以數(shù)學(xué)建模探究函數(shù)的單調(diào)性

摘 要：本文以新能源汽車電池容量研究為載體，通過數(shù)學(xué)建模方法開展函數(shù)單調(diào)性教學(xué)實踐。構(gòu)建“數(shù)據(jù)采集-模型建立-單調(diào)性分析-專業(yè)應(yīng)用”四階教學(xué)模式，運用Excel、GeoGebra、Python等工具實現(xiàn)數(shù)學(xué)與專業(yè)的深度融合。教學(xué)實踐表明，該模式有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和專業(yè)應(yīng)用意識。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的單調(diào)性 教學(xué)設(shè)計 數(shù)學(xué)建模

當(dāng)前在高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中存在一定的局限性，數(shù)學(xué)作為一門公共基礎(chǔ)課程，與各專業(yè)實際應(yīng)用場景的融合度不足[1]。在實際教學(xué)過程中，教師往往側(cè)重于理論知識的傳授，未能充分挖掘數(shù)學(xué)知識與不同專業(yè)領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生難以將所學(xué)數(shù)學(xué)知識靈活運用到專業(yè)學(xué)習(xí)中。如何有效把數(shù)學(xué)這門公共課巧妙融入各專業(yè)具體案例，讓學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)對專業(yè)學(xué)習(xí)的支撐作用，從而更好地利用數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)問題，提升專業(yè)素養(yǎng)與實踐能力，成為亟待解決的關(guān)鍵課題。本文將以函數(shù)的單調(diào)性這一節(jié)課為例，來探索數(shù)學(xué)這門公共課和專業(yè)課的融合。本節(jié)課的授課對象為新能源汽車專業(yè)一年級學(xué)生。

1 教學(xué)背景與設(shè)計理念

1.1 專業(yè)需求分析

新能源汽車技術(shù)是一個跨學(xué)科領(lǐng)域，涉及機械工程、電子技術(shù)、材料科學(xué)和數(shù)學(xué)等多個學(xué)科[2]。在新能源汽車的研發(fā)和生產(chǎn)中，數(shù)學(xué)知識起著至關(guān)重要的作用。例如，在電池性能分析中，通過構(gòu)建函數(shù)，可以了解電池容量隨環(huán)境溫度或循環(huán)次數(shù)的變化趨勢。通過數(shù)學(xué)建模，可以將復(fù)雜的實際問題簡化為數(shù)學(xué)問題，從而進行定量分析和預(yù)測。

1.2 教學(xué)分析

《高等數(shù)學(xué)1》這門課是我校汽車與航空學(xué)院的公共必修課，課程所用教材為高等職業(yè)教育規(guī)劃教材《高等數(shù)學(xué)》[3]，本次課選自第3章第三節(jié)《函數(shù)的單調(diào)性與極值》。該節(jié)授課學(xué)時為4學(xué)時，本次課為第2學(xué)時。

在第1學(xué)時中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的基本概念以及函數(shù)單調(diào)性的判定定理，在本次課中，學(xué)生將進一步通過實際案例分析和實踐操作，掌握如何將函數(shù)單調(diào)性的知識應(yīng)用到新能源汽車專業(yè)的實際問題中。

1.3 學(xué)情分析

本次課授課對象為新能源汽車專業(yè)一年級學(xué)生，他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程時具有以下特點。

（1）學(xué)習(xí)興趣：學(xué)生對新能源汽車專業(yè)有濃厚的興趣，但對數(shù)學(xué)課程的興趣相對較低，尤其是理論知識的學(xué)習(xí)。他們更傾向于動手操作和實踐應(yīng)用，希望通過實際案例來理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

（2）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，部分學(xué)生在高中階段已經(jīng)掌握了一定的數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等，但也有部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱，需要進一步鞏固和加強。

（3）軟件應(yīng)用能力：學(xué)生對計算機軟件有一定的接觸和了解，但在使用數(shù)學(xué)軟件進行數(shù)據(jù)處理、建模分析等方面的能力還比較欠缺，需要教師進行指導(dǎo)和訓(xùn)練。

