借助一題多解 發(fā)展核心素養(yǎng)

直線與圓錐曲線位置關系問題是歷年高考考查的重點和熱點，該類試題對學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學抽象等素養(yǎng)要求較高.2024年全國甲卷理科數(shù)學第20題以橢圓為背景，綜合考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系等知識.本題不僅要求學生具備扎實的基礎知識和熟練的解題技巧，更需要學生具備較強的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.因此，對該題進行深入探究，有助于我們更好地理解高考數(shù)學的命題特點和趨勢，提高復習備考的效率。

1.試題呈現(xiàn)

題目 （2024年全國甲卷理20題）設橢圓 ： 的右焦點為 F ，點

在 c 上，且 M F ⊥ x 軸（1）求 c 的方程；

（2）過點 P （ 4 ， 0 ） 的直線與 c 交于 兩點， N 為線段 F P 的中點，直線 N B 交直線 M F 于點 Q ，證 明： . A Q ⊥ y 軸。

分析本題以直線與橢圓位置關系為背景，綜合考查了學生的圖形分析能力、運算求解能力和辯證邏輯思維能力.第（1）問是橢圓方程的求解，考查了函數(shù)與方程思想，易求得方程為 ；第（2）問是動直線與橢圓相交問題，考查了設而不求、函數(shù)與方程、數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想方法.該小題解法多樣，思路靈活，為不同考生提供了發(fā)揮的空間.本文重點討論第（2）小題

2.第（2）問解法探究

證法1 （聯(lián)立方程 韋達定理）由于直線 A B 的斜率存在，如圖1，設 A B ： y = k （ x -4）， ， ，聯(lián)立方程 ，得

，由

解得 （2 又

3+2，而N（，0），故

直線 令 得

2x-5，所以y1-y0=y

故

，即 A Q ⊥ y 軸

評析 通過聯(lián)立方程，運用韋達定理求解是處理圓錐曲線與直線相交的常規(guī)方法，通過直線 B N 的方程表示出點 Q 的坐標，進而將問題進行等價轉換，利用韋達定理整體代入進行證明.此證法屬通性通法。

證法2（構造對偶式）設 ），由 三點共線得 ，即x1y- 又因為 ，所以 由 ① ② 得 13y2③，由證法1可得y=5-2x=5y-2x2yi 3y1y2 一.將③ 代入化簡得 ，故 A Q ⊥ y 軸

評析 此證法的關鍵是利用直線 過定點 P ，通過 三點共線和橢圓方程構造對偶式 一 和 ，從而簡化運算實現(xiàn)證明.

證法3（定比點差法）設 ） ，則有 ① 即 且 .又因為點 在橢圓 C 上，所以 12λ2③.由②③得3.+λx2.χ1-xγ+y.y-y2=12④.將①代人④得5λ-（20 由 P （ 4 ， 0 ） ， F （ 1 ， 0 ） 知 .設 ，由 Q ， B ， N 三點共線得 所以 ，故 A Q ⊥ y 軸.

評析定比點差法是解決圓錐曲線與直線相交問題時常用的一種方法.通過引入?yún)⒆兞?λ ，可以巧妙地將 A ， B 的坐標進行整合，避免了復雜的聯(lián)立方程和韋達定理計算

證法4（利用橢圓的參數(shù)方程）設 ， ， ，由 三點共線得2cosα-4= 2cosB-4，即sin（α -β） = 2（sinα - ，所以 ，即 tan 由證法1可得 ，所以 ，故A Q ⊥ y 軸

評析此證法關鍵在于利用橢圓參數(shù)方程將動點 坐標用變量 α ， β 來表示，減少了未知數(shù)的個數(shù)，將代數(shù)問題轉化為三角問題，然后借助和差化積公式求解。

證法5（利用直線的參數(shù)方程）設直線 A B 方程為 為參數(shù)），代人橢圓方程得 設 對應的參數(shù)為 ，則 由 P （ 4 ， 0 ） ， F （ 1 ， 0 ） 知 ，于是直線 ）.令x=1得y0=3+2tcos0 所以 （20號 將 ① ② 代人 ③ 得 ，即 ，故 A Q ⊥ y 軸

評析本證法是利用直線參數(shù)方程中 的幾何意義進行求解，運算量相對較小，但在具體操作中容易忽略參數(shù) 的具體含義，導致正、負符號取錯.

