一道橢圓中內(nèi)接三角形面積最值問(wèn)題的探究

一、題目呈現(xiàn)

題目（巴蜀中學(xué)2024屆高考適應(yīng)性月考卷（五）第22題）如圖1，已知點(diǎn) P 是橢圓 E 1 （ a gt; b gt; 0 ） ， ）上的動(dòng)點(diǎn)，離心率 左、右焦點(diǎn)分別為 ，且

（1）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線 與橢圓 E 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 ，問(wèn) Δ P A B 面積是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

第（1）問(wèn)考查橢圓方程的求法，直接根據(jù)題干條件即可構(gòu)建 E 基本量的方程，容易求得橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 第（2）問(wèn)以直線與橢圓的位置關(guān)系為切入點(diǎn)，考查三角形面積度量問(wèn)題，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力要求較高.接下來(lái)，重點(diǎn)探究試題的第（2）問(wèn)。

二、解法探究

思路1（設(shè)點(diǎn)法）點(diǎn) P 的位置變化引起了 的形狀變化，進(jìn)而引起了 面積的變化.因此，可將 Δ P A B 面積用 P 的坐標(biāo)進(jìn)行表征.

解法1 設(shè) ，則直線 P A 的方程為 y =

，直線 P B 的方程為

.聯(lián)立 P A 與 E 的方程并消去 y 整理得（

設(shè) ，則

，則 代人 P A 的方程

得 則 ，

，仿照此過(guò)程可求得 A

從而

則 Δ P A B 的

面積S= 設(shè) ，則 設(shè)

則 當(dāng) 和 1）時(shí) 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí) 單調(diào)遞減.因?yàn)? 接下來(lái)只需比較 的大小，分別平方后可推出 1 從而 的最大值為 f （ 1 ） = 所以 Δ P A B 面積的最大值為

評(píng)注解法1以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為自變量，構(gòu)建 面積關(guān)于 P 坐標(biāo)的函數(shù)，最后研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值.運(yùn)算過(guò)程中直接由 三點(diǎn)的坐標(biāo)借助向量表達(dá) Δ P A B 的面積.事實(shí)上，設(shè) Δ A B C 中 ，則 只要知道三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用此面積公式可以直接表示三角形面積。

解法2 結(jié)合圖形可得面積關(guān)系S△PAB=S△PAF2 ，設(shè) ，則 從而S△BAF2 ，則

由解法1知 （2 接下來(lái)同解法1.

評(píng)注注意到線段 固定，運(yùn)用圖形分割思想將 分割為 與 ，而這兩個(gè)三角形的面積容易表達(dá)，也就能夠快速表示 Δ P A B 面積.從這個(gè)角度看，解法2是解法1的一種優(yōu)化，但后續(xù)的處理與解法1是一致的。

解法3設(shè) ， ， .注意到坐標(biāo)原點(diǎn)在 內(nèi)部，因此 ，由解法1知

1l 2cosθsinα-2cosasinθl =I sin（α-0）|，同理可 得 ，則 （20 ： 因?yàn)?P ， 三點(diǎn)共線，則 （204號(hào)

，展開(kāi)化簡(jiǎn)得sin（α-0）=（

sinα），同理可得 ·由于 圖形是對(duì)稱的，因此不妨設(shè) ，則 （20 （204號(hào) 0 ， sin β ？ sin α lt; 0 ，則 sinβ）-sin（α-β）.sin（-θ）=/（ （22 化簡(jiǎn)可得tan 由 sin （ β - θ ） = 化簡(jiǎn)可得 1 .因?yàn)閠an （2號(hào) ta tan 2 α β 2 tan2 1 ！ ，設(shè) 2 ，代 （204號(hào) ，接下來(lái)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)即可求解。

評(píng)注將 三點(diǎn)用角變量進(jìn)行假設(shè)，再由解法1可得 的面積表達(dá)式.分別運(yùn)用 及 三點(diǎn)共線求得角之間的三角函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用三角恒等變換將面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為 tan 的函數(shù)，進(jìn)而再用導(dǎo)數(shù)求解.

思路2（設(shè)線法）點(diǎn) P 的位置變化引起了直線P A ， P B ， A B 的位置變化，因此可設(shè)直線 P A ， P B 的方程，構(gòu)建 三點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，由于 與 有公共內(nèi)角，因此借助 面積表達(dá) 面積，進(jìn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值

解法4設(shè)直線 P A 的方程為 ，直線（20號(hào) P B 的方程為 .聯(lián)立直線 P A 的方程與橢圓的方程并消去x 整理得 ，則 則 0為x=my。-√3，則+yo 即20 =-7-2√3x.同理可得 川 12x2-49，而SAPPP （20 （2結(jié)合點(diǎn) P 在橢圓上化簡(jiǎn)得 接下來(lái)同解法1。

評(píng)注從直線的位置變化入手，用直線 P A ， P B 的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)關(guān)系.注意到 與 有一個(gè)公共內(nèi)角，因此它們的面積比等于對(duì)應(yīng)邊的乘積之比，進(jìn)一步將邊之比轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的坐標(biāo)比，最后得到 的面積表達(dá)式。

解法5 由解法4可得 （204號(hào) .設(shè) ，則有 λ 14.而 則 則 15）SAPF2而y 則 ，則 （20 接下來(lái)同解法1.

