促進數(shù)學思維自然生長的問題驅動教學研究

著名的數(shù)學教育家斯托利亞指出：“數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，而不僅是數(shù)學活動的結果數(shù)學知識的教學[.”所以，教師應該以把握數(shù)學知識結構為基礎，進行深度思考，整合教材，遵循學生的認知結構和思維習慣，設計一系列的教學活動，引導學生積極參與，不僅學習知識，同時提升數(shù)學思維.近幾年新高考數(shù)學試卷基于高考評價體系，切實貫徹“低起點，多層次，高落差”的高考命題調控策略，引導高中數(shù)學的導向與高考選拔的功能，切實把握試卷的區(qū)分度、信度與效度2.隨著新一輪課改的不斷推進，高考命題深化基礎性的考查，引導教學回歸教材，回歸基本概念，這時數(shù)學一輪復習顯得尤為重要.在高三一輪復習教學過程中，如何以問題為驅動，有效設計“問題鏈”，促進學生深度思考，進而促進數(shù)學思維自然生成，顯得尤為重要.筆者以“函數(shù)的概念及其表示方法”一輪復習教學為例，談談幾點認識。

一、學習內容分析

本節(jié)課復習的內容是函數(shù)的概念及其表示方法，包含判斷一個對應是否為函數(shù)，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的解析式等學習內容.在高一時，學生已經通過新授課學習了以上內容，但是由于間隔時間長，而且函數(shù)比較抽象，學生對函數(shù)只有零散知識的記憶，沒有形成知識網(wǎng)絡，對函數(shù)沒有深層次的理解，而解決這些問題最根本的還是函數(shù)的概念，所以本節(jié)課的重點和難點均為函數(shù)概念的理解與應用。

二、復習目標設置

（1）從具體實例中抽象出函數(shù)的特征，并能用數(shù)學符號語言表達，理解函數(shù)的概念，提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)；（2）能判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，會求具體函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域，會求函數(shù)的解析式，并總結求函數(shù)解析式的方法，提升總結歸納能力；（3）通過已有學習經驗，自主探究如何求函數(shù)的解析式，提高解決數(shù)學問題能力，發(fā)展邏輯推理等核心素養(yǎng)；（4）回顧研究函數(shù)的過程，進一步體會學習基本概念的一般方法，促進自主學習能力提升，促進深度學習。

三、教學過程設計

1．創(chuàng)設情境，抽象概念

問題1 下列圖象中，表示函數(shù)關系 y = f （ x ） 的是（ ）.

師：我們研究了很多初等函數(shù)模型，可讓我們判斷一個對應是否為函數(shù)，卻出現(xiàn)的了問題.本題考查的是函數(shù)的概念，我們一起來回憶一下什么是函數(shù).在八年級時，我們就接觸函數(shù)的概念：在某變化過程中，存在兩個變量 x ， y ，對于 x 在某個范圍內取一個值， y 隨著 x 的變化而變化，那么我們就稱 y 是 x 的函數(shù).到了高中階段，我們先學習了集合的概念，在集合的基礎上，我們又重新給函數(shù)做了定義：設 A ， B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系 ，使對于集合A中的任意一個數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f （ x ） 和它對應，那么就稱 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù).記作： y = f （ x ） ？ x ∈ A . 其中 x 叫做自變量， 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 叫做函數(shù)的值域.如果按照函數(shù)的概念，我們很容易判斷出來選 D 選項

子問題1-1我們看到 B 選項為圓，聯(lián)想到圓的方程，那么方程和函數(shù)之間是什么關系？試舉例說明.

生 ：函數(shù)構成的集合應該是方程構成的集合的子集.比如 這個可以理解為二次函數(shù)，也可以理解為拋物線的方程，而 卻是曲線的方程，不是函數(shù)。

子問題1-2根據(jù)函數(shù)的概念，函數(shù)有三個要素，即定義域A，對應法則 f 和值域 C . 那么，值域 C 和概念中的集合 B 之間什么關系？

生 . 2 ：任取一個函數(shù)值 y 均在集合 B 中，那么值域C 應該是集合 B 的子集

設計意圖 通過問題回顧函數(shù)的概念，一方面可加強學生對函數(shù)的概念的理解，另一方面可幫助學生學會從概念出發(fā)解決問題.一輪復習是建立在學生已經學習完高中所有知識后進行的，在這里將函數(shù)概念與曲線的方程作對比，幫助學生建立數(shù)學知識網(wǎng)絡，學會用聯(lián)系的眼光看問題.

