大單元視角下恒成立復(fù)習(xí)課的教學(xué)探索 南京航空航天蘇州附屬（215000）

以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)需要大單元的教學(xué)設(shè)計(jì)[1]，伴隨著課改的深人，大單元教學(xué)受到廣大教師的關(guān)注.大單元教學(xué)主張借助大觀念、大問題或大項(xiàng)目按照學(xué)習(xí)邏輯構(gòu)建相對(duì)獨(dú)立且完整的學(xué)習(xí)事件，以實(shí)現(xiàn)整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展，這既是學(xué)科核心素養(yǎng)落地的自然需求，也是課堂教學(xué)的應(yīng)然追求.本文以“恒成立的綜合問題”為載體，探究大單元視角下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的實(shí)踐與思考。

1.教學(xué)案例

《恒成立的綜合問題》這一單元在復(fù)習(xí)時(shí)需要串聯(lián)四個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合：與恒成立有關(guān)的概念辨析；函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題；數(shù)列中的恒成立問題；解析幾何中的恒成立問題.復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)要體現(xiàn)出知識(shí)回顧到能力提升的目標(biāo)。

1. 1 與恒成立有關(guān)的概念辨析

例1 （2022·新高考乙卷文科第16題）若 f （ x ） 是奇函數(shù)，則 $b = ＼_$

解法1 因?yàn)? 由 f （ x ） （20 是奇函數(shù)得

1 時(shí)，即 ，因?yàn)樯鲜胶愠闪ⅲ裕╝ + 1）2e2 ，解得 當(dāng) 時(shí)，即（202 ，因?yàn)樯鲜胶愠闪?，所? ，無解.

綜上所述，

解法2 因?yàn)楹瘮?shù) 為奇函數(shù)，所以其定義域 I 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.顯然 于是可知 當(dāng) x = - 1 時(shí)， ，從而 即 ，所以 再由 f （ 0 ） = 0 可得 當(dāng) 時(shí)， ，在定義域內(nèi)滿足 f （ - x ） = - f （ x ） ，從而f （ x ） 是奇函數(shù)

跟蹤訓(xùn)練1（蘇教版[2]普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修第一冊(cè)114頁練習(xí)第8題》）判斷下列說法是否正確：

（1）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 滿足 f （ 2 ） gt; f （ 1 ） ，則函數(shù) f （ x ） 是 R 上的增函數(shù)；

（2）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 滿足f（2）gt;f （ 1 ） ，則函數(shù) f （ x ） 在 R 上不是減函數(shù)；

（3）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) f （ x ） 在 R 上是增函數(shù)；（4）若定義在 R 上的函數(shù) f （ x ） 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 （ 0 ， + ∞ ） 上也是增函數(shù)，則函數(shù) f （ x ） 在 R 上是增函數(shù).

解函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)恒成立概念，以單調(diào)遞增為例：對(duì)于 ，當(dāng) 時(shí)，都有函數(shù) ，那么就稱函數(shù) f （ x ） 在 D 上單調(diào)遞增.“任意”、“都有”這兩關(guān)鍵詞表明這是一個(gè)不等式恒成立問題，范圍限制在 D ，即單調(diào)遞增是在 D 上恒成立，這表明單調(diào)性反映的是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì).因此，要保證函數(shù)單調(diào)性就必須保證在 D 上恒成立，而否定單調(diào)性，主要否定恒成立，只需要找到反例即可.所以（1）（4）錯(cuò)誤，（2）（3）正確。

設(shè)計(jì)意圖 從函數(shù)的單調(diào)性概念、奇偶性概念的定義可以看出它們都是一個(gè)恒成立概念，它們的區(qū)別在于三點(diǎn)：（1）單調(diào)性反映的是函數(shù)在定義域某個(gè)區(qū)間上的局部性質(zhì)，奇函數(shù)反映的是函數(shù)的整體性質(zhì)；（2）單調(diào)性反映的是滿足一定條件下的不等式恒成立問題，而奇偶性反映的是滿足一定條件下的等式恒成立問題.（3）奇偶性反映的是一個(gè)單變量恒成立；單調(diào)性反映的是一個(gè)雙變量恒成立問題.試題的設(shè)置旨在提升學(xué)生從恒成立這一視角整體審視已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理的能力及感悟常用邏輯用語中的量詞與數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性關(guān)系，在試題的解決過程中，掌握基于定義解題的一般方法，同時(shí)又能體會(huì)基于必要性成立而采用先特殊值探路再檢驗(yàn)充分性這一重要方法，從而訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性.在問題的分析與解決過程中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

