2024年高考數(shù)學(xué)新課標I、Ⅱ卷圓錐曲線試題的變式訓(xùn)練研究

2024年新課標卷對解析幾何部分的考查突出基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有極好的檢測功能.本文深度分析2024年高考解析幾何部分試題，以期幫助學(xué)生看清試題考查的數(shù)學(xué)本質(zhì).

1注重探究方法，突出創(chuàng)新性考查

例1 （2024 年新課標I卷11，多選題）設(shè)計一條美麗的絲帶，其造型可以看作圖1中曲線 C 的一部分.已知 C 過坐標原點 O ，且 C 上的點滿足橫坐標大于一2，到點 F （ 2 ， 0 ） 的距離與到定直線 x = a （ a lt; 0 ） 的距離之積為4，則（ ）

A. a = - 2 （20B.點 在 C 上C. C 在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點 在 C 上時，

設(shè) 是 C 上一點， C 的方程為 ，把原點），0）代人 C 的方程，可得 a = - 2 ，故A正確.

由于曲線 C 的方程為 ∣ x + 2 ∣ = 4 ，且點 滿足 C 的方程，故B正確.

由 C 的方程可得 .取 x = ，可得 又 ，所以 ，故C錯誤.

因為 以 故D正確.

綜上，選ABD.

該題情境陌生，不是常規(guī)的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，而是新定義曲線，考查學(xué)生在陌生情境中分析問題、解決問題的能力，考查學(xué)生知識遷移的能力和創(chuàng)新意識.

變式1 （多選題）在平面直角坐標系中， O 為坐標原點，曲線 C 是過點 （ 0 ， - 3 ） ，且滿足到定點 F （ 0 ） ， 與到定直線 l ： y = a （ a gt; 0 ） 的距離之和為6的點的軌跡， P 是 C 上的點，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. a = 2

B.曲線 c 關(guān)于原點 O 成中心對稱

C.當點 在 C 上時，則一 D.

設(shè) P （ x ， y ） ，由題意可知 6，即 ，將點（0，代入方程，結(jié)合 可得 a = 2 ，所以A正確.

曲線 C 的方程為 當（204號 y ? 2 時， ，化簡得 y = .當 y lt; 2 時， ，化簡得 2-3（y∈[-3，2））.因此，曲線C 的圖像如圖2所示，所以B錯誤，C正確.

對于選項D，因為 ，當 2）時， ，所以 ，則 當 y ∈ [ 2 ， 3 ] 時， 所以 ，則 ，故D正確.

綜上，選ACD.

變式2 已知曲線 C ： 過原點，其中 a gt; 0 ，曲線C 的圖像如圖3所示，若 C 的焦點為 F （ 2 ， 0 ）

（1）求實數(shù)

（2）過焦點 F 作 C 的兩條互相垂直的直線 A B 和 （20 C D ，設(shè)直線 A B 的傾斜角為 α ，且

（i）證明： ：（ii）求四邊形ADBC面積 S 的最小值.

（1） a = 2 （求解過程略）.

（2）（i）設(shè)直線 A B 的方程為 y = k （ x - 2 ） ，

聯(lián)立方程 _x2（8-x2）消去y得

易知 Δ gt; 0 ，則 因為 ，所以（20號

則

（ii）由（i）得

同理可得 ，則

令 ，可得 ，所以sin α cos 則

當 時， 取得最大值 故

2重視回歸教材，突出基礎(chǔ)性考查

例2（2024年新課標 I 卷16）已知 A （ 0 ， 3 ） 和

為橢圓 C 上兩點.

（1）求 c 的離心率；（2）若過 P 的直線 交 C 于另一點 B ，且△ABP的面積為9，求 的方程.

（求解過程略）.

（2）易知橢圓 C 的方程為 ，直線 A P 的方程為 x + 2 y - 6 = 0 ，則

設(shè)點 B 到直線 A P 的距離為 d ，則 .設(shè) 過點 B 與 A P 平行的直線方程為 x + 2 y + C = 0 ，則 （20 解得 C = 6 或-18.

當 C = 6 時，聯(lián)立" {x2／ 1 2 + y 2／ 9"= 1"，x + 2 y + 6 = 0."解得 或 即 B （ 0 ， - 3 ） 或 .若 B （ 0 ， - 3 ） ，A則直線 的方程為 2x-3，即3x-2y-6=0.

若 ，則直線 的方程為 2x，即x - 2 y = 0 . （2

當 C = - 1 8 時，聯(lián)立 消去 x 得 ，則 - 2 0 7 lt; 0 ，此時該直線與橢圓無交點，舍去.

綜上，直線 l 的方程為 3 x - 2 y - 6 = 0 或 x - 2 y = 0

本題本質(zhì)上考查曲線上點到直線的距離的問題，來源于人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第115頁第15題.雖源于教材，但高于教材，突出高考復(fù)習備考回歸教材的良好導(dǎo)向.2024年新課標I卷對圓錐曲線的考查比往年的高考試題難度有所降低，題目位置調(diào)整到了第16題，有創(chuàng)新，反押題、反套路，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)要“改變相對固化的試題形式”

變式1已知橢圓 C 過點M （ 2 ， 3 ） ， A 為其左頂點，且 A M 的斜率為

（1）求 C 的方程；

（2）點 N 為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.

