在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅關(guān)注知識的掌握,還強調(diào)學(xué)生思維能力的形成,其中數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象能力的提升尤為重要。教師通過科學(xué)、合理的情境創(chuàng)設(shè),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,并借助已掌握的知識工具進(jìn)行分析和求解,有助于深化其對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。本文以“探究旋轉(zhuǎn)拋物體的體積”為案例,研究如何通過科學(xué)的情境創(chuàng)設(shè),使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題出發(fā),運用坐標(biāo)法、祖晅原理、積分思想等方法建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化求解策略,從而有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
一、內(nèi)容分析
本節(jié)課的核心問題是如何計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積。該問題的解決方案可以借助祖晅原理:“冪勢既同,則積不容異。\"即若兩個被平行平面所截的幾何體在任一平行截面上的面積恒等,則它們的體積相等。祖恒原理的思想與微積分的基本概念相吻合,即先對幾何體進(jìn)行分割(微分),再求整體(積分),顯示出我國古代數(shù)學(xué)思想與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。
教學(xué)過程中,教師基于3D打印模型設(shè)計實際問題,通過類比球體體積的推導(dǎo)過程,運用圓錐曲線方程與祖晅原理,構(gòu)建旋轉(zhuǎn)拋物體的體積求解模型,并引導(dǎo)學(xué)生解決實際問題。這一設(shè)計能夠讓學(xué)生從現(xiàn)實情境出發(fā),理解數(shù)學(xué)建模的過程,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。
二、學(xué)情分析
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了祖恒原理,并經(jīng)歷了利用該原理推導(dǎo)半球體體積的學(xué)習(xí)過程,也掌握了圓錐曲線的基本性質(zhì),以及解析幾何的解決問題方法,并體會到了數(shù)形結(jié)合的思想。因此,本節(jié)課內(nèi)容在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上展開,使其能夠順利銜接新知識。
從生活經(jīng)驗來看,學(xué)生能夠觀察到許多與圓錐曲線相關(guān)的事物,但對于如何應(yīng)用圓錐曲線知識解決實際問題仍然較為陌生。因此,教師通過身邊實例的發(fā)現(xiàn)與提煉,引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,并通過數(shù)學(xué)建模進(jìn)行解決,從而加深對數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的理解。
學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到的主要難點有:
1.如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)拋物體的數(shù)學(xué)模型一一即如何利用拋物線的方程構(gòu)造一個繞對稱軸旋轉(zhuǎn)后能滿足祖恒原理的幾何體。
2.如何計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積一一如何利用積分思想或祖晅原理推導(dǎo)其體積公式。
為了幫助學(xué)生克服這些障礙,教師可在課前布置任務(wù)單,要求學(xué)生回顧半球體積公式的推導(dǎo),為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供認(rèn)知鋪墊,使其能夠順利理解旋轉(zhuǎn)拋物體的體積推導(dǎo)過程,
三、教學(xué)過程
(一)積極創(chuàng)設(shè)生活情境,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題
教師展示3D打印杯子并提出問題:“同學(xué)們,假如你要設(shè)計一個茶杯,杯體高 5.5cm ,底座高 0.5cm 想讓它的容量大約為 125mL ,如何設(shè)計杯子的內(nèi)壁形狀呢?這個問題涉及哪些數(shù)學(xué)知識?”
學(xué)生1:這個杯子是旋轉(zhuǎn)體,它的體積計算應(yīng)該與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)。
學(xué)生2:已知杯子的體積和高,我們可以求它的曲線方程。
學(xué)生3:杯子的內(nèi)壁可能是拋物線旋轉(zhuǎn)形成的,也可能是橢圓的一部分。
學(xué)生4:假設(shè)它是半球體,是否合理?
教師總結(jié)學(xué)生提到的知識點,然后繼續(xù)提問,如:已知旋轉(zhuǎn)體的體積和高,如何求曲線方程?已知旋轉(zhuǎn)體的體積和高,如何求上口直徑?假設(shè)這個旋轉(zhuǎn)體是半球體,是否合理?杯子的內(nèi)壁橫截面是怎樣的曲線?“你們提到了旋轉(zhuǎn)體的體積計算,那我們需要知道杯子的內(nèi)壁是由什么曲線旋轉(zhuǎn)形成的。你們覺得可以用哪種曲線呢?”