1.2 函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題

在上一個(gè)關(guān)于恒成立的模塊中，主要通過對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性與奇偶性等的考察，讓學(xué)生體會(huì)恒成立、能成立概念，掌握用概念、定義解決恒成立問題.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中恒成立問題是進(jìn)階學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)考察的重點(diǎn)，所以圍繞函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中恒成立問題開展理論和實(shí)踐教學(xué)也就成為高三復(fù)習(xí)課的自然需求。

例2已知函數(shù) （其中 為常數(shù)），其圖象是曲線

（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) f （ x ） 的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù) f （ x ） 的導(dǎo)函數(shù)為 ，若存在唯一的實(shí)數(shù) ，使得 與 同時(shí)成立，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍；（3）已知點(diǎn) A 為曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn) A 處作曲線 c 的切線 與曲線 c 交于另一點(diǎn) B ，在點(diǎn) B 處作曲線 的切線 ，設(shè)切線 的斜率分別為 問：是否存在常數(shù) λ ，使得 ？若存在，求出 λ 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解（1）（2）略；

（3）設(shè) ，則函數(shù)在點(diǎn) A 處切線方程為 ，與曲線 C ： y = f （ x ） 聯(lián)立方程組得 ，即 ，所以 （20 由題意知 若存在常數(shù) λ ，使得 ，則 （204號(hào) 恒成立，即 恒成立，所以存在常數(shù) λ 使得 解得

跟蹤訓(xùn)練2（2024年新高考全國 卷第8題）設(shè)函數(shù) ，若 f （ x ） ≥ 0 ，則 的最小值為（ ）.

解 f （ x ） ≥ 0 恒成立，從代數(shù)上即函數(shù)值非負(fù)，從幾何上來看，即函數(shù) 圖像上沒有點(diǎn)位于x 軸下方.觀察發(fā)現(xiàn) y = f （ x ） 是由兩個(gè)函數(shù) 與 構(gòu)成，而要保證 y = f （ x ） 函數(shù)值非負(fù)，即要求 與 同號(hào)，在幾何上即要求兩函數(shù)圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，所以 - a = 1 - b ，即 b = a + 1 ，則 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，所以 的最小值子 故選

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題大體可以分為等式恒成立與不等式恒成立.主要從代數(shù)與幾何兩個(gè)方面去解決.以等式恒成立問題解決為例，要善于將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的恒成立，繼而利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，建立方程并解方程.當(dāng)然基于靈活性，也可以先對(duì)變量賦值，采用“特值引路”，即先尋求恒成立的必要條件，再保證充分條件，從而完成充要性證明.對(duì)于不等式恒成立則經(jīng)常采用“特值引路”，但若能從幾何角度出發(fā)，即從函數(shù)圖像上思考，對(duì)于問題的解決，往往思路更清晰，過程更簡潔，計(jì)算更準(zhǔn)確。

1.3 數(shù)列中的恒成立問題

前面研究了函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）中的恒成立問題的解決方法，而數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此，對(duì)數(shù)列中恒成立問題的研究也是自然的

例3（2021全國文科甲卷18題）記 為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，已知 ，且數(shù)列 是等差數(shù)列，證明： 是等差數(shù)列.

析解 問題的解決關(guān)鍵在于條件與結(jié)論的理解，事實(shí)上條件是恒成立等式，所證結(jié)論也是恒成立等式，因此，只要能求出 ，則 自然得到.問題也就自然解決了.數(shù)列 是等差數(shù)列，即 1 由此看出 是一個(gè)關(guān)于 n 的恒成立等式，而由于 表達(dá)式不明確，因此，采用“特值引路”方法對(duì) n 賦值.令 n = 1 ，則 ，所以 ，所以 ；當(dāng) n ？ 2 時(shí)，有 由 ① ② 得 ，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) 時(shí)也滿足③ 所以 ，當(dāng) n ？ 2 時(shí)， ，所以數(shù)列 是等差數(shù)列.