（4）專業(yè)認(rèn)知：學(xué)生對新能源汽車專業(yè)的相關(guān)知識有一定的了解，但對數(shù)學(xué)知識在專業(yè)中的應(yīng)用還缺乏深入的認(rèn)識，需要教師通過具體案例來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的重要性。

根據(jù)《高等數(shù)學(xué)1》課程標(biāo)準(zhǔn)與新能源汽車技術(shù)專業(yè)人才培養(yǎng)方案，結(jié)合新能源汽車技術(shù)未來發(fā)展專業(yè)人才需求，確定出了知識、能力、素質(zhì)三維教學(xué)目標(biāo)。知識目標(biāo)為掌握函數(shù)單調(diào)性的判定定理；能力目標(biāo)為能夠?qū)⑿履茉雌噷I(yè)中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)模型并分析其單調(diào)性、能夠使用數(shù)學(xué)軟件進行數(shù)據(jù)處理和分析，提高解決實際問題的能力；素質(zhì)目標(biāo)為通過專業(yè)案例分析，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度與工匠精神。

1.4 教學(xué)重難點

根據(jù)人才培養(yǎng)方案和課程標(biāo)準(zhǔn)確定了本次課的教學(xué)重點，根據(jù)往屆學(xué)生學(xué)習(xí)情況和本班學(xué)生課前預(yù)習(xí)結(jié)果分析，確定了本次課的教學(xué)難點。教學(xué)重點為掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，教學(xué)難點為將函數(shù)的單調(diào)性與新能源汽車專業(yè)案例相結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型并進行分析。

1.5 教學(xué)策略

（1）數(shù)專結(jié)合，線上線下混合教學(xué)。將專業(yè)情境（案例）貫穿整個教學(xué)環(huán)節(jié)，依托平臺，線上線下混合教學(xué)，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)問題，調(diào)整教學(xué)策略。

（2）以學(xué)生為中心，開展實驗探究、討論等學(xué)習(xí)活動。通過專業(yè)情境、案例引入，結(jié)合與專業(yè)情境相關(guān)的實際問題，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間，對重點內(nèi)容再次鞏固，并傳達給學(xué)生將專業(yè)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的方法。

（3）采用“雙線并行”教學(xué)模式：明線為電池容量影響因素探究，暗線為函數(shù)單調(diào)性知識體系構(gòu)建。

2 教學(xué)實施過程

2.1 問題導(dǎo)入：專業(yè)情境創(chuàng)設(shè)

（1）播放視頻，激發(fā)興趣：播放一段關(guān)于新能源汽車發(fā)展的視頻，展示新能源汽車在環(huán)保、節(jié)能等方面的優(yōu)勢，以及其在未來汽車市場中的重要地位。視頻中還提到了電池技術(shù)是新能源汽車的核心技術(shù)之一，電池容量的大小直接影響著新能源汽車的續(xù)航里程和性能。

（2）引導(dǎo)思考，提出問題：視頻播放結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生思考視頻中提到的哪些因素會影響電池容量。學(xué)生經(jīng)過小組討論，得出環(huán)境溫度、循環(huán)次數(shù)等因素會影響電池的剩余容量。教師進一步提問：“如何定量分析這些因素對電池容量的影響呢？”從而引出本節(jié)課的主題——函數(shù)的單調(diào)性。

（3）提供數(shù)據(jù)，明確任務(wù)：教師給出一份通過校企合作得到的關(guān)于磷酸鐵鋰電池的電池容量的實驗數(shù)據(jù)，實驗數(shù)據(jù)共計248條，3個變量，循環(huán)次數(shù)、環(huán)境溫度和電池容量，代表著在不同循環(huán)次數(shù)以及環(huán)境溫度下電池的剩余容量。教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過實驗探究這些因素對磷酸鐵鋰電池的容量會產(chǎn)生怎樣的影響。

