一題多解擴思路，透過現(xiàn)象巧證明

涉及數(shù)列不等式的證明及其綜合應(yīng)用問題，往往巧妙交匯并融合數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等相關(guān)知識，知識交匯融合性大，數(shù)學(xué)思維跨度大，實際解答與應(yīng)用時需要有較高的證明技巧與方法策略，充滿數(shù)學(xué)知識性、思維方法性、應(yīng)用能力性和綜合挑戰(zhàn)性，能比較全面而綜合地考查學(xué)生的“四基”與“四能”，以及數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等，一直是高考數(shù)列壓軸題及各級各類競賽試題命題的重要素材與考查內(nèi)容，倍受各方關(guān)注。

實際判斷或證明數(shù)列不等式問題時，可以從多視角切人，剖析題目條件中數(shù)列的遞推關(guān)系式、數(shù)列不等式等的結(jié)構(gòu)特征與組成形式，抓住代數(shù)式或不等式等方面的規(guī)律特征進行恰當(dāng)恒等變形與化歸轉(zhuǎn)化，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)思維方式加以巧思妙證。

1.問題呈現(xiàn)

題目（2025年1月八省聯(lián)考試卷·16）已知數(shù)列 ? 中， ?

（1）證明：數(shù)列 ? 為等比數(shù)列；

（2）求 ? 的通項公式；

（3）令 ? 證明： ?

此題以一個確定首項及已知數(shù)列遞推關(guān)系式為問題場景，通過三個小問題的設(shè)置，層層遞進，先證明數(shù)列 ? 為等比數(shù)列；在此基礎(chǔ)上，進而確定數(shù)列 ? 的通項公式；并結(jié)合所求的數(shù)列通項公式來構(gòu)建一個新的數(shù)列 ? ？？n+1，進而證明數(shù)列不等式的成立問題。

2.問題破解

問題求解的難點在于第三小問，涉及數(shù)列不等式的判斷與證明.其證明的關(guān)鍵是抓住數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征以及不等式的基本性質(zhì)，從不同思維視角加以巧妙放縮處理，或通過不等式性質(zhì)利用放縮法或比較法，借助作差法、作商法以及不等式性質(zhì)法等來應(yīng)用；或通過函數(shù)性質(zhì)利用函數(shù)法，抓住函數(shù)的單調(diào)性來實現(xiàn)問題的突破等.不同的數(shù)學(xué)思維視角切入與應(yīng)用，都可以實現(xiàn)數(shù)列不等式的巧妙轉(zhuǎn)化與證明。

解析 （1）因為 ? 所以中? 所以 ? ? ，又 ? ，則 ? 所以數(shù)列? 為首項與公比均為 ? 的等比數(shù)列.

（2）由（1）可知 ? ，所以 ? ? 所以 ? ，即為數(shù)列 ? 的通項公式.

（3）方法1 （作差法）由（2）可知 ? ? 所以 ? ? 為 ?

以 ? ；又由于 ? ，所以 ? 3+2-2+2lt;1.故bn

點評證明數(shù)列不等式成立，回歸不等式的內(nèi)涵，利用作差比較法來處理，是解決此類問題時的一種基本技巧方法，也是解決數(shù)列不等式的判斷或證明時的一種“通性通法”。

方法2 （作商法）由（2）可知 ? 以 ? 由于 n （2號? ，則知 n + 1 ？ 2 ，可得 ? （204號gt; 0 ，則有 ? ；又 ? ，所以 ? （20? ，所以 ? 作商可得 ? （204號 ? ，所以 ? .故? 成立.

點評類比作差比較法，作商比較法也是判斷或證明數(shù)列不等式問題時比較常用的另一種基本技巧方法，是解決不為零的數(shù)列不等式的判斷或證明時的另一種“通性通法”。

方法3 （不等式性質(zhì)法）由 ? 可得 ? 即 ? ，則有 ? 所以 ? ? .又由于 ? ，? ，所以 ? gt;0，則有αn+1 ? ? ，所以 ? lt;1；又an+1 ? 可得 ? 中（20號 ? 即 ? 故 ? lt; 1 成立.

