基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)創(chuàng)設(shè)情境的策略

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅關(guān)注知識(shí)的掌握，還強(qiáng)調(diào)學(xué)生思維能力的形成，其中數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象能力的提升尤為重要。教師通過科學(xué)、合理的情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并借助已掌握的知識(shí)工具進(jìn)行分析和求解，有助于深化其對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。本文以“探究旋轉(zhuǎn)拋物體的體積”為案例，研究如何通過科學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題出發(fā)，運(yùn)用坐標(biāo)法、祖晅原理、積分思想等方法建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化求解策略，從而有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、內(nèi)容分析

本節(jié)課的核心問題是如何計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積。該問題的解決方案可以借助祖晅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異。\"即若兩個(gè)被平行平面所截的幾何體在任一平行截面上的面積恒等，則它們的體積相等。祖恒原理的思想與微積分的基本概念相吻合，即先對(duì)幾何體進(jìn)行分割（微分），再求整體（積分），顯示出我國古代數(shù)學(xué)思想與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。

教學(xué)過程中，教師基于3D打印模型設(shè)計(jì)實(shí)際問題，通過類比球體體積的推導(dǎo)過程，運(yùn)用圓錐曲線方程與祖晅原理，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)拋物體的體積求解模型，并引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題。這一設(shè)計(jì)能夠讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，理解數(shù)學(xué)建模的過程，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了祖恒原理，并經(jīng)歷了利用該原理推導(dǎo)半球體體積的學(xué)習(xí)過程，也掌握了圓錐曲線的基本性質(zhì)，以及解析幾何的解決問題方法，并體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的思想。因此，本節(jié)課內(nèi)容在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上展開，使其能夠順利銜接新知識(shí)。

從生活經(jīng)驗(yàn)來看，學(xué)生能夠觀察到許多與圓錐曲線相關(guān)的事物，但對(duì)于如何應(yīng)用圓錐曲線知識(shí)解決實(shí)際問題仍然較為陌生。因此，教師通過身邊實(shí)例的發(fā)現(xiàn)與提煉，引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并通過數(shù)學(xué)建模進(jìn)行解決，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的理解。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到的主要難點(diǎn)有：

1.如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)拋物體的數(shù)學(xué)模型一一即如何利用拋物線的方程構(gòu)造一個(gè)繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)后能滿足祖恒原理的幾何體。

2.如何計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積一一如何利用積分思想或祖晅原理推導(dǎo)其體積公式。

為了幫助學(xué)生克服這些障礙，教師可在課前布置任務(wù)單，要求學(xué)生回顧半球體積公式的推導(dǎo)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供認(rèn)知鋪墊，使其能夠順利理解旋轉(zhuǎn)拋物體的體積推導(dǎo)過程，

三、教學(xué)過程

（一）積極創(chuàng)設(shè)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題

教師展示3D打印杯子并提出問題：“同學(xué)們，假如你要設(shè)計(jì)一個(gè)茶杯，杯體高 5.5cm ，底座高 0.5cm 想讓它的容量大約為 125mL ，如何設(shè)計(jì)杯子的內(nèi)壁形狀呢？這個(gè)問題涉及哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？”

學(xué)生1：這個(gè)杯子是旋轉(zhuǎn)體，它的體積計(jì)算應(yīng)該與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)。

學(xué)生2：已知杯子的體積和高，我們可以求它的曲線方程。

學(xué)生3：杯子的內(nèi)壁可能是拋物線旋轉(zhuǎn)形成的，也可能是橢圓的一部分。

學(xué)生4：假設(shè)它是半球體，是否合理？

教師總結(jié)學(xué)生提到的知識(shí)點(diǎn)，然后繼續(xù)提問，如：已知旋轉(zhuǎn)體的體積和高，如何求曲線方程？已知旋轉(zhuǎn)體的體積和高，如何求上口直徑？假設(shè)這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是半球體，是否合理？杯子的內(nèi)壁橫截面是怎樣的曲線？“你們提到了旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算，那我們需要知道杯子的內(nèi)壁是由什么曲線旋轉(zhuǎn)形成的。你們覺得可以用哪種曲線呢？”