（求解過程略）.

（2）設(shè)與直線 A M 平行的直線方程為 x - 2 y = m如圖4所示，當直線與橢圓相切時（切點為 N ），此時Δ A M N 的面積取得最大值.聯(lián)立 可得 N

，

所以 ，即 ，解得 m = - 8 （舍）或8，則與直線 A M 平行的直線方程為 x - 2 y = 8 ，直線 A M 的方程為 x - 2 y = - 4 . 設(shè)點 N 到直線 A M 的距離（即兩平行線之間的距離）是d ，則 又 ，所以△AMN的面積的最大值為

變式2 已知橢圓 c ，四點 中恰有三點在橢圓 C 上

（1）求 C 的方程；

（2）設(shè)直線 不經(jīng)過點 且與 c 相交于 A ， B 兩點.若直線 與直線 的斜率的和為一1，證明：l 過定點.

（求解過程略）.

（2）設(shè)直線 與直線 的斜率分別為 ， ，當 的斜率不存在時，設(shè) l 的方程為 x = t .由題設(shè)可知 ，且 ∣ t ∣ lt; 2 ，則 ， . ，故

解得 t = 2 ，與 ∣ t ∣ lt; 2 矛盾，舍去.

當 的斜率存在時，設(shè) 的方程為 y = k x + m （200 .聯(lián)立 可得

由題設(shè)可知

設(shè) ，則 . ，故

由題設(shè)可知 ，故

即（2k- ，解得 k = 則 l 的方程為 ，即 y + 1 = ，故 過定點 （ 2 ， - 1 ）

3體現(xiàn)幾何直觀，突出綜合性考查

例3（2024年新課標 I 卷10，多選題）拋物線 的準線為 為 C 上的動點，過 P 作圓A （20號 的一條切線， Q 為切點，過 P 作 的垂線，垂足為 B ，則（ ）.

A. 與圓 A 相切

B.當 P ， A ， B 三點共線時，

C.當 時， P A ⊥ A B

D.滿足 的點 P 有且僅有2個

對于選項A，如圖5所示，顯然A正確.

對于選項B，當 P ， A ， B 三點共線時，點 P 的縱坐標 ，故 P （ 4 ， 4 ） ，且 ∣ P Q ∣ = ，故B正確.

對于選項C，當 ∣ P B ∣ = 2 時， ，則 ，故P （ 1 ， 2 ） 或 P （ 1 ， - 2 ）

當 P （ 1 ， 2 ） 時，由于 A （ 0 ， 4 ） ， B （ - 1 ， 2 ） ，故 ，不滿足

當 P （ 1 ， - 2 ） 時，由于 A （ 0 ， 4 ） ， B （ - 1 ， - 2 ） ，故 ，不滿足

因此， P A ⊥ A B 不成立，故C錯誤

對于選項D，由于 A （ 0 ， 4 ） ， F （ 1 ， 0 ） ，故 A F 的中點為 的中垂線的斜率為 ，則 A F 的中垂線方程為 ，與拋物線 聯(lián)立可得 又 ，所以A F 的中垂線與拋物線有兩個交點，即存在兩個點 P ，使得 ，故D正確.

綜上，選ABD.

本題以直線、圓、拋物線為載體，綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系、三點共線、垂直平分線的性質(zhì)等知識，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

變式1 （多選題）已知拋物線 0）的準線 l 與圓 相切， P 為 C 上的動點， N 是圓 M 上的動點，過 P 作 的垂線，垂足為 的焦點為 F ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.點 F 的坐標為 F （ 2 ， 0 ） B. ∣ P N ∣ + ∣ P Q ∣ 的最小值為 C.存在兩個點 P ，使得 ∣ P M ∣ = ∣ P Q ∣ D.若 Δ P F Q 為正三角形，則圓 M 與直線 P Q 相離

對于選項A，如圖6所示，因為 M 4，所以圓心 M （ 0 ， 8 ） ，半徑 r = 2 . 因為準線 與圓 M 相切，所以 r = 2 ，則 ? = 4 ，所以 F （ 2 ， 0 ） ，故A正確.

對于選項B，由 ，圖6可得 ∣ P N ∣ + ∣ P Q ∣ = ∣ P N ∣ + ∣ P F ∣ ，則 ∣ P N ∣ + ∣ P Q ∣ 的最小值為 ∣ F M ∣ - r = ，故B正確.

