(zhuǎn)為背景,以線(xiàn)的位置關(guān)系、二面角設(shè)問(wèn),考查學(xué)生對(duì)翻折的性質(zhì)、勾股定理、余弦定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.當(dāng)立體幾何題以解答題的形式出現(xiàn)時(shí),往往考查知識(shí)的綜合應(yīng)用,設(shè)問(wèn)方式常為位置關(guān)系、二面角問(wèn)題.

    1.2 考查思維能力

    近年來(lái),高考數(shù)學(xué)真題不再停留在對(duì)知識(shí)的機(jī)械考查,更加看重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的考查.因此,高考中常出現(xiàn)一些“高等思維、少量計(jì)算”的問(wèn)題,這就需要學(xué)生多思考,綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

    例3 (2024年新課標(biāo)Ⅱ卷7)已知正三棱臺(tái) 的體積為 ,則 與平面 A B C 所成角的正切值為( ).

    A. B. 1 C.2 D.3

    由題意得

    設(shè)正三棱臺(tái) 的高為 h .由臺(tái)體的體積公式可得

    如圖3所示,分別取上、下底面的中心 ,連接 ,已知 上底面ABC.過(guò)點(diǎn) 作底面的垂線(xiàn),垂足為 M ,易知 ,則

    由正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可得 ,所以tar ,故選B.

    圖3

    本題以三棱臺(tái)為背景,求解線(xiàn)面角問(wèn)題,主要考查學(xué)生的邏輯推理能力、計(jì)算能力.解題時(shí)首先要構(gòu)建準(zhǔn)確的空間模型,繪制符合題意的圖像,而后分析其中存在的數(shù)量關(guān)系,此過(guò)程往往需要借助輔助線(xiàn).

    2復(fù)習(xí)備考策略

    2.1立足教材,打牢基礎(chǔ)

    對(duì)高考真題進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn),試題對(duì)書(shū)本知識(shí)的考查愈發(fā)頻繁,立足于基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).棱臺(tái)的體積問(wèn)題、圓錐類(lèi)問(wèn)題等在教材必修課程中均有所涉及.因此,學(xué)生在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)立足教材、回歸教材、吃透教材,熟練掌握教材的例題與習(xí)題

    2.2 開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

    高考是對(duì)相關(guān)知識(shí)的綜合考查,學(xué)生在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)重視知識(shí)的整體框架與相互聯(lián)系,以此加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解,提升解題效率.尤其在解答題中,其所設(shè)置的問(wèn)題較為統(tǒng)一,如位置關(guān)系、二面角等,但涉及勾股定理、正(余)弦定理、位置關(guān)系的判斷、二面角性質(zhì)等諸多知識(shí).因此,學(xué)生可以通過(guò)專(zhuān)題訓(xùn)練,在提升解題效率的同時(shí),促進(jìn)知識(shí)體系的構(gòu)建,

    2.3培養(yǎng)學(xué)生思維素養(yǎng)

    近年來(lái),高考對(duì)學(xué)生各類(lèi)素養(yǎng)的考查愈發(fā)突出.求解立體幾何問(wèn)題,需要學(xué)生擁有較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯推理能力.此外,解題中常用到的割補(bǔ)法、垂面法等,同樣需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力.

    (完)

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