2.問題驅動，深入探究

問題2 （多選）下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是（ ）。

A. 與 B f （ x ） = x - 1 與 （204號 C. 與 D. 與

生 B 選項定義域不同， D 選項值域不同，所以 AC.

子問題2-1 我們應該如何判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)？

生 . 4 ：看定義域和值域是否相同。

生 . 5 ：我認為生 . 4 說得不對，如函數(shù) 和 y = 的定義域和值域都相同，但解析式不同，不是同一個函數(shù).我認為應該看定義域和對應法則即可.因為當函數(shù)的定義域和對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。

設計意圖 通過問題解決可加深學生對函數(shù)概念及三要素的理解，也為研究三要素作知識鋪墊.對于一般性的結論，往往在理解上學生會出現(xiàn)一定的問題，本節(jié)課多次應用舉特例的方式，幫助學生理解問題，分析問題和解決問題，體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學方法。

師：我們已經知道了函數(shù)有三個要素，現(xiàn)在我們先從定義域開始研究，

問題3 函數(shù) 的定義域是一 ）.

A.（0，1）U（1，4] B. （0，4] C. （0，1） D.

師：有部分學生選擇 B ，出現(xiàn)這個問題的原因是沒有注意到 ，正確答案為 A

子問題3-1 給出一個具體函數(shù)，我們該如何求定義域？

生 ：只要保證函數(shù)有意義就可以.

子問題3-2 分別寫出以下式子有意義的條件： （其中 a gt; 0 ，且 ≠ 1 ）.

子問題3-3 有意義嗎？如果有意義等于多少？

設計意圖 通過對求定義域可能出現(xiàn)的表達式進行總結，加強學生對這類式子的認識，出現(xiàn)即想到其滿足的條件.也可以提升學生總結歸納的意識.通過 成立條件的的追問，幫助學生理解 的意義，熟悉指數(shù)冪的運算，激發(fā)學生的探究精神

問題4 （2021·安慶期中）已知函數(shù)

的定義域是[-1，1]，則函數(shù) 的定義域是（ ）

A.[-1，1] C.[1，3]D.[√3，9]子問題4-1 兩個函數(shù)中的 x 是同一個 x 嗎？

子問題4-2 兩個函數(shù)的聯(lián)系是什么？

子問題4-3 定義域是什么的范圍？

設計意圖 通過以上3個子問題，給學生理解復合函數(shù)的定義域問題鋪設臺階，逐步遞進，進而幫助學生理解復合函數(shù)求定義域只需解決兩個問題即可，一是括號內整體的范圍相同，二是定義域為自變量 x 的取值集合.不僅如此，通過對問題解決過程分析，提升學習分析問題、解決問題的能力。

問題5 （2021·石家莊調研）若函數(shù) y = 的定義域為 R ，則實數(shù) a 的取值范圍 是（ ）。

子問題5-1 這個問題應該如何轉化？

生 ：問題可以轉化為 恒成立

子問題5-2 這個不等式稱為“類二次不等式”，如何理解“類”？

生。：類是像的意思，可能是二次不等式，也不能不是二次不等式，與 是否為0有關，所以本題應該分類討論。

設計意圖 一要會翻譯已知定義域，二要會處理有關“類二次不等式”的問題，要有分類討論的意識，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣.

師：現(xiàn)在定義域我們已經研究結束了，緊接著是對應法則，如何求解析式，這里面的問題比較多，我們一一來看.

問題6 根據(jù)下列條件求各函數(shù)的解析式

（1）已知 f （ x ） 是一次函數(shù)，且滿足 3 f （ x + 1 ） 1f （ x ） = 2 x + 9 ，求 f （ x ） 的解析式；

（2）已知 ，求 f （ x ） 的解析式；

（3）已知 ，求 f （ x ） 的解 析式.

師：第一題基本沒有問題，應該使用的是待定系數(shù)法；第二題要求 f （ x ） ，括號內是 ，該怎么辦？

生 ：可以換元，令 ，則 $x = ＼left（ t - ＼hat ＼right.$ ，所以 ，即

師：說得很好！通過換元解決括號內復雜的整體，還注意到了換元后 的范圍，非常嚴謹

子問題6-1 已知 x2，求f （ x ） 的解析式。

師：第三題求 f （ x ） 的解析式，即用 x 表示 f （ x ） ：這里面不需要 ，而以上等式對任意 x 都成立，可以對 x 賦值.可以怎么辦？

生 ：可以用 代替 x ，得到 -2，只要將 消掉即可.

子問題6-2 已知 ，求f （ x ） 的解析式.