證法6（利用調和線束、調和點列的性質）在證法5中，設直線 A B 與直線 M F 交于點 T ，由 的幾何意義知 ，于是 B T 所以 ，所以 （204 將 代人化簡可得 ，即 由線束和點列的交比可知，直線 Q B ， Q T ， Q A ， Q P 為調和線束.

設直線 Q B ， Q T ， Q A ， Q P 的斜率分別為 ， ，根據(jù)調和線束的斜率公式有（k-k）·（k-ka）=-1，由于直線QT的斜率不存在，所以 -k=-1，即2k=k+①.設點 則 又， P （ 4 ， 0），所以 2y，代人①可得k=0，故AQ 軸

評析由極點極線的代數(shù)定義知，點 P 和直線 關于給定的橢圓是極點和極線的位置關系，所以點 為調和點列，以 Q 為中心，直線 Q B ，Q T ， Q A ， Q P 為調和線束，從而借助調和線束的斜率公式快速證明題目。

通過以上解法的探究，還可以將結論進行一般性推廣。

結論1 已知橢圓 直線 l 過點 且垂直于 x 軸，過點 P （ m ， 0 ） 的 直線與 c 交于 兩點， N 為線段 M P 的中點，直線 N B 交直線 于點 Q ，則 A Q ⊥ y 軸

證明 設 ，由 三點共線得 即 y）①，又因為x-2=（22） （a2）=2（x-）（+） 由 得 又 ，故 0），直線 B N 的方程為 （204號 得yQ ，將 ③ 代人可得 ，故A Q ⊥ y 軸

通過GeoGebra軟件作圖探究分析（圖2、圖3），結論1在雙曲線和拋物線中同樣成立.（限于篇幅，證明過程這里不再贅述，感興趣的讀者可自行證明）

結論2 已知雙曲線（ 0），直線 過點 且垂直于 x 軸，過點P （ m ， 0 ） 的直線與 c 交于 兩點， N 為線段 M P 的中點，直線 N B 交直線 于點 Q ，則 A Q ⊥ y 軸

結論3 已知拋物線 ，直線 l 過點 且垂直于 x 軸，過點 M （ m ， 0 ） 的直線 與 交于 兩點，直線 與直線 l 交于點 Q ，則 A Q ⊥ y 軸

3.復習啟示

3.1 回歸數(shù)學本質，重視教材，夯實基礎

教材是高考試題的重要來源，高考中的很多試題都是依托教材上的例題或習題，進行精心設計、恰當遷移、延伸、拓展與變式探究等改編而成的新題.在圓錐曲線的專題復習中，教師要根據(jù)高考考查的重點、熱點和高考試題的命題思路，以教材中的例題、習題為范本，引導學生深挖教材例題、習題的內涵，追溯高考真題命題背景，探究其滲透的數(shù)學思想和方法。

3.2強化解題教學，注重一題多解，提高思維 品質

在備考復習時，教師要引導學生從高考真題出發(fā)，共同研讀試題內涵、分析解題思路、探索解題方法，通過一題多解和多題一解，一題多變和多題歸一，努力培養(yǎng)學生、敏捷性、靈活性、獨創(chuàng)性等數(shù)學思維品質，這樣學生在面對創(chuàng)新題、綜合題、變式題時，才能從容面對，游刃有余。

3.3注重解題反思，提煉通性通法，發(fā)展學生素養(yǎng)

解題反思是對解題過程的回顧與審視，是一種反思性學習活動，通過回顧與反思問題的解決過程，可以使學生清晰問題解決方案的發(fā)現(xiàn)途徑，梳理問題解決中涉及的知識、思想和方法.解題教學中，當完成一道題目后，不應僅僅滿足于得到答案，而要引導深入思考解題的方法和思路，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、提出新見解，使學生在學懂、學通、學透數(shù)學的過程中提升關鍵能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。