立足本質(zhì) 揭示內(nèi)涵 提升素養(yǎng)

曲線系方程是解析幾何中一個重要內(nèi)容，它不僅涉及到曲線的幾何性質(zhì)，也體現(xiàn)了變換思想和整體處理的解題策略.在目前的高中數(shù)學教材中，明確提出的曲線系只有共交點的直線系，其他的曲線系（平行直線系、垂直直線系、共交點的圓系等）雖沒有直接呈現(xiàn)，但在習題中都有涉及.因此曲線系方程的教學是很有必要的.然而，關于曲線系方程的資料通常都是直接告知曲線系方程的構建，應用中如何巧解、簡解，并沒有講清其中的緣由，導致學生理解起來有難度，不明所以，無法靈活應用。

任念兵認為，基于“運算”視角進行高中數(shù)學教學的中觀設計，注重數(shù)學內(nèi)在邏輯、建構起數(shù)學知識之間的聯(lián)系，凸顯了數(shù)學學科研究方法和研究思路的重要價值，為學生的后續(xù)學習和長遠發(fā)展提供了知識準備和方法論支持，是在數(shù)學教學中謀求學生長期利益的有益探索.[］對于“共交點曲線系方程”的教學，筆者認為數(shù)學運算是構建曲線系方程的關鍵，因此整合教材及高考相關資源，從數(shù)學運算的視角設計一節(jié)高二微專題復習課“共交點曲線系方程的理解與應用”，幫助學生更好地掌握曲線系這一重要數(shù)學知識與方法，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)及解決實際問題的能力是很重要的。

1.教學設計

1.1創(chuàng)境導學，感知共交點曲線系方程背景 請同學們嘗試求解例1.

例1求圓心在直線 x - y - 4 = 0 上，并且經(jīng)過圓 與圓 的交點的圓 c 的方程師生活動：學生求解，教師展示學生的結果

生1：設圓 和圓 相交于點 由 得 （20號 .可得弦 A B 的垂直平分線方程為 x + y + 3 = 0

將 x + y + 3 = 0 與 x - y - 4 = 0 聯(lián)立，解得 所求圓心 c 的坐標是 故 ，則所求圓的方程為 - 3 2 = 0 .

問題1 以上的求解過程較為繁瑣，是否有更好的解法呢？

生2：由題意可設圓 的方程為 +λ（x2+y2+6y-28）=0，即x2+2+1+ 其圓心坐標是 因為圓心在直線 x - y - 4 = 0 上，所以 ，解得 λ = - 7 . 所以所求圓的方程為

設計意圖 本題為2019人教A版選擇性必修一P98習題2.5中綜合運用欄目第8題.通過本題讓學生感受到利用共交點曲線系方程求解問題的便捷性，并初步感知共交點曲線系方程的形式。

1.2 引領探究，抽象共交點曲線系方程特征

問題2對比解法一、解法二，我們可以感受解法二在解決問題上帶來的簡便.解法二的關鍵在于將經(jīng)過圓 與圓 6 y - 2 8 = 0 的交點的圓 C 方程表示為 ，為什么可以這樣表示，你能說明其中的道理嗎？

預設：該方程可整理成形如 F = 0 ，因此可表示圓，同時交點坐標滿足該方程，故在該圓上。

問題3 你能給出一般性的結論嗎？即經(jīng)過兩圓 和 交點的圓可以怎么表示？

預設 ： f （ x ， y ） + λ g （ x ， y ） = 0 . （2

追問1：是否可以表示經(jīng)過交點的所有圓？如果不行，應如何表示所有圓的方程呢？

預設 ： f （ x ， y ） + λ g （ x ， y ） = 0 表示經(jīng)過交點且不包含 的圓，如果是 λ f （ x ， y ） + g （ x ， y ） = 0 則不包含 ．若要包含 ，可以表示為 ，其中 λ ， μ 不同時為0.