點評借助題設(shè)條件中的數(shù)列的遞推關(guān)系式，利用遞推關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)加以分析與處理，可以直接跳過第（2）小問中數(shù)列 ? 的通項公式加以分析與推理.借助不等式性質(zhì)法應(yīng)用時，通過數(shù)列的遞推關(guān)系式，多寫出相關(guān)的式子與關(guān)系式，可以在一定程度上加以清晰分析與判斷，給問題的進一步推理與分析指明方向。

方法4（函數(shù)性質(zhì)法1）由（2）可知 ? ? 則有 ? ? ? 由于? ，則知 n + 1 ？ 2 ，所以 ? 易知函數(shù) ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞減，則有函數(shù) ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，所以 ? ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，所以（20 ? ；又由于當(dāng) n + ∞ 時， ? ，則知? ，所以 ? 故 ? 成立.

方法5 （函數(shù)性質(zhì)法2）由（2）可知 ? ? an+1 （204號 ? 所以bn 1 二（20號 = Qn? 由于 ? ，3? ，可知 ? ；易知函數(shù) ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，則有函數(shù) ? 12在 （ 0 ， + ∞ ）上單調(diào)遞增，所以 ? ? 在 （ 0 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，所以 ? ? .故 ? 成立.

點評回歸數(shù)列的函數(shù)性本質(zhì)，借助函數(shù)的基本性質(zhì)（這里利用函數(shù)的單調(diào)性）來判斷與證明數(shù)列不等式的成立問題，是解決此類問題的一種基本技巧方法，是解決數(shù)列不等式的判斷或證明時的一種\"巧技妙法”。

3.變式拓展

變式 （2025屆杭州市部分學(xué)校高三（上）期末試題）已知數(shù)列 ? 中， ?

（1）證明：數(shù)列 ? --1}為等比數(shù)列；（2）求 ? 的通項公式；（3）令 ? 證明： ? ?

解析 （1）因為 ? 所以? 所以 ? ? ，又 ? 則 ? ? 所以數(shù)列 ? 為首項與公比均為 ? 的等比數(shù)列.

（2）由（1）可知 ? ? ，所以 ? 所以 ? 3\"+1即為數(shù)列|a}的通項公式.

（3）由（2）可知 ? 所以 ? ? 所以 ? ? ?

4.教學(xué)啟示

4.1基于數(shù)列本質(zhì)，合理交匯融合

數(shù)列解答題中，往往基于數(shù)列的基本概念、數(shù)列的遞推關(guān)系式，以及兩類特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的場景創(chuàng)造來設(shè)置，巧妙借助數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等不同的基礎(chǔ)知識點加以合理的交匯融合，或基于數(shù)列公式本質(zhì)來合理推理運算，或回歸函數(shù)的基本概念與性質(zhì)來拓展，或借助不等式的基本性質(zhì)與方法來放縮與轉(zhuǎn)化等。

實際解決此類數(shù)列解答題時，合理數(shù)學(xué)建模，巧妙確邏輯推理，正確數(shù)學(xué)運算等，都是破解數(shù)列解答題中最基本的技能方法與核心素養(yǎng)，要加以不斷的訓(xùn)練，鞏固解決此類問題的“通技通法”，掌握破解問題的基本技巧方法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)的全面養(yǎng)成與提升。

4.2 立足數(shù)列根本，合理推理運算

數(shù)列解答題中的創(chuàng)新形式與創(chuàng)新設(shè)置多種多樣，由傳統(tǒng)比較常見的存在性、探索性、應(yīng)用性與開放性等形式，以及兩個及以上數(shù)列的交互與轉(zhuǎn)化問題，還有兩個及以上數(shù)列中的對應(yīng)項的重新排列與組合等問題，使得問題場景更加豐富多彩。

在數(shù)列解答題中，無論怎樣創(chuàng)新的設(shè)置，怎樣靈活多變的問題場景，都巧妙融入數(shù)列的基本概念、基本性質(zhì)與基本公式，借助兩個特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的模型構(gòu)建與應(yīng)用，同時也融入其他知識，如函數(shù)與方程、不等式等，通過合理的數(shù)學(xué)運算，巧妙邏輯推理，全面考查數(shù)學(xué)“四基”以及考生的數(shù)學(xué)能力，成為歷年高考數(shù)學(xué)命題中的?？汲Ｐ碌囊粋€基本點或回歸函數(shù)的基本概念與性質(zhì)來拓展，或借助不等式的基本性質(zhì)與方法來放縮與轉(zhuǎn)化等。

實際解決此類數(shù)列解答題時，合理數(shù)學(xué)建模，巧妙確邏輯推理，正確數(shù)學(xué)運算等，都是破解數(shù)列解答題中最基本的技能方法與核心素養(yǎng)，要加以不斷的訓(xùn)練，鞏固解決此類問題的“通技通法”，掌握破解問題的基本技巧方法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)的全面養(yǎng)成與提升。