指向運算能力培養(yǎng)的盲校珠算除法教學(xué)策略

【中圖分類號】 G761

運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律等進行正確運算的能力。培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，離不開口算、筆算、簡算、估算等計算方法的教學(xué)。學(xué)生掌握多種計算方法，不僅有助于提高運算能力，而且有助于培養(yǎng)思維的靈活性。盲文正摸反寫的獨特讀寫方式，給視障學(xué)生書寫豎式筆算造成一定的障礙。因此，盲校普遍使用中國傳統(tǒng)的數(shù)字計算方法一一珠算，來解決盲校大數(shù)計算教學(xué)的難點問題?！睹ばＡx務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2016年版）》建議教師要注意處理好珠算撥珠法與算理的關(guān)系：強調(diào)學(xué)生對算理的理解，要求學(xué)生能根據(jù)計算法則進行撥珠計算[1]。其中，珠算除法的演算過程較為復(fù)雜，需要注意的問題也很多，學(xué)生容易出錯，是珠算教學(xué)中的難點。

珠算除法的學(xué)習(xí)要求在人教版盲校數(shù)學(xué)教材三年級下冊第二單元“除數(shù)是一位數(shù)的除法\"中首次提出?！俺龜?shù)是一位數(shù)的珠算除法”是視障學(xué)生學(xué)習(xí)多位數(shù)珠算除法的知識基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)。珠算除法主要有“商除法\"和“歸除法”兩種?！吧坛╘"的計算方法和筆算除法計算原理基本相同，便于學(xué)生理解算理和加強口算練習(xí)。因此，盲校以“商除法”教學(xué)為主。在珠算除法教學(xué)中，教師應(yīng)聚焦視障學(xué)生對除法意義的理解，引導(dǎo)視障學(xué)生在縱向聯(lián)系、橫向比較、縱橫貫通中化解珠算除法學(xué)習(xí)的難點，幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，培養(yǎng)運算能力。

一、縱向聯(lián)系：深化珠算除法算理理解，筑牢視障學(xué)生運算能力根基

教師只有把學(xué)生的已有知識和觀念作為教學(xué)起點，并給予學(xué)生更多學(xué)習(xí)和建構(gòu)的機會，才能促進學(xué)生的學(xué)習(xí)[2]。算理解決的是“為什么這樣算\"的問題，主要指計算過程中的道理、思維方式。視障學(xué)生只有理解算理、明確方法，才能靈活、簡便地計算。脫離算理探究而單純追求計算方法掌握的珠算除法教學(xué)，對視障學(xué)生的發(fā)展是不利的。因此，“除數(shù)是一位數(shù)的珠算除法\"教學(xué)需要將算理探究與算法掌握置于同等重要的位置，引導(dǎo)視障學(xué)生回憶學(xué)過的表內(nèi)除法和有余數(shù)除法的實物操作、拼擺除法豎式等，將新舊知識聯(lián)系在一起進行珠算除法算理探究，喚醒視障學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，關(guān)聯(lián)除數(shù)是一位數(shù)的除法口算、筆算、珠算的算理，深化視障學(xué)生對除法算理的理解。

