意外與美好相伴 反思與進步相隨

1.引言

筆者在近日的一堂試卷講評課中，在講到一道圓錐曲線試題的時候，出現(xiàn)了一個美麗的小插曲.這讓筆者頗有感觸.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數(shù)學(xué)學(xué)習評價關(guān)注學(xué)生知識技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，制定科學(xué)合理的學(xué)業(yè)質(zhì)量要求，促進學(xué)生在不同學(xué)習階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達成.評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習的過程.”1]當前在一線教育教學(xué)實踐活動當中.試卷講評課作為日常教學(xué)的常規(guī)課型，教師如何做到因材施教，最大程度地提高效率呢？下面結(jié)合這個小插曲談?wù)劰P者對試卷講評課的思考。

2.試題講評過程

題目 已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為 ，則橢圓在其上一點 處的切線方程為 試運用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓C ，點 B 為 在第一象限中的任意一點，過 B 作 的切線 分別與 x 軸和 y 軸的正半軸交于 兩點，則 面

積的最小值為（ ）.

A.1 B.3 C. （204號 D.2

筆者首先講解了這道題的一般解法（解法1），通過學(xué)校集體教學(xué)平臺“智學(xué)網(wǎng)”的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這道試題正確率較高，且學(xué)生的解法與解法1基本相同。

解法1（教師提供）由題意可設(shè) ，則橢圓在點 B 處的切線方程為 ·由此易知 因為點 B 在第一象限且在橢圓上，因此 又點 B 在橢圓上，故 ，由重要不等式得 經(jīng)檢驗， 時等號成立，符合題意.故 故選

筆者計劃講完解法1，快速進入下一題的講解.但此時，學(xué)生1說道：“老師，我有其他解法！”并繼續(xù)說：“您這個解法我開始也想到了，后面我沒有做下去，因為我忘掉了重要不等式和基本不等式，我是用二次函數(shù)的值域求出來的。

解法2（生1提供） 同解法1，要求 的最小值，注意到 ，根據(jù)函數(shù) y = 的單調(diào)性，易知問題等價于求 的最大值，結(jié)合函數(shù) 與 在 上都是單調(diào)遞增的，根據(jù)老師常講的表征概念，我們進一步將問題轉(zhuǎn)化成求 的最大值，顯然 ，結(jié)合 的范圍容易知道 ，由二次函數(shù)圖像易知：當 時， 的最大值為 ，則 的最小值為 故選

同學(xué)們一聽立馬有聲音發(fā)出：“我也是這樣做出來的.”筆者聽后心中很是欣慰，于是趁熱打鐵追問：還有沒有同學(xué)要展示他的解法的？”

解法3 （生2提供） 可以改寫為 這樣在學(xué)生1的基礎(chǔ)上又往前推了一步，更簡單了.

學(xué)生2說完，大家均表示簡單是簡單了一點，但是并沒有思想上的大不同，這時，學(xué)生3說：“我的做法和他們有本質(zhì)的不一樣，其解法如下：

解法4 （生3提供） 我們從參數(shù)方程的角度進行考慮，把橢圓的標準方程改寫為參數(shù)方程 {x =√2cosθ，（θ為參數(shù)），于是 S△cO 由 都在第一象限，故 （204號 ，結(jié)合正弦函數(shù)圖像我們?nèi)菀字? ，因此 的最小值為 故選

聽到這里，學(xué)生4坐不住了，他提出可以將該題進行一般化處理

推廣 直接使用切線方程 的通式，不難發(fā)現(xiàn) ，而后就和上面學(xué)生1說的一樣，轉(zhuǎn)化為計算 的范圍問題，再用學(xué)生3的參數(shù)方程思路，依舊采用 （0，11]，那么 $S _ { ＼Delta C O D } _ { } = ＼frac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { 2 x _ { 0 } y _ { 0 } } ＼geqslant a b .$

筆者肯定了學(xué)生4的推廣，并告知學(xué)生按照以前的分組討論推廣.接下來筆者對這道題進行了總結(jié)概括，并給出了分析指導(dǎo)，至此這道題的講評基本結(jié)束。

3.關(guān)于試卷講評課的幾點思考

3.1 鼓勵學(xué)生積極參與試題研究

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，試卷講評課是不可或缺的一種課型.教師為了跟進學(xué)生的學(xué)習進程、監(jiān)測學(xué)生的學(xué)習狀態(tài)，會安排多次模擬測試，此時試卷講評課就會高頻呈現(xiàn).這時會出現(xiàn)一個普遍的現(xiàn)象，教師為了到達課程預(yù)設(shè)的進度，往往只是在課上唱獨角戲.表面上似乎學(xué)生學(xué)到了很多知識，實際上有相當一部分學(xué)生處于一知半解的狀態(tài).隨著高考評價體系的實施，高考命題已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)閮r值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基，因此關(guān)鍵能力是高考重要的考查目標，是測試和評價的核心指標和因素[2].我們教師應(yīng)該學(xué)會讓試卷講評課重點突出，對典型試題進行深度挖掘，鼓勵學(xué)生多想、多講，做到你講、我講、大家講.語言（包括口頭語言及書面語言）表達能力，是學(xué)生適應(yīng)學(xué)習、生活、未來工作的基本能力.語言表達能力與閱讀理解能力既相互聯(lián)系又彼此對應(yīng)，其操作對象都是語言，閱讀理解是信息輸人的過程，語言表達是信息輸出的過程，閱讀理解是正確表達的基礎(chǔ)，語言表達是閱讀理解結(jié)果的呈現(xiàn).通過這樣的形式可以促進學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展，這樣的課堂才是有生命力的課堂.這樣的試卷講評課一旦形成習慣，看似容量很小的課堂其厚度無限增加，真正做到了快樂學(xué)習、有效教學(xué)、師生共同成長。

