基于波利亞解題表處理情境問題的探究

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出學(xué)業(yè)水平考試命題的主要原則是“以新情境下的問題解決為重心”.高考密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)社會(huì)，重視數(shù)學(xué)與文化，數(shù)學(xué)與生活的相通，數(shù)學(xué)來源于生活也應(yīng)用于生活，對(duì)復(fù)雜情境題的解決，能夠幫助學(xué)生將知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來，讓數(shù)學(xué)學(xué)以致用學(xué)有所用.合適的問題情境是考查核心素養(yǎng)的重要載體，情境問題的考查更加注重綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.波利亞解題表是一種系統(tǒng)化的解題方式，通過理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧反思四個(gè)階段，形成明確、清晰的解題思路，對(duì)復(fù)雜情境能由繁化簡(jiǎn)，抓住問題本質(zhì)，做到舉一反三，觸類旁通的效果，培養(yǎng)學(xué)生以核心素養(yǎng)為目標(biāo)，提升學(xué)生思維能力和解題能力。

1.例題呈現(xiàn)

1675年，卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)了卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.已知點(diǎn) ，動(dòng)點(diǎn) P 滿足 ，則 面積的最大值為——。

2.解法探究

本題給出全新定義的曲線，陌生中又和圓錐曲線有著類似之處，這就需要學(xué)生不僅會(huì)解題，還能舉一反三融會(huì)貫通.基于波利亞解題表，在解決這種新定義的科學(xué)情境問題時(shí)，可以從4個(gè)方面進(jìn)行：

2.1 理解目標(biāo)、有效轉(zhuǎn)化

波利亞說“對(duì)你所不理解的問題做出答復(fù)是愚蠢的”，理解復(fù)雜情境時(shí)，要借助相關(guān)題眼明確考查方向，抓住情境問題中的定義、已知數(shù)據(jù)和關(guān)系式、所求所證的問題，回憶已有的相關(guān)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，將已知條件、關(guān)系式或問題合理轉(zhuǎn)化，將陌生問題熟悉化。

這是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的三角形面積最值問題，已知的是兩個(gè)定點(diǎn) 的坐標(biāo)以及動(dòng)點(diǎn) P 滿足的方程

2.2 擬定方案、明晰步驟

波利亞認(rèn)為“解題的價(jià)值不在于答案本身，在于探索解題思路與好的想法產(chǎn)生的過程”，擬定解題方案，是解題的核心環(huán)節(jié)，在探索解題過程中可以在過去的經(jīng)驗(yàn)和已掌握的知識(shí)的基礎(chǔ)上，分析問題探求解題思路，建立已知條件和未知量之間的關(guān)聯(lián)，是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

方案一：三角形面積公式 ，將面積最大值轉(zhuǎn)化為 ∣ y ∣ 的最大值.類比橢圓定義， 其中 ，通過設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，求出點(diǎn) P 軌跡方程 本題可按照橢圓方程的推導(dǎo)來得到點(diǎn) P 的軌跡方程，得到 的最大值。

方案二：利用三角形面積公式 · ，將三角形面積的最值轉(zhuǎn)化為 的最大值.

方案三：在 中，利用余弦定理，得到 范圍再利用三角形面積公式 得到面積的最大值。

2.3 執(zhí)行方案、領(lǐng)會(huì)思路

波利亞指出“執(zhí)行一個(gè)方案比擬定一個(gè)方案容易得多，我們所需要的主要就是耐心”，細(xì)心計(jì)算、耐心解題保證步驟推演的合理性、等價(jià)性、完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性.運(yùn)算量較大時(shí)考慮能否優(yōu)化運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和書寫的規(guī)范性。

方法一：設(shè) P （ x ， y ） ，則 ，平方得 （20 即 則 當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立.

方法二： ，當(dāng) ，即 ，此時(shí) ；或

方法三： 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立. ，三角形面積公式

2.4 回顧反思、拓展總結(jié)

波利亞認(rèn)為“通過回顧完整的解答，重新斟酌，審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，不僅能夠鞏固知識(shí)，還能使解題能力得以提升”，回顧是解題者鞏固相關(guān)知識(shí)、提高解題能力的重要階段，既要回顧擬定方案中探求思路的過程，也要回顧執(zhí)行方案時(shí)遇到的困難和突破的方案，回顧解題過程的完整性和書寫的規(guī)范性，通過回顧總結(jié)解題規(guī)律，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

方案一中對(duì) 的刻畫是解題的關(guān)鍵，簡(jiǎn)單的消元思想、復(fù)雜的運(yùn)算過程，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高.方案二簡(jiǎn)潔易懂，運(yùn)算簡(jiǎn)單，需要注意的是要考慮等號(hào)成立的條件能否滿足.方案三中很容易將 的等號(hào)成立條件 ，當(dāng)作三角形面積 s 取得最大值的條件，從而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤.利用余弦定理解題時(shí)，需要注意正弦和余弦的關(guān)系.在刻畫三角形面積時(shí)選擇合適的方法，會(huì)給解題帶來不同的思維和計(jì)算量.在制定方案時(shí)，除了考慮方案的可行性，同時(shí)也需要考慮方案的可實(shí)施性。

3.結(jié)語

波利亞解題表將復(fù)雜情境問題轉(zhuǎn)化為解題的四個(gè)步驟，第一步理解題目.學(xué)會(huì)問題表征，清晰地識(shí)別出已知和未知條件、要達(dá)到的目標(biāo)、條件的合理轉(zhuǎn)化形式；第二步擬定方案.探索已知條件與目標(biāo)之間的潛在聯(lián)系，構(gòu)建合理數(shù)學(xué)模型，并形成一個(gè)具體的解決方案；第三步執(zhí)行方案.按照既定的計(jì)劃進(jìn)行操作，并檢查每一步的正確性；第四步回顧反思.包括對(duì)得出的答案進(jìn)行驗(yàn)證，并嘗試將所采用的方法和策略應(yīng)用于解決其他類似的問題.通過四個(gè)步驟，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)化的、清晰的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升思維能力和解題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]鄒耀飄，何雪，黃曉梅.聚焦波利亞解題思想暴露解題思維過程[J].理科考試研究，2024（01）：28-31.

[2]陳燈云，陳濤.基于波利亞解題理論的高考數(shù)學(xué)試題分析[J].理科考試研究，2024（07）：21-24.