跟蹤練習(xí)3（2021年浙江卷20題）已知數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 且

（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列 滿足 ），記 的前 n 項(xiàng)和為 若 對(duì)任意 n 恒成立，求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍.

答案 ；（2）-3≤λ≤1.

設(shè)計(jì)意圖對(duì)于題目中條件中沒有明顯恒成立字眼的題目，要善于挖掘概念、條件中蘊(yùn)含的恒成立信息，譬如，例3中的等差數(shù)列概念本質(zhì)上就是一個(gè)恒成立條件.恒成立問題是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)試題中條件的分析、理解、轉(zhuǎn)化能力的一個(gè)腳手架，因?yàn)榇罅康臄?shù)學(xué)知識(shí)中都蘊(yùn)含著恒成立信息，如周期性、最值概念、基本不等式、線面垂直的概念、橢圓、雙曲線、拋物線的定義、等差數(shù)列、等比數(shù)列概念與通項(xiàng)公式、平面向量基本定理等等。

1.4 解析幾何中的恒成立問題

在高中數(shù)學(xué)解析幾何中經(jīng)常研究定點(diǎn)定值問題，或者所求目標(biāo)恒小于給定值等問題，本質(zhì)上都屬于恒成立問題.因此自然想到將恒成立與解析幾何綜合起來的問題。

例4（2024年天津卷18題）已知橢圓 = 1 （ a gt; b gt; 0 ） 的離心率 左頂點(diǎn)為 A ，下頂點(diǎn)為 是線段 的中點(diǎn)，其中

（1）求橢圓方程；

（2）過點(diǎn) 的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn) P ， Q . 在 y 軸上是否存在點(diǎn) T 使得 恒成立.若存在求出這個(gè) T 點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說明理由.

解（1）易得橢圓方程為

（2）若過點(diǎn) 的動(dòng)直線的斜率存在，則 可設(shè)該直線方程為 設(shè) ， ， ， 由 可得 ，故

且 = 3+4k2，而TP = （x，1-1），（204號(hào) ，故 （2號(hào) ，因?yàn)? 恒成立，故

（204號(hào)

解得 （204號(hào)

若過點(diǎn) 的動(dòng)直線的斜率不存在，則 P （ 0 ， 3 ） ， Q （ 0 ， - 3 ） 或 P （ 0 ， - 3 ） ， Q （ 0 ， 3 ） ，此時(shí)需 - 3 ？ t ？ 3 ，兩者結(jié)合可得 （202

綜上，存在 使得Tp.TQ≤0恒成立.

鞏固訓(xùn)練4 已知橢圓 E 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為 x 軸 軸，且過 兩點(diǎn)（1）求 E 的方程；（2）設(shè)過點(diǎn) P （ 1 ， - 2 ） 的直線交 E 于 M ， N 兩點(diǎn)，過 M 且平行于 x 軸的直線與線段A B 交于點(diǎn) T ，點(diǎn) H 滿足 證明：直線 H N 過定點(diǎn)

解（1）易得 E 的方程為 ，所以 （20號(hào) ① 若過點(diǎn) P （ 1 ， - 2 ） 的直線斜率不存在，直線 x 代人 得 代入 A B 方程 x-2，得T（√6+3，2√） 由MT 得到 .求得 H N 方程 y = （ 2 ，過點(diǎn)（0，-2）.

② 若過點(diǎn) P （ 1 ， - 2 ） 的直線斜率存在，設(shè) k x - y

（20號(hào) （20

聯(lián)立 得

，可得

聯(lián)立 $＼left＼{ { ＼begin{array} { l } { ＼displaystyle y = y _ { 1 } ， } ＼＼ { ＼displaystyle } y = ＼frac { 2 } { 3 } x - 2 ， } ＼end{array} ＼right.$ （204

可得 .可求得此時(shí)

將 （ 0 ， - 2 ） ，

代人整理得

，將 代人得

，顯然成立.

