淺析含彈簧桿件在沖擊載荷下的能量分配

中圖分類號：G642

文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2025.12.003

AbstractIn the teaching processofmaterials mechanics，students arestillunable to solve complex problems such as thestabilityofcomposite membersanddynamicload problems.Thearticleanalogizes therodwiththespring familiarto studentsthroughexamples，anduses thespringmodeltosolveandanalyzetheenergydistributionproblemoftherodunder impactloadusingtheenergy method.Thisnotonlyhelps studentsto haveadeeperunderstandingofcomplex impact problems in material mechanics，butalsohascertain teaching significance forstudents totrytoestablish simplified mechanical models to analyze and solve impact problems in engineering.

Keywordsspring;stiffness coefficient; impact; energy method

經(jīng)過中學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生往往已對彈簧的胡克定律、彈簧的彈性勢能等有了初步認(rèn)識。進入大學(xué)之后，材料力學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一門變形體力學(xué)，研究對象主要是桿件。雖然研究對象不同，而且在材料力學(xué)課程中很少看到彈簧，但是如果將桿件與彈簧進行類比，學(xué)生往往能夠基于已有的彈簧知識更好地理解和解決材料力學(xué)中的力學(xué)問題。在將桿件類比成彈簧時，首先需要確定等效彈簧剛度系數(shù)，然后通過類比的方法解決問題。文章將基于此展開，以期幫助學(xué)生理解一些相對復(fù)雜的材料力學(xué)問題，并將彈簧模型進一步拓展到更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)及彈塑性沖擊問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)、研討及本研一體化教學(xué)起到拋磚引玉的作用。

1基于能量法的沖擊問題分析

沖擊應(yīng)力分析是材料力學(xué)動載荷部分的重要教學(xué)內(nèi)容[-2]。學(xué)生通常能較好地分析重物自由下落撞擊一根桿件的情況，他們常采用的方法是利用計算得到的動荷系數(shù)，代入公式后計算出相應(yīng)的最大沖擊載荷、位移、應(yīng)力等，但是對于相對復(fù)雜的問題，如組合桿系、桿一彈簧組合系統(tǒng)卻不能較好地利用能量守恒定律給予解答。在利用能量守恒定律求解時，需要確定沖擊開始相對于沖擊結(jié)束的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。當(dāng)把桿件類比成彈簧時，往往更容易理解和求解該類沖擊問題。例如，如圖1所示（p9），包含彈簧的桿件沖擊問題是教材中常見的例題，圖1（a）和（b）中AC梁的兩端分別用鉸支座和彈簧支撐。直接利用計算動荷系數(shù)的方法雖然很容易給出動載荷下的相應(yīng)結(jié)果，但是學(xué)生可能并不清楚彈簧在沖擊過程中到底扮演了什么角色，是僅僅增大了靜位移、降低了動荷系數(shù)而實現(xiàn)了緩沖目的？還是也吸收了一部分沖擊能量？如果吸收了能量，吸收了多少沖擊能量？如果在工程中遇到緩沖問題時，怎么分析和設(shè)計呢？

為了解答這些疑惑，可將AC梁類比成彈簧。線彈簧的剛度系數(shù)k可以通過F/4確定，F(xiàn)和4分別為彈簧彈力和彈簧變形量?；谠摱x，可以確定桿件的等效彈簧剛度系數(shù)。假設(shè)AC梁的橫截面為矩形，梁的長度、高度和寬度分別為1、h和b，彎曲剛度EI為常數(shù)，AC梁B截面沿垂直方向的等效彈簧剛度系數(shù)可寫為 。假設(shè)兩個支撐彈簧的剛度系數(shù)均為 α為 和 之比。