學(xué)生1:它的軸截面看起來像拋物線。
學(xué)生2:也可能是橢圓的一部分。
教師帶領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型,嘗試解決問題。
方案一:假設(shè)內(nèi)壁是旋轉(zhuǎn)拋物面
通過拋物線圍繞對稱軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)體,學(xué)生研究該模型如何滿足已知條件,如杯子的高度和容量。并探討如何利用拋物線的方程建立數(shù)學(xué)模型,計算旋轉(zhuǎn)體的體積。
⑨ 方案二:旋轉(zhuǎn)橢圓體模型
學(xué)生嘗試采用橢圓的一部分作為內(nèi)壁,繞對稱軸旋轉(zhuǎn)形成幾何體,研究橢圓的形狀如何影響體積計算,并對比其與旋轉(zhuǎn)拋物面的區(qū)別,最后通過邊界條件確定數(shù)學(xué)模型,并計算其體積是否滿足要求。
在建立了數(shù)學(xué)模型之后,教師引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識求解,并對比兩種模型的合理性。學(xué)生分別計算旋轉(zhuǎn)拋物體和旋轉(zhuǎn)橢圓體的體積,分析哪種模型更符合茶杯的設(shè)計要求。此過程中,教師強調(diào)數(shù)學(xué)建模的思維方式,如基于現(xiàn)實問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,要從杯子的設(shè)計要求出發(fā),抽象出旋轉(zhuǎn)體的數(shù)學(xué)問題
(二)提取數(shù)學(xué)問題,引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考
在課堂教學(xué)中,由于時間有限,且解決旋轉(zhuǎn)體體積的方法具有類比性,因此本節(jié)課聚焦于方案一,即已知旋轉(zhuǎn)拋物體的高度為 5cm ,體積為 125mL ,求軸截面所在拋物線的方程。為了幫助學(xué)生順利解決這個問題,教師逐步引導(dǎo),使學(xué)生經(jīng)歷從問題分析到數(shù)學(xué)建模的完整過程。
教師:解決這個問題的關(guān)鍵是什么?
學(xué)生在討論后,提出了關(guān)鍵問題:如何計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積?
教師:如果我們想計算體積,你們能想到哪些方法?
在學(xué)生自由討論后,教師對他們的回答進(jìn)行歸納整理:(1)如果是柱、錐、臺、球等常見幾何體,可以直接使用體積公式進(jìn)行計算。(2)除了公式計算外,我們在高一時學(xué)過祖恒原理,它是一種重要的數(shù)學(xué)方法,可以用于求解不規(guī)則旋轉(zhuǎn)體的體積。
為了幫助學(xué)生進(jìn)一步理解祖恒原理的應(yīng)用,教師繼續(xù)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境:“我們學(xué)習(xí)過祖恒原理,并用它推導(dǎo)過半球體的體積。請大家回憶,我們當(dāng)時是如何進(jìn)行計算的?”
學(xué)生:求旋轉(zhuǎn)拋物體的體積,關(guān)鍵在于構(gòu)造一個等體積的幾何體。
教師:能否具體說說,我們應(yīng)該如何操作?
基于學(xué)生的回答,教師總結(jié)并歸納出求解旋轉(zhuǎn)拋物體體積的關(guān)鍵步驟:
1.構(gòu)造等體積的幾何體。
選擇一個已知體積計算公式的幾何體(如圓柱、半球、圓錐等),使這個幾何體的體積與旋轉(zhuǎn)拋物體相等,這樣就可以用祖恒原理進(jìn)行計算。
2.構(gòu)造等高的幾何體,并利用截面面積相等的原理。
讓構(gòu)造的幾何體與旋轉(zhuǎn)拋物體放置在同一水平面,確保兩者的高度相等。用平行于水平面的截面切割旋轉(zhuǎn)拋物體和已構(gòu)造的幾何體,確保每個截面的面積恒相等。
在完成對體積計算方法的分析后,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié):
1.數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵在于找到適合的數(shù)學(xué)工具,選擇合適的計算方法。
2.對比不同計算方法,能夠更清晰地理解旋轉(zhuǎn)體的體積計算原理。
3.祖晅原理的應(yīng)用不僅限于已學(xué)過的半球體,還可以拓展到更復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)體問題,如本節(jié)課中的旋轉(zhuǎn)拋物體。
針對學(xué)生的知識掌握情況,教師繼續(xù)設(shè)計問題讓學(xué)生拓展思維:
1.如果改變旋轉(zhuǎn)拋物體的高度,如何調(diào)整體積計算?2.如果換成其他曲線(如橢圓、雙曲線),體積計算方法是否相同?3.在現(xiàn)實生活中,哪些物品的形狀可以用類似的方法建模?