子問題6-3 通過以上五題，你能總結求函數(shù)解析式有哪些方法？

設計意圖 通過對問題的變式，讓學生進一步鞏固換元法（配湊法）、解方程組法求解函數(shù)解析式，著重強調換元要寫換元后t的范圍，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W精神.通過學生。

3．總結概括，形成經驗

問題7本節(jié)課我們研究了哪些內容？是如何研究的？還有哪些問題可以研究？

設計意圖 通過回顧研究函數(shù)的全過程，使學生進一步體會研究數(shù)學概念的一般方法，形成一般性思維策略，幫助學生學會學習.通過提問題還有哪些問題可以研究，再聚焦“核心知識”，同時具有一定的發(fā)散性，促進學生對函數(shù)深度思考。

四、有關一輪復習課堂有效性的幾點思考

1.情境預設，促進問題生成，幫助學生對數(shù)學概念、公式、性質等的理解

情境是外部問題與內部知識經驗條件的適當沖突，使之能引起最強烈的思考動機和最佳的思維活動的一種學習驅動氛圍[3].一個好的情境是數(shù)學課堂教學效果好的前提條件，一個好的情境要與本節(jié)課的教學內容緊密相連，一個好的情境可以促進問題生成，一個好的情境可以激發(fā)學生探究的欲望，只有這樣能讓學生的數(shù)學思維自然生成.在本課例中，通過讓學生觀察幾個常見的曲線，拋出哪個是函數(shù)圖象的問題，激發(fā)學生回憶函數(shù)的概念.而選項 A ， B 是學生熟知的解析幾何的內容：拋物線和圓.學生自然會聯(lián)想到方程和函數(shù)之間又是什么關系，這樣層層深人提問，不僅能加深學生對函數(shù)概念的理解，而且可以讓學生建立知識網(wǎng)絡，健全知識體系，這樣的情境能夠不斷的促進數(shù)學思維持續(xù)產生，促進問題生成，為后面的深入研究作知識和思維鋪墊。

2.問題探究，設計“問題鏈”，促進學生深度思考，優(yōu)化思維品質

合理的“問題鏈”，不僅可以調動學生學習的積極性，而且可以引發(fā)學生的思考.為了能夠使探究過程有效進行，要找到“問題鏈”的出發(fā)點和落腳點，精心設置問題，引導學生思考，問題與問題之前要注意銜接自然，讓學生在思考過程中體驗有無到有，由表及里，由淺入深，由特殊到一般的活動經驗，促進數(shù)學思維自然、持續(xù)的生長.在本課例中，總結完函數(shù)的三要素，自然要開始一一研究，而抽象函數(shù)定義域的問題是一個研究的難點，通過提問如何求具體函數(shù)的定義域，讓學生理解定義域的本質意義，緊接著給出抽象函數(shù)的定義域問題，有了具體函數(shù)的定義域的研究經驗，抽象函數(shù)定義域的求解過程就容易理解了.在研究如何求函數(shù)解析式的問題時，由前兩個問題，可以讓學生很自然地想到求解析式就是找函數(shù)值與自變量之間的等量關系，第三個問題中出現(xiàn) ，學生自然會想到將 消掉，進而聯(lián)想到再建立一個方程，實現(xiàn)消元目的.通過以上的數(shù)學探究，促進了學生對數(shù)學概念的理解，也是培養(yǎng)數(shù)學思維的必由之路.在數(shù)學探究中，有一些基本策略，如類比發(fā)現(xiàn)、由特殊到一般，轉化與化歸等，在日常教學中，要加以滲透，潛移默化中學生的思維得以優(yōu)化。

3.回顧總結，促進反思，完善知識結構，積累數(shù)學活動經驗

一輪復習的重要任務之一是幫助學生建立完善的知識體系，形成良好的認知結構.為了達成這一目標，不僅要通過問題將知識網(wǎng)絡建立起來，而且要在課堂結束之前，預留一定的時間，讓學生去思考，去總結本節(jié)課的學習內容，是如何研究的，如何解決某一類問題，完善學生的知識結構，積累豐富的數(shù)學活動經驗，讓學生有一定的獲得感.有反思總結，就有思維的發(fā)生.在本課例中，讓學生總結了求函數(shù)解析式的一般方法，今后學生在遇到該類問題時，就有法可循了，做到心中有數(shù)，對該內容的認識也會更加清晰，提高一輪復習的有效性。

總之，在一輪復習中教師要善于結合教學實際，合理設計“問題鏈”，以問題為驅動，讓學生在教師的引導下積極探究、積極思考，促進學生思維的自然生長。

參考文獻

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[3]方立新，劉新春.促進數(shù)學高階思維實現(xiàn)的問題驅動教學［J].數(shù)學通報，2023（4）.