追問2：若對任意的曲線 和 ： 不同時為0）是否也可以表示所有經(jīng)過 與 交點的曲線呢？

預設：上述結論對任意的曲線都是成立的

問題4上述方程可以看作對曲線 方程進行“加法”，得到的方程表示過 公共點的曲線.那么作乘法運算會得到什么呢？例如（ 2 x - 3 y + 1 0 ） （ 3 x + 4 y - 2 ） = 0 ，該方程表示什么呢？

追問1：從代數(shù)的視角，也就是方程的形式上看，這是什么方程？

生：二元二次方程.

追問2：從幾何的視角，它表示的圖形是什么呢？

生：兩條直線（所有的點）。

追問3：也就是我們對任意的兩個曲線 的方程作乘法會得到什么圖形呢？

生：曲線 的全體（所有的點）。

問題5我們對曲線 的方程分別作“加法”“乘法”得到不同的方程，表示不同的圖形，你怎么理解這里的“加法”、“乘法”呢？

追問：圖形是點的集合，你可以從集合的角度去理解嗎？

設計意圖 通過對共交點的圓系方程的剖析，推廣到一般情形的共交點曲線系方程的構建，引導學生注意到方程的形式是兩種曲線方程“加”的結果，聯(lián)想到“乘”結果的意義，同時理解其本質(zhì)是兩種曲線點集的運算，感悟特殊到一般的思維方式，培養(yǎng)聯(lián)系的觀點理解數(shù)學。

1.3 激發(fā)體悟，概括共交點曲線系方程要義

問題6在上述探究過程中，我們對兩條曲線 和 作不同的運算得到不同性質(zhì)的曲線，你能歸納一下結論嗎？

預設：結論 不同時為 0 ） ？ 經(jīng)過 與 交點的曲線的集合.

結論 與 上點的 集合.

問題7結論 ① 揭示了可以由兩條曲線來生成過它們公共點的所有曲線，這個結論與我們學過的哪個定理很相像呢？我們怎么理解這個結論呢？

預設：平面向量基本定理.要利用曲線系解決問題，要先找到生成曲線系的兩條“基曲線”。

預設：“加法” “交集”，“乘法” “并集”。

問題8 現(xiàn)在請同學們完成下表中常見二次曲線系方程的構建。

追問：若直線 與二次曲線 都有交點，則經(jīng)過這些交點的二次曲線方程應如何表示？

預設：

設計意圖引導學生將探究的結果進行梳理，明確共交點曲線系方程的表達，意識到運算在構建曲線系中的重要性，通過追問深化學生對“加”“乘”運算的理解.在問題7中進一步引導學生將共交點曲線系方程與平面向量基本定理聯(lián)系起來，讓學生感受到建立曲線系方程的過程與平面向量問題是類似的，需要先找到兩條“基曲線”，為后面例2的求解做好鋪墊.通過例8的追問深化學生對“加”“乘”運算在構建曲線系方程過程中的作用.在這一過程中，學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)得到了提升。

1.4 促使內(nèi)化，辨析共交點曲線系方程內(nèi)涵

例2求與圓 相切于點 P （ 3 ， 6 ） 且經(jīng)過點 Q （ 5 ， 6 ） 的圓 的方程.

問題9 本題中有共交點的曲線嗎？兩條“基曲線”是哪兩條？

預設：角度1，切線與已知圓 共交點；角度2， 點圓 N 與圓 共交點.

因此可以得到如下兩種解法：

解法1與圓相切于點 P （ 3 ， 6 ） 的切線方程為 x + 2 y - 1 5 = 0 ，故可設所求的圓系方程為 - 8 y + 1 5 + λ （ x + 2 y - 1 5 ） = 0 ，將點 Q （ 5 ， 6 ） 代入得 ，故所求圓的方程是

解法2切點 P （ 3 ， 6 ） 在已知圓上，將它視為“點圓”： ，故建立圓系方程 將點 Q （ 5 ， 6 ） 的坐標代入方程，解得 λ = - 2 ，故所求的圓的方程為

設計意圖運用共交點曲線系方程解決問題的難點是確定“基曲線”.兩條中有一條是顯然的（已知圓），而另一條是隱藏的，學生需要根據(jù)圖形及對點的認知去確定另一條基曲線.通過本題引領學生體悟到具體的問題模型，明確共交點曲線系方程解決問題的步驟和關鍵點，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)。

1.5 引導應用，深化共交點曲線系方程理解

例3 （2014年高考全國大綱卷·理21節(jié)選）已知拋物線 的焦點為 F ，過 F 的直線 l 與c 相交于 兩點，若 A B 的垂直平分線 與 c 相交于 M ， N 兩點，且 A ， M ， B ， N 四點在同一圓上，求 l 的方程.

