拿破侖定理的證明及其應(yīng)用探究

如圖1所示，在 Δ A B C 三邊上向外分別作等邊三角形 Δ A B D ， Δ B C E ， Δ C A F ，則 即為等邊三角形.這個(gè)幾何定理最早是由法國(guó)著名軍事家拿破侖提出的，故稱為拿破侖定理，其中等邊三角形 稱為拿破侖三角形[1].本文從構(gòu)造相似、余弦定理計(jì)算三邊長(zhǎng)、四點(diǎn)共圓、旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等及旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似等五方面論證該定理，并從論證過(guò)程中，充分感受到定理的巧妙結(jié)構(gòu)和數(shù)形美感

果為輪換對(duì)稱式意義下的定值，故 和 也等于該定值，從而 ，所以 為等邊三角形。

證法一 （構(gòu)造相似計(jì)算線段比例）如圖2所示，分別連接所做正三角形的外心與其正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，再連接 D C 和 ，則 Δ D A C ？ Δ B A F ，所以 B F = D C . 由 ， 為等邊三角形 Δ A B D ，Δ A C F 的外心可得 ，又 ，所以p ，故 又注意到 ，所以 ，故 ： V

證法三 （利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)）如圖4所示，做 Δ A B D ，Δ A C F 的外接圓，兩圓交于 兩點(diǎn)，連接 ，由 ， 和 A ， O ， C ， F 分別四點(diǎn)共圓得 ∠ A O B = ， ，所以 ，又因?yàn)? ，所

以點(diǎn) o 也在 Δ B C E 的外接圓上.又由 ，可得 為線段 的垂直平分線，同理 為線段 B O 的垂直平分線，所以 ，又注意到 ，所以 ，采用同樣的方法，可得 另外兩個(gè)角也為 ，所以 為等邊三角形.

，所以 ，故 DC.綜上，得 ，即 為等邊三角形。

證法四 （利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等）如圖5所示，連接 ，將 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到 ，由六邊形內(nèi) 1角和為 可得六邊形 六個(gè)內(nèi)角和為 ，且 E ，圖5 都為 ，則 （20 ，又因?yàn)? ，且 ，所以 ，又由 ，可得 ，所以 ，又因?yàn)? ，所以可得 ，則 1 + ，故 ，采用同樣的方法可得 另外兩個(gè)角也為 ，所以 為等邊三角形.

證法二 （利用余弦定理計(jì)算邊長(zhǎng)）如圖3所示，連接 ，設(shè)Δ A B C 的三條邊長(zhǎng)分別為 ，面積為 s ，則 ，再由余弦定理可知 （20 （20號(hào) 1 此結(jié)證法五 （構(gòu)造圓，得到旋轉(zhuǎn)相似）如圖6所示，分別以點(diǎn) 為圓心，線段 為半徑作圓，設(shè)兩圓交于點(diǎn)M ，連接 因?yàn)? 所以 ，Δ A B C ，且點(diǎn) B 為公共點(diǎn)，所以 與

Δ A B C 旋轉(zhuǎn)相似，旋轉(zhuǎn)角為 ，所以 ，則 ，所以 為等邊三角形，故 ，又 = ，所以 ，故 ，采用同樣的方法，可得 ，故 ，所以 為等邊三角形.

上述幾種證明方法充分應(yīng)用了中學(xué)平面幾何知識(shí)證明，在上述我們發(fā)現(xiàn)還有一些與拿破侖定理相關(guān)的一些結(jié)論.

推論1對(duì)任意一個(gè) Δ A B C ，分別以 A B ， B C ， A C 為邊，向其內(nèi)部分別做等邊三角形 Δ A B D ， Δ B C F Δ A C E ，設(shè) 為這三個(gè)等邊三角形的中心，則 為等邊三角形。

證法一 （構(gòu)造相似計(jì)算線段比例）如圖7所示， Δ A B D ， Δ B C F 都是等邊三角形，得 （2 又因?yàn)?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/0603/FL5cRMPMBoYhAT9aUxGLJa.webp"/> （20

，所以 ，故 ～ Δ D B C ，則 DC.同理，△A0，O 再同理得 Δ F C A ，則 又 Δ B A F ？ Δ D B C ，所以

A F = D C ，所以 =√DC，故002=00 = ，所以 是等邊三角形

證法二 （利用

余弦定理計(jì)算邊長(zhǎng)）

如圖8所示，根據(jù) BO2 山

= = BC 3’

∠OBO2= ∠OBD -

∠O2BD = 30° 1

∠O2BD，∠DBC =

∠OBC- ∠OBD =

，所以

若設(shè) Δ A B C 的三條邊長(zhǎng)分別為 ，面積為 s ，則 ，又 ，所以根據(jù)余弦定理得 此結(jié)果為輪換對(duì)稱式，同理計(jì)算得 和 均為上述結(jié)果，故 ，所以 為等邊三角形

推論2對(duì)任意三角形，其外拿破侖三角形的面積與內(nèi)拿破侖三角形的面積之差等于原三角形的面積.

證明 設(shè) 分別為該三角形內(nèi)外拿破侖三角形的面積，則 （20號(hào) ，所以 ，即外拿破侖三角形的面積與內(nèi)拿破侖三角形的面積之差等于原三角形的面積。

由于拿破侖定理具有精巧的構(gòu)圖和豐富的性質(zhì)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽及中高考的模擬測(cè)試中時(shí)常出現(xiàn)

例1（2021年深圳市高三調(diào)研）拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).”已知 Δ A B C 內(nèi)接于單位圓，以 B C ， 為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為 若 ，則 面

積的最大值為

解析 如圖9所示，設(shè)B C = a ， A C = b ，則 ，由∠ACB 得 ，所以根據(jù)勾股定理得 （204號(hào) ，又因?yàn)?/p>

是正三角形，所以其面積 （a2+b2），又因?yàn)椤鰽BC外接圓半徑R=1，所以由正弦定理 siC=2c，得c=1，再根據(jù)余弦定理得 ，所以 （20

，故 面積的最大值 ，且在 時(shí)取到面積的最大值。

參考文獻(xiàn)

[1]李垂勝，鄒興平.拿破侖三角形改斜歸正傳奇[J].數(shù)理化解題研究，2019，（23）：8-9.

[2]李登位，鄒興平.折疊巧證拿破侖三角形[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2019，（08）：17.

[3]喻德生.關(guān)于外、內(nèi)三角形有向面積的兩個(gè)定理及其推論［J」.宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，（06）：19-21.

[4]蔡曉波，邱志權(quán).再探拿破侖三角形——由一道?？碱}說(shuō)起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022，（10）：66-69.