教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)把握學(xué)生自主學(xué)習(xí)的課堂主體

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何凸現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主體地位一直是教師關(guān)注的重要目標(biāo).“平面向量基本定理”是平面向量模塊的關(guān)鍵一課，本文筆者就這節(jié)課開展了教學(xué)設(shè)計(jì)研究，現(xiàn)將設(shè)計(jì)整理如下，旨在與同行交流。

1.教學(xué)分析

1.1 教材分析

本節(jié)課是人民教育出版社2019年國家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過的《數(shù)學(xué)》（必修第二冊）第六章《平面向量及其應(yīng)用》中的第三小節(jié)“6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示”中的第一課時(shí)，是該單元的開篇內(nèi)容.作為平面向量模塊知識中的核心內(nèi)容之一，平面向量基本定理是用代數(shù)的方法（坐標(biāo)法）研究平面向量的基礎(chǔ)之一，為體現(xiàn)向量的工其性作用（向量是溝通幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的橋梁）提供了有力保證。

該節(jié)課是在前面平面向量的基本概念與基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，通過平面向量基本定理，合理引入與之相關(guān)的平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而給平面向量的坐標(biāo)表示與相關(guān)的運(yùn)算提供理論基礎(chǔ)，也為后面的其他綜合應(yīng)用等創(chuàng)造條件。

1.2 內(nèi)容本質(zhì)

平面向量基本定理的本質(zhì)是兩相交直線確定一個(gè)平面的向量表示，它是用向量對平面的一種定性刻畫.平面內(nèi)的基底是無窮多的，任意兩不共線的向量都可以作為一組基底，即平面內(nèi)的給定的向量可以用不同的基底來線性表示，既然這樣，我們可以選取較特殊的基底，互相垂直的向量作為正交基底，這樣就得到向量的正交分解；再進(jìn)一步特殊化，合理選取兩個(gè)互相垂直的單位向量，作為一組基底（此時(shí)往往稱為單位正交基底），就與平面直角坐標(biāo)系合理進(jìn)行聯(lián)系，進(jìn)而在坐標(biāo)系中來全面研究和表示向量.在直角坐標(biāo)系中取與坐標(biāo)軸方向一致的單位正交基底，任一向量用單位正交基底進(jìn)行分解之后再簡寫，就得出了向量的坐標(biāo)，因此，向量的坐標(biāo)其本質(zhì)上是向量在兩坐標(biāo)軸方向上的分量之和的簡寫形式。

有了向量的坐標(biāo)表示，前面所學(xué)習(xí)的向量加、減、數(shù)乘以及數(shù)量積均可以用坐標(biāo)來表示，其本質(zhì)還是向量的運(yùn)算，只是將向量分解成兩坐標(biāo)軸方向上的分量再進(jìn)行運(yùn)算。

1.3 學(xué)情分析

在平面中，對于給定的向量和給定的一組基底，向量用基底表示是唯一的.這種唯一性對學(xué)生來說理解起來是有困難的.體現(xiàn)在兩個(gè)方法，一是直觀地畫出圖形來驗(yàn)證；二是通過反證法來證明.前者是操作上的，后者是思維上的.這兩方面均是學(xué)生薄弱之處，特殊是反證法，學(xué)生接觸的不多，用的也較少。

1.4 知識關(guān)系

平面向量基本定理的上位知識是向量的加法和共線向量定理.共線向量定理由“一維”空間進(jìn)行延伸和擴(kuò)展到“二維”空間就得到了平面向量基本定理，如果再進(jìn)一步擴(kuò)展到“三維”空間就得到空間向量基本定理，這在后面的空間向量里會(huì)學(xué)習(xí)到.把平面向量基本定理放在空間里來看其實(shí)就是共面向量定理.另外，平面向量基本定理可以看作是向量的分解，它與向量的加法是互逆的。

1.5 思想方法

類比共線向量定理來研究平面向量基本定理，課本中涉及了類比思想，這是研究問題的一種重要思想方法.由基底的多樣性，選取特殊的基底一正交基底，再進(jìn)一步特殊化，選取與坐標(biāo)軸同方向的單位正交基底，得出向量的坐標(biāo)表示，這種研究問題的方式是用到了一般到特殊的思想.另外，向量離不開幾何表示，因此數(shù)形結(jié)合思想在本課時(shí)以及本單元的學(xué)習(xí)中貫穿始終。