解析設 ，代人 ，得 ，所以 ，故 A B 的中點坐標 .于是 的方程為 y ，過 A ， M ， B ， N 四點的曲線可設為 為參數(shù)） .因為 A ， M ， B ， N N 四點在同一圓上，則方程 中不含 x y 的項，所以

綜上，直線 的方程為 x + y - 1 = 0 或 x - y -

問題10 你能從知識、思想和方法上談談你的收獲嗎？

設計意圖深化對“交點”引發(fā)的曲線系方程的理解，并引導學生梳理本節(jié)的知識、思想和方法，切實有效地培養(yǎng)學生數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。

2.教學反思

2.1 把握本質(zhì)，理解數(shù)學提出，數(shù)學教學要做到“三個理解”：理解數(shù)學，理解教學，理解學生，其中首要是理解數(shù)學.而要理解數(shù)學，核心就是把握數(shù)學本質(zhì).在教學中，教師應幫助學生厘清知識來龍去脈，深刻剖析概念內(nèi)涵，準確理解數(shù)學思想，并科學認識數(shù)學方法.盡管曲線系方程的相關資料頗為豐富，但它們都忽略了對概念本質(zhì)的闡釋.因此，本課題的教學重難點在于引導學生領悟曲線系方程的內(nèi)在本質(zhì)代數(shù)運算是發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊含規(guī)律性的基本方法，更是構建客觀規(guī)律的關鍵途徑.曲線系方程本質(zhì)上描述的是點集之間關系與運算，這種關系與運算在方程中以“加”“減”運算呈現(xiàn).當學生能夠認識和理解到這一點時，那么在實際問題中就能夠根據(jù)問題的具體情境構建并應用適當?shù)那€系方程.通過這一過程，學生加深對數(shù)學運算意義的理解，感受數(shù)學運算的強大力量，消減數(shù)學運算的困惑，感受數(shù)學運算的成功體驗，積累數(shù)學運算活動經(jīng)驗，增強數(shù)學運算的信心，發(fā)展數(shù)學運算能力，形成數(shù)學運算素養(yǎng)。

知識本不是孤立存在的，任何知識只有與其他相關知識處于廣泛的聯(lián)系中，它的價值和意義才能得到更好的體現(xiàn).通過適當?shù)穆?lián)想，能夠喚起學生對已學知識的加速認識，同時也能夠?qū)ξ粗獌?nèi)容通過現(xiàn)有的認知過程和經(jīng)驗，類比推理出知識脈絡或解題思路，從而理清知識間的內(nèi)在聯(lián)系.[2]當學生了解了共交點曲線系的生成方式，教師不應急于給出習題讓學生應用，應引導學生體會其生成的方式及形式，感受其內(nèi)在邏輯.當學生聯(lián)想發(fā)現(xiàn)共交點曲線系與平面向量基本定理的邏輯相似性，就能深化對共交點曲線系的認知．一旦學生具備了這種“類比聯(lián)想”的數(shù)學思維，就能更好地掌握數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系，深人領悟數(shù)學思想方法的價值.這樣，數(shù)學核心素養(yǎng)便能在課堂上真正生根發(fā)芽，學生在數(shù)學學習中才能獲得更深層次的理解和成長。

參考文獻

[1]任念兵.基于“運算”視角談數(shù)學教學的中觀設計[J].數(shù)學通報，2015，（12）：30-32.

[2]唐俊濤.數(shù)學聯(lián)想在課堂教學中的若干思考[J].中學教研（數(shù)學），2019（03）：4-7.