綜上，可得直線 H N 過定點(diǎn)（0，-2）。

設(shè)計(jì)意圖求定點(diǎn)、定值問題是解析幾何中常見的恒成立問題，基本的解決方法有兩種： ① 從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值，再證明這個(gè)定點(diǎn)、定值與變量無關(guān)； ② 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.對(duì)于求解解析幾何中的恒小于（大于）給定值問題，則需要將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為變量的函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒小于（大于）給定值問題.解析幾何中的恒成立問題，綜合性強(qiáng)，難度大，主要考察學(xué)生對(duì)問題的理解、轉(zhuǎn)化能力，并綜合了代數(shù)推理能力及計(jì)算能力，是解析幾何考查的重要領(lǐng)域。

2 教學(xué)啟示

教師應(yīng)以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，而主題、單元教學(xué)是本次課改強(qiáng)調(diào)的一個(gè)重點(diǎn)，因此，大單元教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要探索通過怎樣的途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值.教師不能照本宣科地教教材，特別是在高三復(fù)習(xí)階段，要從課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)走出來，將關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、邏輯性連貫的知識(shí)凝練和提升，將其轉(zhuǎn)化、重組為有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)大單元所建構(gòu)的大單元教學(xué)，從教學(xué)內(nèi)容上要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，主要體現(xiàn)在以下三點(diǎn)：

（1）同一主題內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，主要包括一個(gè)內(nèi)容的不同認(rèn)識(shí)層次、不同角度的認(rèn)識(shí)之間內(nèi)在的一致性、關(guān)聯(lián)性，以及認(rèn)識(shí)不同方面內(nèi)容所采用的類似過程與思想方法；（2）整合具有內(nèi)在聯(lián)系的不同內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性；（3）不同數(shù)學(xué)思想與方法之間相互融合，形成具有統(tǒng)一性、內(nèi)在一致性的數(shù)學(xué)一般觀念，這是最高層面上體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，其統(tǒng)攝性最強(qiáng)、適用性最廣。

所建構(gòu)的大單元教學(xué)，在編制單元目標(biāo)時(shí)教師要依據(jù)學(xué)習(xí)結(jié)果分類的理論為教學(xué)目標(biāo)定性，并據(jù)此陳述目標(biāo).無論陳述的是單元目標(biāo)還是課時(shí)目標(biāo)，教師都必須注意：（1）目標(biāo)陳述的必須是學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果（即行為的主體必須是學(xué)生）；（2）目標(biāo)陳述必須明確、具體，最好用“學(xué)生能夠（或?qū)W會(huì)） 動(dòng)詞 名詞”的方式予以陳述；（3）應(yīng)注意單元教學(xué)目標(biāo)與課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)在一致性，能闡述提出教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)，能體現(xiàn)“分析”的思維要素，（4）教學(xué)目標(biāo)的具體表述要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融人教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程。

所建構(gòu)的大單元教學(xué)，在教學(xué)過程設(shè)計(jì)上主要以“問題串”方式呈現(xiàn)，而且“問題串”就是整節(jié)課的教學(xué)主線.所提出的問題應(yīng)當(dāng)注意適切性，主要衡量標(biāo)準(zhǔn)為：（1）反映內(nèi)容的本質(zhì)；（2）在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)；（3）具有可發(fā)展性，使學(xué)生能從模仿過渡到自主提問。

課程標(biāo)準(zhǔn)、教材屬于“理想課程”，需要通過課堂教學(xué)才能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的行動(dòng).課堂教學(xué)是落實(shí)落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，大單元教學(xué)使得課堂教學(xué)不僅適應(yīng)不同層次的學(xué)生，同時(shí)基于大問題、大任務(wù)引導(dǎo)幫助學(xué)生樹立整體性、結(jié)構(gòu)化觀念，提升應(yīng)對(duì)復(fù)雜情境、綜合情境分析能力，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光分析、與解決問題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能。

參考文獻(xiàn)

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