1.6 育人價(jià)值

平面向量基本定理可以看成是物理中力的分解的數(shù)學(xué)抽象，選取單位正交基底，相當(dāng)于是物理中的力的正交分解.從具體事例抽象出數(shù)學(xué)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).平面向量基本定理，以及接下來要學(xué)習(xí)的向量的坐標(biāo)表示以及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示均涉及幾何意義，涉及數(shù)與形的結(jié)合，這些內(nèi)容均能培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).本課時(shí)以及本單元中涉及較多的運(yùn)算和證明，可有效提升學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

1.7 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解平面向量基本定理及其意義；

（2）會(huì)利用平面向量基本定理解決簡單的平面幾何問題.

1.8 重點(diǎn)難點(diǎn)

（1）課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程（2）課時(shí)教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程及對定理的證明。

2.教學(xué)過程

2.1 自主學(xué)習(xí)，檢測糾誤

（1）認(rèn)真自學(xué)課本 的內(nèi)容，記住本小節(jié)的相關(guān)概念；

（2）自學(xué)檢測糾誤：教科書第27頁練習(xí)第1，2，3題.

練習(xí)：教科書第27頁練習(xí)第1，2，3題（見教材相關(guān)題目，這里略）。

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，小組代表板書進(jìn)行展示作為課堂前測，科班長點(diǎn)評黑板抽測學(xué)生的預(yù)習(xí)結(jié)果，每組的小組長負(fù)責(zé)檢查小組組員的預(yù)習(xí)結(jié)果。

設(shè)計(jì)意圖 通過必修第二冊教材27頁的3道練習(xí)，理解并能對平面向量基本定理進(jìn)行應(yīng)用，達(dá)到鞏固內(nèi)化的效果。

2.2 合作學(xué)習(xí)，建構(gòu)新知

合理引入：向量數(shù)乘運(yùn)算刻畫了共線向量間的關(guān)系，也反映了數(shù)與形的結(jié)合.而基于共線向量定理，其研究的是“一維”空間上向量之間的共線關(guān)系.那么對于“二維”平面中向量之間的共面關(guān)系又會(huì)是怎樣的一種情景呢？

問題1 如圖1，對于力 F 的分解，可以有多種情況；對于向量 的分解呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生合理類比，以及知識的回憶、觀察、討論、板書，啟發(fā)學(xué)生以力的分解為背景，引出向量的分解，分組講解。

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟悉的物理背景引入向量的分解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性

問題2 （教材第25頁探究欄目內(nèi)容）如圖2，圖3所示.

師生活動(dòng)：教師合理引導(dǎo)學(xué)生分小組進(jìn)行觀察、思考、討論，并在此基礎(chǔ)上加以操作、嘗試、探究，教師巡視、指導(dǎo)，分小組討論后由小組代表展示。

預(yù)設(shè)答案：若 與 都不共線，存在實(shí)數(shù) ，使

追問1：如果向量 是這一平面內(nèi)與 中的某一個(gè)向量共線的非零向量，你能用 表示 嗎？

追問2：在追問1條件下， 是零向量呢？

預(yù)設(shè)答案：若 與 （或 ）共線，存在實(shí)數(shù) ， ，且 （或 ），使 中

特別地，若 ，存在 ，使

綜上所述，當(dāng) 不共線時(shí)，平面內(nèi)任一向量 都能用向量 表示.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生思考、操作、交流，探究平面上向量的關(guān)系。

問題3以上問題中，由一個(gè)向量與兩個(gè)不共線向量之間的線性表示形式是唯一的嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考、交流小組通過討論得到，假設(shè)這種表示形式不唯一，即 還可以表示為 的形式，那么 由向量 不共線，設(shè)法證明 .小組討論講解，學(xué)生嘗試證明，教師評價(jià).