根據(jù)分析樣本數(shù)據(jù)，得到電池剩余容量為因變量，循環(huán)次數(shù)和環(huán)境溫度為自變量，電池剩余容量受到這兩者的影響，因此根據(jù)該樣本可以構(gòu)建出多個模型，并將模型轉(zhuǎn)換成相對應(yīng)的不同任務(wù)。

任務(wù)一：構(gòu)建出循環(huán)次數(shù)為800的電池剩余容量（y）關(guān)于環(huán)境溫度（x）的函數(shù)，并描繪出該函數(shù)的單調(diào)性。

任務(wù)二：構(gòu)建出環(huán)境溫度為20℃時，電池剩余容量（y）關(guān)于循環(huán)次數(shù)（n）的函數(shù)，并描繪出該函數(shù)的單調(diào)性。

任務(wù)三：升級難度，將兩個因素結(jié)合在一起，研究當(dāng)循環(huán)次數(shù)增長時，環(huán)境溫度對電池容量的影響。

2.2 數(shù)學(xué)建模

2.2.1 任務(wù)一：環(huán)境溫度對電池容量的影響

題目中的數(shù)據(jù)為離散數(shù)據(jù)，而溫度是一個連續(xù)變量，不能直接得出函數(shù)，因此教師提示學(xué)生們可以使用擬合來構(gòu)建函數(shù)，在構(gòu)建函數(shù)的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)多種函數(shù)均可以用來進行擬合，從而引發(fā)思考：如何比較哪種函數(shù)更加適合這道題目。通過查閱相關(guān)資料，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)可以采用R平方值（也稱決定系數(shù)）來進行比較，趨勢線的R平方值等于1或接近1時，其可靠性最高，反之則可靠性較低。在此次實踐的過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考，如何去進行數(shù)據(jù)擬合并評價擬合之后的模型。

此次建模過程中，學(xué)生們采用了多種方法來構(gòu)建函數(shù)，如用Excel、Python編程、Geogebra繪制曲線等。圖1為部分學(xué)生作品展示。

得到建立的函數(shù)為：

y=0.0002x3－0.0536x2+2.2589x+71.569

得到函數(shù)之后，就可以根據(jù)之前的關(guān)于判斷函數(shù)單調(diào)性的理論知識得出結(jié)論。結(jié)論為：當(dāng)環(huán)境溫度為[－20，24.8）時，電池容量隨著環(huán)境溫度的上升而上升，當(dāng)環(huán)境溫度為（24.8，60）時，電池容量隨著環(huán)境溫度的上升而下降。

此時可以讓學(xué)生上臺講述自己的步驟及結(jié)果，并讓其他學(xué)生進行評價，在互動的過程中，加深學(xué)生們對于函數(shù)的單調(diào)性的判定步驟的印象。

2.2.2 任務(wù)二：循環(huán)次數(shù)對電池容量的影響

任務(wù)一和任務(wù)二其實密切相關(guān)，有了任務(wù)一的操練，任務(wù)二可以進一步鞏固學(xué)生們使用計算機進行擬合建模的方法和技巧，此時教師可以進行限時任務(wù)，完成得最快最好的小組可以進行額外加分。

在建模過程中，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)使用三次函數(shù)進行擬合效果并不很好，教師可以鼓勵學(xué)生觀察曲線形態(tài)從而選取更加合適的函數(shù)，學(xué)生們經(jīng)過思考、小組討論之后會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)更加適合，從而提高數(shù)學(xué)建模中模型選擇與優(yōu)化的能力。下圖2為部分學(xué)生作品展示。

學(xué)生們構(gòu)建的函數(shù)為：

y=54.505+sin（0.000275x+2.0471）

得到函數(shù)之后，學(xué)生們可以利用之前學(xué)習(xí)的知識得出，隨著循環(huán)次數(shù)的上升電池容量不斷下降，并預(yù)測出當(dāng)循環(huán)次數(shù)為多少時，電池剩余容量將低于50%，將近報廢。