小學(xué)階段學(xué)生的思維以具體形象思維為主，視障學(xué)生更是如此。由于視覺受損，視障學(xué)生主要通過動手操作去感知、體會計算過程中的道理。珠算除法教學(xué)需要融人具體現(xiàn)實問題的解決過程，增強學(xué)習(xí)的趣味性和探究性，讓視障學(xué)生感受到珠算學(xué)習(xí)的價值。此外，教師在教學(xué)中需要組織參與度高、關(guān)聯(lián)性強、交互友好的平均分實操活動，讓學(xué)生直觀感受除法算理，為進一步探索珠算除法的合理程序打好基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)52-2時，教師應(yīng)遵循視障學(xué)生“具體一半抽象一抽象”的思維縱向發(fā)展規(guī)律，緊扣數(shù)的意義和計數(shù)單位，組織平均分計數(shù)單位個數(shù)的活動，讓視障學(xué)生明白52除以2（被除數(shù)的首位除不盡）的算理是：5個十和2個一分別除以2得到2個十和6個一，2個十和6個一就是26。教師首先利用實物教具，指導(dǎo)學(xué)生進行分物求商，為其理解除法算理提供直觀支撐。然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分物求商的經(jīng)驗，用樂高盲文積木，依據(jù)除的順序，逐一擺出商、部分積、余數(shù)。接著對照樂高盲文積木豎式講解珠算，在算盤上布數(shù)，算盤右邊滿檔撥被除數(shù)52，算盤的左邊撥除數(shù)2。第一步平均分被除數(shù)首位十位上的數(shù)5，每份分得2個十，說明除到被除數(shù)十位上數(shù)夠商1，這種情況稱為“夠除”。根據(jù)珠算中確定商的位置的口訣“夠除隔位商”，在被除數(shù)左邊第二檔（隔一位）上撥數(shù)2。第一次分掉了 2×2 個十，即4個十，從被除數(shù)5個十中減去4個十，差等于1個十，說明被除數(shù)十位上的數(shù)還剩下1（用2除5得到的余數(shù)）。第二步繼續(xù)平均分被除數(shù)十位上剩下的數(shù)1，每份分不到1個十，說明除到被除數(shù)十位上數(shù)不夠商1，這種情況稱為“不夠除”，要用到珠算另一句確定商的位置的口訣“不夠除挨位商”。平均分被除數(shù)前兩位（十位上剩下的數(shù)1和個位數(shù)2，即12個一），每份分得6個一，說明6是商的個位上的數(shù)。在被除數(shù)左邊的第一檔（挨位）上撥數(shù)6。第二次分掉了 2×6 個一，即12個一，從被除數(shù)12個一中減去12個一，差等于0，說明被除數(shù)已被完全分完了。這表明，做完了除法，并且沒有余數(shù)。

視障學(xué)生經(jīng)歷具體化的“分物求商”逐漸抽象的“拼擺豎式”聽從指令的“撥珠演算”的活動過程，通過對照、比較、類推、遷移，發(fā)現(xiàn)雖然這些平均分的活動的呈現(xiàn)形式不同，但蘊含的除法算理是一致的。除法豎式是算理的直觀表達，能完整地呈現(xiàn)“平均分計數(shù)單位的個數(shù)\"的全過程，讓視障學(xué)生更好地領(lǐng)悟珠算除法的算理，為珠算除法算法學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

二、橫向比較：強化珠算除法算法學(xué)習(xí)，豐富視障學(xué)生運算能力內(nèi)涵

精算在本質(zhì)上是對于數(shù)的運算，算理是運算的本質(zhì)[3]。珠算除法的算法是依據(jù)除法算理來構(gòu)建與解釋計算的方法、法則，解決“怎么計算”的問題，以及如何算得方便、準(zhǔn)確的問題。珠算“商除法”與筆算除法基本相同，運算時采用表內(nèi)乘法口訣進行估商，從被除數(shù)中減去部分積，逐步求出商。因此，理解筆算除法算理、掌握筆算除法算法是學(xué)習(xí)“商除法”的前提和關(guān)鍵。

“商除法”與筆算除法的最大不同是商的位置、演算過程的呈現(xiàn)方式?！吧坛ā敝猩潭ㄎ环ā皦虺粑簧蹋粔虺の簧獭?，容易讓學(xué)生產(chǎn)生珠算中商的數(shù)位不固定的錯覺?！吧坛ā钡难菟氵^程難還原，表示被除數(shù)的算珠在計算中被一步步消減，每一步的部分積從被除數(shù)中減去，導(dǎo)致珠算過程中出現(xiàn)的錯誤難查，也不易改。在“商除法”算法教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)視障學(xué)生通過除法豎式算法的學(xué)習(xí)來化解商定位、減部分積等珠算難點問題，帶領(lǐng)視障學(xué)生借助操作來理解除法豎式，清楚地看到豎式中的每個數(shù)所對應(yīng)的操作中的具體對象，以加深視障學(xué)生對算理的理解，使其掌握筆算除法的計算法則，并在演算珠算除法的過程中加強與筆算除法計算法則的比較，歸納出“商除法”的計算方法。