學(xué)生1：它的軸截面看起來像拋物線。

學(xué)生2：也可能是橢圓的一部分。

教師帶領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，嘗試解決問題。

方案一：假設(shè)內(nèi)壁是旋轉(zhuǎn)拋物面

通過拋物線圍繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)體，學(xué)生研究該模型如何滿足已知條件，如杯子的高度和容量。并探討如何利用拋物線的方程建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積。

⑨ 方案二：旋轉(zhuǎn)橢圓體模型

學(xué)生嘗試采用橢圓的一部分作為內(nèi)壁，繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成幾何體，研究橢圓的形狀如何影響體積計(jì)算，并對(duì)比其與旋轉(zhuǎn)拋物面的區(qū)別，最后通過邊界條件確定數(shù)學(xué)模型，并計(jì)算其體積是否滿足要求。

在建立了數(shù)學(xué)模型之后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識(shí)求解，并對(duì)比兩種模型的合理性。學(xué)生分別計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物體和旋轉(zhuǎn)橢圓體的體積，分析哪種模型更符合茶杯的設(shè)計(jì)要求。此過程中，教師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的思維方式，如基于現(xiàn)實(shí)問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，要從杯子的設(shè)計(jì)要求出發(fā)，抽象出旋轉(zhuǎn)體的數(shù)學(xué)問題

（二）提取數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考

在課堂教學(xué)中，由于時(shí)間有限，且解決旋轉(zhuǎn)體體積的方法具有類比性，因此本節(jié)課聚焦于方案一，即已知旋轉(zhuǎn)拋物體的高度為 5cm ，體積為 125mL ，求軸截面所在拋物線的方程。為了幫助學(xué)生順利解決這個(gè)問題，教師逐步引導(dǎo)，使學(xué)生經(jīng)歷從問題分析到數(shù)學(xué)建模的完整過程。

教師：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生在討論后，提出了關(guān)鍵問題：如何計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積？

教師：如果我們想計(jì)算體積，你們能想到哪些方法？

在學(xué)生自由討論后，教師對(duì)他們的回答進(jìn)行歸納整理：（1）如果是柱、錐、臺(tái)、球等常見幾何體，可以直接使用體積公式進(jìn)行計(jì)算。（2）除了公式計(jì)算外，我們?cè)诟咭粫r(shí)學(xué)過祖恒原理，它是一種重要的數(shù)學(xué)方法，可以用于求解不規(guī)則旋轉(zhuǎn)體的體積。

為了幫助學(xué)生進(jìn)一步理解祖恒原理的應(yīng)用，教師繼續(xù)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境：“我們學(xué)習(xí)過祖恒原理，并用它推導(dǎo)過半球體的體積。請(qǐng)大家回憶，我們當(dāng)時(shí)是如何進(jìn)行計(jì)算的？”

學(xué)生：求旋轉(zhuǎn)拋物體的體積，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)等體積的幾何體。

教師：能否具體說說，我們應(yīng)該如何操作？

基于學(xué)生的回答，教師總結(jié)并歸納出求解旋轉(zhuǎn)拋物體體積的關(guān)鍵步驟：

1.構(gòu)造等體積的幾何體。

選擇一個(gè)已知體積計(jì)算公式的幾何體（如圓柱、半球、圓錐等），使這個(gè)幾何體的體積與旋轉(zhuǎn)拋物體相等，這樣就可以用祖恒原理進(jìn)行計(jì)算。

2.構(gòu)造等高的幾何體，并利用截面面積相等的原理。

讓構(gòu)造的幾何體與旋轉(zhuǎn)拋物體放置在同一水平面，確保兩者的高度相等。用平行于水平面的截面切割旋轉(zhuǎn)拋物體和已構(gòu)造的幾何體，確保每個(gè)截面的面積恒相等。

在完成對(duì)體積計(jì)算方法的分析后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：

1.數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵在于找到適合的數(shù)學(xué)工具，選擇合適的計(jì)算方法。

2.對(duì)比不同計(jì)算方法，能夠更清晰地理解旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算原理。

3.祖晅原理的應(yīng)用不僅限于已學(xué)過的半球體，還可以拓展到更復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)體問題，如本節(jié)課中的旋轉(zhuǎn)拋物體。