本部分教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計,主要是引導(dǎo)學(xué)生觀察問題,從現(xiàn)實情境出發(fā),抽象出數(shù)學(xué)問題。教師結(jié)合已有知識進(jìn)行回顧,使學(xué)生能夠利用已學(xué)過的數(shù)學(xué)工具(如祖恒原理)解決新問題。而教師通過類比推導(dǎo)增強數(shù)學(xué)理解,讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模的全過程,提高邏輯思維能力。最后教師通過問題引導(dǎo),使學(xué)生能夠主動思考、總結(jié),并建立完整的知識體系。
(三)鼓勵學(xué)生建模,嘗試解決具體問題
在實際教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。然而,在建模過程中,部分學(xué)生往往難以順利地將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)模型,特別是在涉及空間幾何體時缺乏對坐標(biāo)法的直觀理解。因此,在本節(jié)課中,教師通過旋轉(zhuǎn)拋物體體積的求解,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題一構(gòu)建模型一求解驗證的完整數(shù)學(xué)建模過程,建模過程如圖1所示。
教學(xué)之前,教師首先明確學(xué)生的學(xué)習(xí)困難:(1)坐標(biāo)點的選取:學(xué)生無法清晰地理解如何利用坐標(biāo)法在軸截面的曲線上選取點,并利用這些點的坐標(biāo)表示相應(yīng)的截面面積。(2)截面面積的表達(dá):學(xué)生對平行于水平面的截面如何用坐標(biāo)表示不夠直觀,難以將其與旋轉(zhuǎn)體的體積計算聯(lián)系起來。
為了讓學(xué)生更清晰地理解旋轉(zhuǎn)拋物體的結(jié)構(gòu)和體積計算的邏輯,本節(jié)課采用小組合作探究的形式,讓每個小組選擇不同的視角建立數(shù)學(xué)模型,并由一名學(xué)生展示小組的成果。以下是其中一個小組的建模過程:
該小組首先假設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py,pgt;0 ,幾何體的高設(shè)為 h ,這樣一來,每層截面對應(yīng)的高為 y 則截面的面積為 ,這個公式可以看成是長 2π p ,寬為 y 的矩形的面積公式,進(jìn)一步聯(lián)想到一個長為 2π p 、寬為 h. 高為 h 的長方體,截面面積會一直是 2π p y 。可見,截面的長度和寬度都會保持不變,沿著一個正方形面的對角線將長方體截去一半后,此時與旋轉(zhuǎn)拋物體得到的截面處處相等。因此可以得到公式:
。
接下來,教師引導(dǎo)各小組成員在已有模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善建模方法,以便優(yōu)化計算過程并提升數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
由于在備課過程中,教師對模型的建立進(jìn)行了預(yù)設(shè),因此此處用幾何畫板再次展示動態(tài)下的建模過程。
在建模探究過程中,某小組提出了一種類比半球體積推導(dǎo)的方法,試圖利用圓柱體挖去特定幾何體的方式來計算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積。該小組成員思考:如果在圓柱體中去除一個合適的幾何部分,能否得到所需的旋轉(zhuǎn)拋物體?
在這一思路的引導(dǎo)下,他們將旋轉(zhuǎn)拋物體的軸截面視作拋物線的部分區(qū)域,并結(jié)合軸截面拋物線上的坐標(biāo)特性,構(gòu)造出一個倒扣的旋轉(zhuǎn)拋物體,而非簡單的圓錐體。由此,他們提出了一種新的計算模型:將旋轉(zhuǎn)拋物體看作從圓柱體中去除一個對稱的旋轉(zhuǎn)拋物體部分,并推導(dǎo)出相應(yīng)的體積公式: 。
針對計算結(jié)果,教師提出問題:該公式的特點和幾何解釋?
學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn),旋轉(zhuǎn)拋物體的體積恰好等于等高圓柱體體積的一半。這一結(jié)論不僅直觀地展現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)拋物體的幾何對稱性,同時與學(xué)生此前學(xué)習(xí)的幾何體體積計算公式保持一致。教師進(jìn)一步補充,指出這一公式與生活中的物體設(shè)計密切相關(guān),例如傳統(tǒng)茶杯的上口直徑(即圓口的直徑 2r )也是一個重要的參數(shù),這一設(shè)計既滿足功能需求,又蘊含著深刻的數(shù)學(xué)原理。
由于課堂時間有限,在展示過程中學(xué)生未能對模型的推導(dǎo)進(jìn)行系統(tǒng)的整理與完善。因此,教師鼓勵學(xué)生進(jìn)一步思考,并引導(dǎo)他們通過繪圖深化理解公式的結(jié)構(gòu)特點。這種方式不僅為后續(xù)討論留下空間,也激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探索興趣,使其對旋轉(zhuǎn)拋物體的體積計算有了更深層次的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上,部分學(xué)生進(jìn)一步思考:除了祖怛原理之外,是否可以利用其他數(shù)學(xué)方法來求解?