例如，在教學(xué)一位數(shù)除三位數(shù)（商兩位數(shù)）的“商除法\"時，教師設(shè)計了溝通筆算的算理與算法之間關(guān)系的活動，重點解決筆算中當(dāng)被除數(shù)的最高位不夠商1，要用除數(shù)去除被除數(shù)的前兩位數(shù)的問題，進而破解商定位的難題。教師以 148÷6 為例，講解被除數(shù)的最高位不夠商1的算法。首先指導(dǎo)視障學(xué)生將分物求商的操作過程轉(zhuǎn)化為用樂高盲文積木進行豎式計算，將“從高位算起\"的過程展開，邊分析算理，邊講解計算過程（見圖1），并引導(dǎo)視障學(xué)生有序思考以下問題：

①148÷6 是用6去除幾？② 當(dāng)1個百除以6不夠商1個百時，該怎么辦？③ 14個十除以6，商應(yīng)寫在哪位上？

通過拿學(xué)具分一分、邊擺豎式邊觀察、邊猜測邊擺等活動，將“1個正方體（1個百）和4個正方形（4個十）\"與\"148的前兩位數(shù)是14個十\"勾連起來，不斷強化視障學(xué)生的觸覺表象，用表象支撐視障學(xué)生的思維，將平分14個十（正方形）的操作經(jīng)驗與6除14個十的算理算法建立聯(lián)系，促成以上三個問題的解決。使視障學(xué)生明確“從高位算起”的計算法則：先用除數(shù)試除被除數(shù)的首位，如果它比除數(shù)小，再試除被除數(shù)的前兩位，以及商的寫法“除到哪一位，就把商寫在哪一位的上面”

視障學(xué)生邊撥珠邊說計算過程。教師提問：“觀察算盤上的商24各個數(shù)位所在的位置與被除數(shù)148各個數(shù)位的位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？\"引導(dǎo)視障學(xué)生思考勾連商的各位位置與被除數(shù)的各位位置的關(guān)系，進而自主歸納出除數(shù)是一位數(shù)的“商除法\"計算方法：除的順序和筆算相同，從被除數(shù)的最高位算起，按“夠除隔位商，不夠除挨位商\"來確定商各位的位置。先用除數(shù)去除被除數(shù)的最高位，如果夠除，就把商撥在被除數(shù)左邊第二檔上（隔一位）；如果不夠除，就去除被除數(shù)前兩位，把商撥在被除數(shù)左邊的第一檔上（挨位），再從被除數(shù)里減去部分積，然后按同樣的方法用除數(shù)去除余下的數(shù)，直到除盡或除到余數(shù)小于除數(shù)為止。

在整個教學(xué)過程中，教師利用視障學(xué)生已有的除法口算經(jīng)驗，結(jié)合一定的直觀操作活動，使視障學(xué)生養(yǎng)成有序思考和操作的習(xí)慣，自主概括出珠算除法的計算規(guī)律，提升分析、歸納、遷移的能力。

三、縱橫貫通：構(gòu)建珠算除法思維模型，助力視障學(xué)生運算能力提升

運算能力不僅包括會算和算正確，還包括對運算意義的理解。除法的運算意義是平均分配及乘法的逆運算等。學(xué)好除數(shù)是一位數(shù)的珠算除法，能促進對除法的一般計算方法的掌握。教師可借助直觀手段，在算理與算法之間架起一座橋梁，使視障學(xué)生能夠直觀地感悟計算的道理和計算的法則，加深對除法運算意義的理解。針對視障學(xué)生學(xué)習(xí)珠算除法中“商定位\"的難點問題，教師可設(shè)計縱橫交織、互相關(guān)聯(lián)的活動，讓視障學(xué)生感受商定位法“夠除隔位商，不夠除挨位商\"存在的必要性和作用，構(gòu)建算理與算法相融的珠算除法思維模型，促進學(xué)生思維發(fā)展、運算能力提高。