問題4 請歸納總結(jié)得出平面向量的基本定理

平面向量基本定理如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實(shí)數(shù) ，使

同時(shí)給出基底的概念等。

師生活動(dòng)：學(xué)生歸納，教師補(bǔ)充引導(dǎo)

2.3深度學(xué)習(xí)，啟發(fā)精講

例1（教材第26頁例1）如圖4， 不共線，且 ，用0A， 表示

師生活動(dòng)：先由學(xué)生分小

組以及各個(gè)嘗試獨(dú)立來表示，圖4

教師加以視察并個(gè)別指導(dǎo)，交

通過小組交流、反饋，結(jié)合教師點(diǎn)評來綜合與應(yīng)用。

追問：觀察例1的結(jié)論 你可以從中發(fā)現(xiàn)什么？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例的結(jié)論出現(xiàn)，并結(jié)合圖形加以直觀想象，得到進(jìn)一步的結(jié)論：我們還發(fā)現(xiàn)了一種證明三點(diǎn)共線的方法，即如果 ，則 三點(diǎn)共線的充要條件為 m + ：

設(shè)計(jì)意圖 該例題也是定比分點(diǎn)公式的向量形式，其是平面向量的基本定理的一個(gè)重要推廣性結(jié)論.

例2（教材第26頁例2）如圖5，CD是 Δ A B C 的中線， ，用向量方法證明 Δ A B C 是直角三角形.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思

考，探尋解決問題的思考的思路，以及相應(yīng)的解題思路的合理分解與應(yīng)用.學(xué)生在黑板上寫出證明過程，師生共同完善，規(guī)范書寫。

設(shè)計(jì)意圖 通過本例題，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建平面幾何、平面向量之間的聯(lián)系，以及借助平面向量的線性運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)平面幾何問題中的證明與應(yīng)用問題。

2.4 歸納總結(jié)，反思提升

設(shè)置如下問題加以系統(tǒng)分析：

（1）請敘述平面向量基本定理，并指出定理中的關(guān)鍵點(diǎn)與注意點(diǎn).（2）請敘述平面向量基本定理與共線向量基本定理的關(guān)系.（3）說明平面向量基本定理的作用.師生活動(dòng)：適當(dāng)提問學(xué)生來回憶、歸納、總結(jié)，教師適當(dāng)概括和優(yōu)化學(xué)生的回答，達(dá)到突出重點(diǎn)的目的。

設(shè)計(jì)意圖 以提綱的形式幫助學(xué)生梳理平面向量基本定理的定理探究過程，感悟數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等基本數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

2.5 課堂檢測，知識內(nèi)化

檢測內(nèi)容：必修第二冊教材P36頁習(xí)題6.3第1，11 題。

設(shè)計(jì)意圖 通過課堂檢測環(huán)節(jié)，強(qiáng)化學(xué)生對于本節(jié)課知識內(nèi)容的掌握情況，將知識的學(xué)習(xí)落到實(shí)處，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生知識的內(nèi)化與應(yīng)用能力。

布置作業(yè)：必修第二冊教材 P 6 0 頁復(fù)習(xí)參考題6第3，16題。

3.教學(xué)反思

3.1 思維升華，能力提升

在教學(xué)流程中，我們以“向量數(shù)乘運(yùn)算刻畫了共線向量間的關(guān)系，也反映了數(shù)與形的結(jié)合.而共線向量定理給我們研究向量共線帶來了極大的方便，那么共線向量定理能不能推廣的平面上呢？”作為引人，實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對向量之間關(guān)系的認(rèn)識從“一維”層面過渡到“二維”層面有一定難度，教師應(yīng)給予學(xué)生更多的獨(dú)立思考時(shí)間，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“一維”到“二維”層級的躍遷。

3.2 數(shù)學(xué)語言，嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)

在教學(xué)流程中，對于相關(guān)問題：請歸納總結(jié)得出平面向量的基本定理.學(xué)生規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)有所欠缺，對于“不共線”、“任一”、“有且只有”等數(shù)學(xué)專用語存在一些認(rèn)知上的障礙，嘗試歸納不能表達(dá)清晰與全面.日常的教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生對準(zhǔn)確數(shù)學(xué)語言的表述與理解，全力培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光來合理看待世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維來針對思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言來合理表達(dá)世界等方面的能力。