學(xué)生提出:可以借助微積分思想來推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)拋物體的體積,并嘗試用分割求和的方式重新構(gòu)建計算過程。
教師在課堂上對學(xué)生的創(chuàng)新思維給予高度評價,指出微積分的思想在旋轉(zhuǎn)體體積計算中具有廣泛應(yīng)用。事實上,求解曲邊梯形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的方法,在高等數(shù)學(xué)中常借助微積分實現(xiàn),而祖恒原理本質(zhì)上已體現(xiàn)了微積分的核心思想,即通過微元分割和求和來計算復(fù)雜幾何體的體積。這一補充不僅幫助學(xué)生理解了旋轉(zhuǎn)拋物體體積的推導(dǎo)邏輯,也為他們未來在更高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用奠定了認(rèn)知基礎(chǔ)。
(四)明確具體參數(shù),求解模型
在建模過程中,進(jìn)一步明確旋轉(zhuǎn)拋物體的具體參數(shù)至關(guān)重要。為此,學(xué)生需要根據(jù)已知條件,求出滿足設(shè)計要求的茶杯內(nèi)壁拋物線方程。
教師提問:現(xiàn)在能否求出滿足條件的茶杯內(nèi)壁 的拋物線方程?
學(xué)生思考:為求得拋物線方程,需要利用體積公式和已知條件進(jìn)行計算。通過兩種不同的計算方式,可以得到相應(yīng)的拋物線方程參數(shù)。
方法一:直接利用體積公式求解焦距
已知茶杯容積 。茶杯有效高度 h=5.5-0.5=5cm (去除底座部分)。代入旋轉(zhuǎn)拋物體體積公式,計算得到焦距 p=1.59 。由此可得拋物線方程
0
方法二:利用體積公式反推茶杯口徑
仍采用相同的體積和高度條件進(jìn)行計算。計算得到底部半徑 r=4.0cm ,則茶杯口徑為 8.0cm 。
數(shù)學(xué)建模不僅是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實問題的過程,還是數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。本環(huán)節(jié)通過模型參數(shù)的求解,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力。通過計算,學(xué)生不僅能夠理解體積公式中各參數(shù)之間的關(guān)系,還能體會到如何通過已知信息推導(dǎo)未知參數(shù),并據(jù)此構(gòu)建符合實際情況的數(shù)學(xué)模型。
(五)通過檢驗最終結(jié)果,持續(xù)改進(jìn)模型
在模型構(gòu)建完成后,教師引導(dǎo)學(xué)生將求得的拋物線方程輸入計算機,以生成茶杯內(nèi)壁的截面圖,并進(jìn)一步完成3D打印建模。計算機在建模過程中會將三維模型分區(qū)并轉(zhuǎn)換為層切格式,隨后指令打印機逐層打印,最終形成實物模型。在打印完成后,學(xué)生對3D打印茶杯的容量進(jìn)行實際測量,并與理論計算結(jié)果進(jìn)行比對。測量結(jié)果顯示,打印茶杯的容量與實際茶杯容量相近,驗證了數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)確性。
為進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,教師結(jié)合作業(yè)設(shè)計安排模型改進(jìn)任務(wù),并鼓勵學(xué)生探討不同的建模假設(shè)。例如:設(shè)內(nèi)壁呈橢圓面,已知部分旋轉(zhuǎn)橢圓體的高度為 5cm ,體積為 125mL ,要求推導(dǎo)截面所在橢圓的方程。該任務(wù)要求學(xué)生重新分析幾何特性,探索新的建模方法,并思考如何利用已知體積和高度求解橢圓參數(shù)。此外,學(xué)生還需進(jìn)一步探討不同旋轉(zhuǎn)曲面對建模結(jié)果的影響,例如:若內(nèi)壁并非理想拋物線形狀,而是更接近某種變形的曲面,該如何調(diào)整模型?若茶杯底部非封閉,而是存在孔洞,是否需要修正體積計算方法?
綜上所述,本研究通過“探究旋轉(zhuǎn)拋物體的體積\"這一具體案例,探討了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求,采用情境創(chuàng)設(shè)與問題驅(qū)動的策略,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實際問題到數(shù)學(xué)建模的全過程。合理的情境創(chuàng)設(shè)能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用性,而數(shù)學(xué)建模的實踐不僅提升了學(xué)生的邏輯推理能力,還培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)抽象意識和問題解決能力。此外,在教學(xué)過程中,教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不同方法(如解析幾何、積分思想、祖晅原理等)進(jìn)行多元化思考,并通過計算機工具輔助建模,以提升求解的精準(zhǔn)性與效率。
(作者單位:甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原縣第一中學(xué)lt;原鎮(zhèn)原中學(xué)gt;)
編輯:曾彥慧