對于選項C，若 ，則 作 M F 的中垂線 ，根據(jù)題意可知 M （ 0 ， 8 ） ， F （ 2 ， 0 ） 設(shè) B 為 M F 的中點，則 B （ 1 ， 4 ） ，直線 斜率為 .根據(jù)點斜式可確定 的方程為 ，與拋物線 聯(lián)立得 ，則 ，所以存在兩個點 P ，使得 ，故C正確

對于選項D，設(shè)準線 l 與 x 軸交于點 A .因為Δ P F Q 為正三角形，所以 ，則 ∠ A Q F = ，且 ，故 .又圓 M 與 y 軸的交點為 （ 0 ， 6 ） ， （ 0 ， 1 0 ） ，且 ，所以圓M 與直線 P Q 相交，故D錯誤.

綜上，選ABC.

變式2 （多選題）已知拋物線 的焦點 F 與圓 ： 的圓心重合，若點 P Q 分別在 上運動，點 M （ 1 ， 1 ） ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. p= 4 B.當直線 P F 經(jīng)過 M 時， C.過 P 作圓 的切線，切點分別為 A ， B ，則當四邊形 P A F B 的面積最小時， D.設(shè) ，則 的最大值為 對于選項A，由題意可知 F （ 2 ， 0 ） ，所以 p= ，故A正確.

對于選項B，易知直線 P F 的方程為 y = - x + 2 聯(lián)立 可得 ，解得 ，所以 ，故B錯誤對于選項C，易知四邊形PAFB的面積為

設(shè) ，則 當 P 為原點時， ∣ P F ∣ 取得最小值2，四邊形PAFB的面積取得最小值 .由等面積法可知 ，所以 ，故C正確.

對于選項D，有 ，要使得 最大，則 ∠ M O Q 最小.過點 O 作圓 的切線（靠近 O M的切線），切點即為 Q ，如圖7所示.由 O Q ⊥ Q F ，可知 則 .若 ∠ M O Q 最小，則 cos .故D正確.

綜上，選ACD.

4錨定知識交會，突出應(yīng)用性考查

例4（2024年新課標 I 卷19）已知雙曲線 C ： ，點 在 c 上， k 為常數(shù)， 按照如下方式依次構(gòu)造點 過 作斜率為 k 的直線與 C 的左支交于點 令 為 關(guān)于 軸的對稱點，記 的坐標為（ x"n"，y n "）"：

（1）若 ，求 ：（2）證明： 是公比為 的等比數(shù)列；（3）設(shè) 為 的面積，證明：對任意的正整數(shù) ：

（1）如圖8所示，由已知有 ，故C 的方程為 當 時，過點 且斜率為 的直線為 ，將其與 聯(lián)立可得 ，解得 x = - 3 或5，所以該直線與 C 的不同于點 的交點為 ！0），該點顯然在 C 的左支上，故 ，從而

（2）過點 且斜率為 k （ 0 lt; k lt; 1 ） 的直 線為 ，將其與 聯(lián)立可 得 ，則

由題意可知 Δ gt; 0 ，且

因為 是直線 與 的公共點，所以方程 ① 必有一個根 ·由根與系數(shù)的關(guān)系可知另一個根為

y+k2y”-2kx，故該直線與 c 的不同于點 的交點為

注意到點 的橫坐標亦可通過根與系數(shù)的關(guān)系表示

為 ，故點 一定在 C 的左支上，則

由 ，可得 ，所以數(shù)列

（204號 是公比為 的等比數(shù)列.

（3）由（2）可知

由 ，可知 ，所以 是公比為 的等比數(shù)列，則對任意的正整數(shù) ∣ m ，都有（2號

則

②- ③ 可得

移項整理得

又 （204號 ，所以 和 平行，則 ，即 ：

本題是圓錐曲線與數(shù)列交會的試題，情境新穎、設(shè)問方式獨特，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.

變式已知點 在拋物線 c 上，按照如下方法依次構(gòu)造點 ：過點 作斜率為一1的直線與拋物線 C 交于另一點 ，令 為 關(guān)于 y 軸的對稱點，記 的坐標為 （ x n"，y" n "）"·

（1）求 的值；

（2）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列，并求 ：（3）求 的面積.

（1）因為點 在拋物線 C 上，所以 ，解得 t = 1

（2）如圖9所示，由（1）知 ，即 因為點 在拋物線 上，所以過點 ， ，x2-1），且斜率為-1的直線 的方程為

聯(lián)立 消去 y 可得 ，解得 或 ，則 ，即 ，所以數(shù)列 是以首項為2、公差為4的等差數(shù)列，故

（3）過點 作 y 軸的垂線，與 y 軸交于點 （ i = n ， n + 1 ， n + 2 ） ，由（2）知 ，則梯形 的面積為 （2同理可得 又梯形 的面積為

則 ）的面積為

通過對2024年高考數(shù)學(xué)新課標I、Ⅱ卷圓錐曲線試題進行分析、研究、變式，可知2024年高考對圓錐曲線的考查有以下特征：突出創(chuàng)新，如情境創(chuàng)新、設(shè)問創(chuàng)新；突出反套路、反機械刷題的現(xiàn)象；突出對基礎(chǔ)知識和基本概念的靈活應(yīng)用，注重考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.因此，學(xué)生在復(fù)習備考中有必要多研究高考試題，了解試題的背景、題源.

（完）