科教前沿

若重物G自梁中部上方高度 處自由下落， β 為無量綱下落高度參數(shù)，計算梁跨中B截面的動撓度。圖1（a）和（b）中B截面的靜撓度 和 分別為

其中上標(biāo)（a）和（b）分別對應(yīng)于圖1（a）和（b），下標(biāo)st、AC和 sprig分別表示靜載荷、AC梁和彈簧， 分別為

由式（1）和（2）可以得到

令下標(biāo)d表示動載荷，在動載荷下亦應(yīng)當(dāng)滿足

其中 為圖1（b）中B截面的動撓度。針對圖1（a）和（b）兩種情況，由能量守恒定律分別有

其中 為圖1（a）中B截面的動撓度。將式 （ 4 ） ， H ， 和 代入式（5），利用式（1），解得

由式（6）可以求出圖1 （b）與圖1（a）中B截面的動撓度之比γ為

由式（7）可知，若下落高度 β ; 給定，當(dāng) 時，即圖1（a）的兩端鉸支座支撐情況，有y→1。進一步計算出圖1（a）中

AC梁的應(yīng)變能 圖1（b）中AC梁的應(yīng)變能 和圖1 （b）中2個支撐彈簧吸收的沖擊能量 分別為

由式（8）和（9）可以得到圖1（b）與圖1（a）中AC梁的應(yīng)變能之比n為

由式（11）可知，若下落高度β給定，當(dāng) 時，有 。

根據(jù)式（7）和（11），在圖（a）和（b）中分別給出了y和n隨a 變化的關(guān)系曲線?？梢钥闯觯瑢τ诮o定的下落高度β，始終有 ? 1 和 由此可知，有彈簧支撐時B截面的動撓度雖然更大，重物自由下落損失的勢能更多，但是由于沖擊能量由AC梁和彈簧共同承擔(dān)，AC梁的應(yīng)變能反而更小。由功能原理可知，作用于AC梁上的動載荷更小，梁內(nèi)的最大動應(yīng)力更小，結(jié)構(gòu)更安全。另外，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)α給定時，隨著β的增大，y和n均減小，即在桿件和彈簧均滿足強度條件的情況下，隨著重物下落高度的增加，彈簧吸收的能量與該高度自由下落重物損失的勢能之比更大。另外，若 （ a → 0 ，相當(dāng)于在任何微小彈簧力作用下彈簧的變形量趨于無窮，顯然在現(xiàn)實生活中并不存在，而且與材料力學(xué)的小變形假設(shè)也不相符，因此在圖2（p10）中 a 的最小值均較小，但未取為零。至此，彈簧及桿件的能量分配情況已經(jīng)清楚了。若圖1（b）中的彈簧為真實的桿件而非彈簧，則組成桿系結(jié)構(gòu)。因此，對于實際的組合桿系問題，可作類似求解和分析，看似復(fù)雜的問題也就迎刃而解了。

2沖擊問題的工程拓展

如果實際遇到的工程問題不是桿件，是否也可以作類似的分析呢？或者當(dāng)沖擊載荷比較大時，結(jié)構(gòu)內(nèi)的最大應(yīng)力超過材料的屈服應(yīng)力后，材料會進入塑性狀態(tài)，這時的彈簧剛度系數(shù)又怎么確定呢？結(jié)合實際工程中的沖擊問題及材料力學(xué)的知識，舉個簡單例子：金屬環(huán)/管陣列在沖擊防護工程中廣泛應(yīng)用，在設(shè)計金屬環(huán)/管陣列防護結(jié)構(gòu)時，需要了解該類結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下的變形和破壞特點。如圖3（a）左圖所示，單個矩形截面的圓環(huán)受到一初始速度為V0的重物垂直撞擊，可以將圓環(huán)簡化為一根等效剛度系數(shù)為k、質(zhì)量為m的彈簧，如圖3（b）右圖所示。彈簧等效剛度系數(shù)的確定與前述方法相同，沿圓環(huán)直徑的兩端施加一對壓力 F ，通過實驗或數(shù)值仿真得到圓環(huán)兩端的相對位移D，不斷加大 F ，使結(jié)構(gòu)由彈性進入塑性狀態(tài)，由 可以計算出其等效的彈性和塑性彈簧剛度系數(shù)。

若圓環(huán)滿足小曲率、線彈性和小變形條件，可利用材料力學(xué)的單位載荷法求解靜不定問題后，計算出其等效的彈性剛度系數(shù)為 ，式中R為圓環(huán)的半徑。

對于圖3（b）所示的圓環(huán)列，可以將其等效為一列串聯(lián)的彈簧。隨著環(huán)的數(shù)目增多，彈簧的數(shù)目也相應(yīng)增加。若每個環(huán)的尺寸、材料不一樣，每個彈簧的等效剛度系數(shù)也不同。通過設(shè)計不同環(huán)的彎曲剛度、尺寸和放置順序，可以獲得預(yù)期的沖擊能量分配效果，該方法還可以擴展到不規(guī)則的結(jié)構(gòu)，如飛機起落架、飛機等復(fù)雜的塑性沖擊問題[45]。

3結(jié)語

彈簧模型是一種簡單的力學(xué)模型。文章通過例題介紹了利用彈簧和桿件的類比方法，分析彈簧緩沖沖擊能量的原因、沖擊能量的分配及復(fù)雜沖擊問題的求解方法，對材料力學(xué)課程的教學(xué)及培養(yǎng)學(xué)生基于工程思維簡化和分析一些復(fù)雜的工程問題有一定的教學(xué)意義。但同時，由于材料力學(xué)中關(guān)于桿件沖擊應(yīng)力和變形的分析是基于工程的簡化方法，如被沖擊物的質(zhì)量忽略不計等，因此教師在教學(xué)中還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探討相應(yīng)的沖擊分析方法及結(jié)果的局限性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的興趣。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（12472376）。

參考文獻

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