針對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況，教師繼續(xù)設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生拓展思維：

1.如果改變旋轉(zhuǎn)拋物體的高度，如何調(diào)整體積計(jì)算？2.如果換成其他曲線（如橢圓、雙曲線），體積計(jì)算方法是否相同？3.在現(xiàn)實(shí)生活中，哪些物品的形狀可以用類似的方法建模？

本部分教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，主要是引導(dǎo)學(xué)生觀察問題，從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)問題。教師結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行回顧，使學(xué)生能夠利用已學(xué)過的數(shù)學(xué)工具（如祖恒原理）解決新問題。而教師通過類比推導(dǎo)增強(qiáng)數(shù)學(xué)理解，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過程，提高邏輯思維能力。最后教師通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生能夠主動(dòng)思考、總結(jié)，并建立完整的知識(shí)體系。

（三）鼓勵(lì)學(xué)生建模，嘗試解決具體問題

在實(shí)際教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。然而，在建模過程中，部分學(xué)生往往難以順利地將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)模型，特別是在涉及空間幾何體時(shí)缺乏對(duì)坐標(biāo)法的直觀理解。因此，在本節(jié)課中，教師通過旋轉(zhuǎn)拋物體體積的求解，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題一構(gòu)建模型一求解驗(yàn)證的完整數(shù)學(xué)建模過程，建模過程如圖1所示。

教學(xué)之前，教師首先明確學(xué)生的學(xué)習(xí)困難：（1）坐標(biāo)點(diǎn)的選?。簩W(xué)生無法清晰地理解如何利用坐標(biāo)法在軸截面的曲線上選取點(diǎn)，并利用這些點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)的截面面積。（2）截面面積的表達(dá)：學(xué)生對(duì)平行于水平面的截面如何用坐標(biāo)表示不夠直觀，難以將其與旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算聯(lián)系起來。

為了讓學(xué)生更清晰地理解旋轉(zhuǎn)拋物體的結(jié)構(gòu)和體積計(jì)算的邏輯，本節(jié)課采用小組合作探究的形式，讓每個(gè)小組選擇不同的視角建立數(shù)學(xué)模型，并由一名學(xué)生展示小組的成果。以下是其中一個(gè)小組的建模過程：

該小組首先假設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py，pgt;0 ，幾何體的高設(shè)為 h ，這樣一來，每層截面對(duì)應(yīng)的高為 y 則截面的面積為 ，這個(gè)公式可以看成是長 2π p ，寬為 y 的矩形的面積公式，進(jìn)一步聯(lián)想到一個(gè)長為 2π p 、寬為 h. 高為 h 的長方體，截面面積會(huì)一直是 2π p y 。可見，截面的長度和寬度都會(huì)保持不變，沿著一個(gè)正方形面的對(duì)角線將長方體截去一半后，此時(shí)與旋轉(zhuǎn)拋物體得到的截面處處相等。因此可以得到公式： 。

接下來，教師引導(dǎo)各小組成員在已有模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善建模方法，以便優(yōu)化計(jì)算過程并提升數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

由于在備課過程中，教師對(duì)模型的建立進(jìn)行了預(yù)設(shè)，因此此處用幾何畫板再次展示動(dòng)態(tài)下的建模過程。

在建模探究過程中，某小組提出了一種類比半球體積推導(dǎo)的方法，試圖利用圓柱體挖去特定幾何體的方式來計(jì)算旋轉(zhuǎn)拋物體的體積。該小組成員思考：如果在圓柱體中去除一個(gè)合適的幾何部分，能否得到所需的旋轉(zhuǎn)拋物體？

在這一思路的引導(dǎo)下，他們將旋轉(zhuǎn)拋物體的軸截面視作拋物線的部分區(qū)域，并結(jié)合軸截面拋物線上的坐標(biāo)特性，構(gòu)造出一個(gè)倒扣的旋轉(zhuǎn)拋物體，而非簡單的圓錐體。由此，他們提出了一種新的計(jì)算模型：將旋轉(zhuǎn)拋物體看作從圓柱體中去除一個(gè)對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)拋物體部分，并推導(dǎo)出相應(yīng)的體積公式： 。