一是橫向進行口算與珠算對比，讓視障學(xué)生領(lǐng)悟商定位法的內(nèi)在道理。例如，讓學(xué)生分別用口算和珠算方法計算 18÷2.38÷2 ，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：兩位數(shù)除以一位數(shù)的商不一定全是兩位數(shù)，當(dāng)被除數(shù)首位上的數(shù)小于除數(shù)時，不夠除挨位商，要除幾十幾個一得幾個一，商的首位是個位；當(dāng)被除數(shù)首位上的數(shù)大于等于除數(shù)時，夠除隔位商，是除幾個十得幾個十，商的首位是十位。但無論被除數(shù)的首位是否夠除，是商定位法保證了商的十位都在被除數(shù)首位（十位）左邊第二檔，確保商的各位在算盤上精準(zhǔn)定位。

二是縱向開展新舊知識比較，使視障學(xué)生體悟確定商首位的重要性。例如，在用算盤計算 38÷2 /138÷2 的過程中，引導(dǎo)視障學(xué)生將一位數(shù)除兩位數(shù)的商定位法類推至一位數(shù)除三位數(shù)，覺察“被除數(shù)的首位是否夠除”是“確定商首位”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過對比活動，幫助視障學(xué)生經(jīng)歷將除法意義與除法結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)其直覺思維能力。

三是關(guān)聯(lián)口算、估算、珠算的計算特點，幫助視障學(xué)生掌握商最高位的判斷方法。例如，視障學(xué)生通過口算 210÷7=30 ，帶著計數(shù)單位進行計算，形成“除幾十幾個十得幾個十”的認(rèn)識，為珠算 252÷7 確定商的最高位打下基礎(chǔ)。珠算 252÷7 時，首先引導(dǎo)視障學(xué)生應(yīng)用已有的估算技能，估出大致結(jié)果252÷7≈30 。利用估算可以檢查珠算除法商的最高位有沒有錯誤。然后用珠算求出準(zhǔn)確商，將兩次結(jié)果進行對比，使視障學(xué)生體會用不同的算法不僅可以起到互補的作用，而且可以檢驗結(jié)果的正確性。

四是加強商的定位知識的專題練習(xí)，促使視障學(xué)生踐悟商定位法的思維模型。例如，通過數(shù)道按要求填寫被除數(shù)最高位上的數(shù)的練習(xí)，幫助視障學(xué)生理清珠算除法的各個環(huán)節(jié)，使視障學(xué)生能在珠算過程中有效地對各環(huán)節(jié)實施自我監(jiān)控，特別要關(guān)注自己易出錯的壞節(jié)，如忘記在珠算前判斷商的位數(shù)等。教師提問學(xué)生：“口20÷3的商是兩位數(shù)，有幾種填法？”引發(fā)學(xué)生逆向思考：口20后面有兩位數(shù)，說明被除數(shù)“口20”是三位數(shù)，需填寫被除數(shù)最高位上的數(shù)。進一步啟發(fā)視障學(xué)生思考：因為除數(shù)是3，要使除得的商是兩位數(shù)，被除數(shù)最高位的數(shù)值不能大于或等于除數(shù)，即□20不能大于或等于320，所以□里只能填1或2。教師要讓視障學(xué)生認(rèn)識到判斷商的位數(shù)是做珠算除法的第一步，也是極為重要的一步。通過一題多解和多題一解交替出現(xiàn)的練習(xí)，使視障學(xué)生理解運算的算理并形成有序思考的習(xí)慣，掌握珠算除法的方法，提高運算的熟練度。

總之，在珠算除法教學(xué)中，教師需要依據(jù)視障學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，開展口算、分物求商、拼擺豎式、撥珠演算等活動，將操作、口算、豎式、珠算相結(jié)合，溝通表示除法意義的動作表征、語義表征、符號表征之間關(guān)系，幫助視障學(xué)生貫通對口算、筆算、珠算的算理一致性的理解，掌握珠算的方法，培養(yǎng)視障學(xué)生的數(shù)感和推理能力。同時，要提出一些啟發(fā)性的問題，為視障學(xué)生提供數(shù)學(xué)思考、傾聽、交流的機會，從而建立起活動、符號、算法之間的連接，拓展知識聯(lián)系的通道，豐富對除法意義的理解；要引導(dǎo)視障學(xué)生親歷建構(gòu)兩位數(shù)除以一位數(shù)的口算、多位數(shù)除以一位數(shù)的數(shù)學(xué)模型的過程，使知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)有機融合，讓視障學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識中發(fā)展運算能力。

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（責(zé)任編輯：黃春露）