2.2.3 任務(wù)三：研究當(dāng)循環(huán)次數(shù)增長時，環(huán)境溫度對電池容量的影響

在進行了任務(wù)二和任務(wù)三的操練之后，學(xué)生們了解了數(shù)學(xué)建模的具體步驟：建立模型、求解模型和模型檢驗，同時也動手實踐了如何使用計算機去進行數(shù)學(xué)建模。接下來，教師可以將難度進行升級，結(jié)合兩個因素，綜合來看，這兩者整體會對電池容量產(chǎn)生什么樣的影響。

因為學(xué)生目前不會構(gòu)建多元函數(shù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生試著采用其他的方法來探究該問題。由于該問題相對較難，在建模過程中，教師應(yīng)當(dāng)加強巡視，主動與學(xué)生進行溝通，及時解決學(xué)生關(guān)于軟件操作上的困難。在師生的共同合作之下，提高學(xué)生們對解決復(fù)雜問題的能力，即將復(fù)雜問題進行分解，分解成簡單問題，并逐一攻破。圖3為部分學(xué)生作品展示。

學(xué)生們經(jīng)過了多個任務(wù)的錘煉，通過小組討論、查閱資料等多種方式學(xué)習(xí)了如何將一個專業(yè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，真正見識到了什么是數(shù)學(xué)建模以及如何用科技手段去求解模型。

3 教學(xué)效果

（1）學(xué)生的參與度提高。視頻導(dǎo)入、真實案例、動手操作等多種方法提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，打造了有趣的數(shù)學(xué)課堂，有效地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，學(xué)生在建模過程中切實感受到了數(shù)學(xué)的有趣，改變了他們對“數(shù)學(xué)無用論”的認(rèn)知。

（2）學(xué)生的完成度提高。通過教學(xué)，學(xué)生不僅熟練掌握了求解函數(shù)單調(diào)性的理論步驟，還提高了將專業(yè)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，尤其是任務(wù)三，在難度加大的情況下，也能通過教師指導(dǎo)、小組討論等多種方式完成任務(wù)。

（3）學(xué)生編程技能進階。在學(xué)習(xí)進程中，學(xué)生借助Excel、GeoGebra進行動態(tài)繪圖，將抽象數(shù)學(xué)概念具象化，直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律與圖形變化；同時投身Python代碼編寫，把想法轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行程序，解決各類實際問題。

（4）學(xué)生的能力素養(yǎng)提高。在建模與解模的過程中，學(xué)生得以直面復(fù)雜問題，逐步掌握拆解難題、剖析關(guān)鍵要素的方法，切實提升解決復(fù)雜問題的能力，能力素養(yǎng)也隨之進階。

4 教學(xué)反思

4.1 特色與創(chuàng)新

將數(shù)學(xué)建模[4]與新能源汽車專業(yè)深度融合，為學(xué)生打開技能提升的新通道。學(xué)生不再局限于理論知識的死記硬背，而是在建模實操里，把抽象數(shù)學(xué)知識具象化，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維剖析實際問題、構(gòu)建模型求解，全方位錘煉邏輯思維、數(shù)據(jù)處理、問題解決等核心技能，知識運用與遷移能力顯著增強。

4.2 診斷與改進

一是部分學(xué)生在軟件操作環(huán)節(jié)依賴同伴，缺乏獨立探索的能力，可以在課前發(fā)布微課進行預(yù)習(xí)，比如發(fā)布擬合算法與軟件操作的短視頻，降低課堂學(xué)習(xí)門檻。二是部分任務(wù)難度較大 ，分層教學(xué)不夠理想，可以對于不同學(xué)生發(fā)布個性化任務(wù)，真正讓所有學(xué)生都參與課堂中。

5 結(jié)論

本課程通過數(shù)學(xué)建模將函數(shù)的單調(diào)性理論與新能源汽車電池容量分析緊密結(jié)合，實現(xiàn)了“數(shù)學(xué)為專業(yè)服務(wù)”的教學(xué)目標(biāo)。未來教學(xué)中，可進一步引入機器學(xué)習(xí)算法（如隨機森林回歸）深化數(shù)據(jù)分析層次，并通過校企合作獲取更多真實工況數(shù)據(jù)，提升教學(xué)的實效性與行業(yè)適配性。

參考文獻：

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