3.2 注重分層教學(xué)在試卷講評課中的應(yīng)用

關(guān)于分層教學(xué)的論述很多，具體做法更是各有千秋.筆者認為在試卷講評課進行分層教學(xué)，最容易落地的舉措就是進行一題多解，不同解法之間總是存在這樣或者那樣的聯(lián)系，這些聯(lián)系或是顯性的或是隱性的.例如，本文中所提及的解法1和解法3，其本質(zhì)都是使用基本不等式，僅僅是呈現(xiàn)形式不一樣.另外解法2的實質(zhì)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，它與解法1和解法3都是從函數(shù)變量的視角去討論的，因為絕大多數(shù)均值不等式經(jīng)過變量替換等過程最終也會轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的最值問題.最后的推廣也是來源于筆者平時與學(xué)生的交流，通過將問題條件弱化或在圓錐曲線內(nèi)部進行類比、遷移的探究，體現(xiàn)了部分學(xué)有余力的學(xué)生融會貫通的能力.多數(shù)學(xué)生能夠根據(jù)自身的思維能力，有效掌握里面的一種或幾種解法，那么這節(jié)課對他們來說就是有效的，他們也會在課堂上收獲滿滿的學(xué)習成就。

3.3 營造民主平等、寬松愉悅的課堂氛圍

任何好的課堂都需要民主平等、寬松愉悅的環(huán)境，只有教師積極營造良好的課堂情感基調(diào)才能最大程度地讓學(xué)生在放松的狀態(tài)下去學(xué)習.由于試卷講評課是在考試之后進行的，許多學(xué)生還沉浸在考試的喜悅與悲傷之中，教師不能對此熟視無睹，尤其不能一味地責怪學(xué)生，否則就會使學(xué)生對講評課失去興趣，磨滅學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的探索欲望3．因此，要想上好講評課，教師首先要以表揚和鼓勵為線索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的長處，肯定學(xué)生的努力和進步.在教學(xué)中，教師為學(xué)生留下足夠的思維空間和探究機會，引導(dǎo)學(xué)生樂于闡述自己的理解，這是為了深層次的達成明確的教學(xué)目標、落實立德樹人的根本任務(wù)[4]．比如前文提及的，筆者對學(xué)生給出的新解法加以表揚，讓學(xué)生在表揚中獲得滿足感和努力學(xué)習帶來的榮譽感，從而增強學(xué)習的信心。

3.4始終保持學(xué)無止境的謙遜心態(tài)

一些教師上試卷講評課，習慣使用“智學(xué)網(wǎng)”“學(xué)科網(wǎng)”等教學(xué)輔助軟件進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，而后進行精準教學(xué)，學(xué)生錯哪講哪，絕不多講、節(jié)外生枝，惜時如金.類似筆者這次的試卷講評課，對教師自身的專業(yè)素養(yǎng)提出很高要求.筆者有幸曾參加在深圳中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考主辦的第一屆“問題·思維·素養(yǎng)”高中數(shù)學(xué)名師優(yōu)課觀摩研討會，會上張維忠教授的講座深入淺出、旁征博引，令我折服，此時筆者才慢慢明白古人為何會有才華橫溢一詞，這就是用來形容有真才實學(xué)的學(xué)者的.經(jīng)交流，得知張教授課前做了精心備講.大學(xué)者尚且如此認真，何況我們普通一線教師.備課過程中如何查詢試題解答類資料？筆者的一條經(jīng)驗是借助知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫，常規(guī)問題的解法基本可以在知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫中其他學(xué)者的一題多解文章中找到，甚至一些基于高等數(shù)學(xué)觀點給出的解答也能查詢到（由熱衷鉆研的老師提供）.因此，對待教師本身不熟悉或者難度較大的試題要抱著學(xué)習的態(tài)度進行知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫查詢，從中獲得更多更好的解法，豐富教師自身的知識儲備。

4.結(jié)語

數(shù)學(xué)試卷講評課實際上是一個非常復(fù)雜的工程，我們在教學(xué)中不僅僅要關(guān)注學(xué)科知識的累積，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習真正發(fā)生，在試卷講評的過程中實現(xiàn)對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，這才是教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)在要求.我們一線教師在進行試講講評教學(xué)中可以嘗試適當留白，因為教師的留白是學(xué)生創(chuàng)新的必要條件，這樣做不僅可以形成更好的民主課堂氛圍，也可以增加大家的表達機會.因此，我們有必要倡導(dǎo)留白創(chuàng)造式教學(xué)，為學(xué)生的學(xué)習留下一片可以探索的廣闊空間，這對學(xué)生的長線發(fā)展無疑是極為有益的，更是落實立德樹人最樸素的做法。

參考文獻

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系說明（2019年版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]洪麗敏.作業(yè)講評多“不妨”，生本評價促提升[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大），2024，（03）：1-3.

[4］張維忠.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入課程與教學(xué)［J].中小學(xué)教材教學(xué)，2023（03）.11.