評(píng)注借助三點(diǎn)共線的向量表達(dá)，將面積比轉(zhuǎn)化為共線向量的系數(shù)比，構(gòu)建面積表達(dá)式的過(guò)程得到了優(yōu)化.從解法5中可以看出，在題設(shè)的條件下2+為一個(gè)定值.在下文中，我們將利用這一關(guān)系仿照解法5的思路將問(wèn)題進(jìn)行一般化推廣。

三、一般化推廣

將試題中的橢圓推廣到任意的橢圓，有下列結(jié)論1。

結(jié)論1 已知點(diǎn) P 是橢圓 b gt; 0 ）上的動(dòng)點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為 ，直線 與橢圓 E 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 ，則 面積的最大值為 2+2）2，其中c為E的半焦距.

證明設(shè)直線 P A 的方程為 ，直線

P B 的方程為 （202

）.聯(lián)立直線 P A 的方程與橢圓的方程并消去 x 整

理得 ，則

，則 （204號(hào)A

因?yàn)? ，則 即

同理可得 設(shè) ，則有

，則

，而 ，則

設(shè)劵 則 t ∈ （204號(hào) ，則 下面證明（2

恒成立.只需要 ），即證 0.不等號(hào)左邊的判別式 一 .因?yàn)? ，由 知 0，因此 ，故 在 上恒成立.故當(dāng) t = b 時(shí)， 面積的最大值為

（2號(hào) （20

再將 與 改為 x 軸（或 y 軸）上的任意對(duì)稱的兩點(diǎn)，有下列結(jié)論2和結(jié)論3。

結(jié)論2 已知點(diǎn) P 是橢圓 E

b gt; 0 ）上的動(dòng)點(diǎn)， ，其中 n gt; 0

直線 與橢圓 E 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為

則 Δ P A B 面積的最大值為 （20

結(jié)論3 已知點(diǎn) P 是橢圓 b gt; 0 ）上的動(dòng)點(diǎn)， ，其中 n gt; 0 直線 與橢圓 E 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 則 Δ P A B 面積的最大值為

結(jié)論2與結(jié)論3的證明可仿照結(jié)論1的思路證 明，在此不贅述。

四、教學(xué)啟示

解析幾何的研究要樹(shù)立函數(shù)與方程的意識(shí).眾所周知，解析幾何是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題.具體過(guò)程是用坐標(biāo)刻畫(huà)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，用直線與曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程刻畫(huà)直線與曲線的位置，進(jìn)而將幾何中的位置關(guān)系問(wèn)題與幾何度量問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化.因此，解析幾何的研究要牢固地樹(shù)立函數(shù)與方程的意識(shí)，領(lǐng)會(huì)解析幾何的基本內(nèi)涵。

其次，解析幾何的研究要樹(shù)立圖形意識(shí).解析幾何的出發(fā)點(diǎn)是幾何圖形，落腳點(diǎn)也是幾何圖形.幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征決定著幾何問(wèn)題代數(shù)化的繁雜程度.只有深入地挖掘幾何圖形中的幾何關(guān)系，才能夠快捷地將幾何問(wèn)題代數(shù)化，優(yōu)化解題過(guò)程，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).例如，從圖形的角度進(jìn)行分析，如果讓題目中的點(diǎn) P 從 x 正半軸逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)至 x 軸負(fù)半軸，直觀感知 Δ P A B 面積從0（趨近于0）連續(xù)變化到0（趨近于0），根據(jù)圖形對(duì)稱性猜測(cè)當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸正半軸上時(shí)面積取得最值，接下來(lái)運(yùn)用不等式方法驗(yàn)證猜想即可解決.另外文章中的解法2即是基于圖形的結(jié)構(gòu)，將APAB的面積分割為兩個(gè)三角形的面積之和求解，解法4中將面積比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)邊乘積之比，但并未直接用距離公式將線段長(zhǎng)代數(shù)化，而是結(jié)合圖形將線段乘積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)乘積之比，從而優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程.因此，解析幾何的研究要以幾何圖形為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，牢固樹(shù)立圖形意識(shí)。