針對(duì)計(jì)算結(jié)果，教師提出問題：該公式的特點(diǎn)和幾何解釋？

學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)拋物體的體積恰好等于等高圓柱體體積的一半。這一結(jié)論不僅直觀地展現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)拋物體的幾何對(duì)稱性，同時(shí)與學(xué)生此前學(xué)習(xí)的幾何體體積計(jì)算公式保持一致。教師進(jìn)一步補(bǔ)充，指出這一公式與生活中的物體設(shè)計(jì)密切相關(guān)，例如傳統(tǒng)茶杯的上口直徑（即圓口的直徑 2r ）也是一個(gè)重要的參數(shù)，這一設(shè)計(jì)既滿足功能需求，又蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理。

由于課堂時(shí)間有限，在展示過程中學(xué)生未能對(duì)模型的推導(dǎo)進(jìn)行系統(tǒng)的整理與完善。因此，教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步思考，并引導(dǎo)他們通過繪圖深化理解公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。這種方式不僅為后續(xù)討論留下空間，也激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)探索興趣，使其對(duì)旋轉(zhuǎn)拋物體的體積計(jì)算有了更深層次的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，部分學(xué)生進(jìn)一步思考：除了祖怛原理之外，是否可以利用其他數(shù)學(xué)方法來求解？

學(xué)生提出：可以借助微積分思想來推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)拋物體的體積，并嘗試用分割求和的方式重新構(gòu)建計(jì)算過程。

教師在課堂上對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新思維給予高度評(píng)價(jià)，指出微積分的思想在旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算中具有廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，求解曲邊梯形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的方法，在高等數(shù)學(xué)中常借助微積分實(shí)現(xiàn)，而祖恒原理本質(zhì)上已體現(xiàn)了微積分的核心思想，即通過微元分割和求和來計(jì)算復(fù)雜幾何體的體積。這一補(bǔ)充不僅幫助學(xué)生理解了旋轉(zhuǎn)拋物體體積的推導(dǎo)邏輯，也為他們未來在更高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用奠定了認(rèn)知基礎(chǔ)。

（四）明確具體參數(shù)，求解模型

在建模過程中，進(jìn)一步明確旋轉(zhuǎn)拋物體的具體參數(shù)至關(guān)重要。為此，學(xué)生需要根據(jù)已知條件，求出滿足設(shè)計(jì)要求的茶杯內(nèi)壁拋物線方程。

教師提問：現(xiàn)在能否求出滿足條件的茶杯內(nèi)壁 的拋物線方程？

學(xué)生思考：為求得拋物線方程，需要利用體積公式和已知條件進(jìn)行計(jì)算。通過兩種不同的計(jì)算方式，可以得到相應(yīng)的拋物線方程參數(shù)。

方法一：直接利用體積公式求解焦距

已知茶杯容積 。茶杯有效高度 h=5.5-0.5=5cm （去除底座部分）。代入旋轉(zhuǎn)拋物體體積公式，計(jì)算得到焦距 p=1.59 。由此可得拋物線方程 0

方法二：利用體積公式反推茶杯口徑

仍采用相同的體積和高度條件進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算得到底部半徑 r=4.0cm ，則茶杯口徑為 8.0cm 。

數(shù)學(xué)建模不僅是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的過程，還是數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。本環(huán)節(jié)通過模型參數(shù)的求解，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力。通過計(jì)算，學(xué)生不僅能夠理解體積公式中各參數(shù)之間的關(guān)系，還能體會(huì)到如何通過已知信息推導(dǎo)未知參數(shù)，并據(jù)此構(gòu)建符合實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型。

（五）通過檢驗(yàn)最終結(jié)果，持續(xù)改進(jìn)模型

在模型構(gòu)建完成后，教師引導(dǎo)學(xué)生將求得的拋物線方程輸入計(jì)算機(jī)，以生成茶杯內(nèi)壁的截面圖，并進(jìn)一步完成3D打印建模。計(jì)算機(jī)在建模過程中會(huì)將三維模型分區(qū)并轉(zhuǎn)換為層切格式，隨后指令打印機(jī)逐層打印，最終形成實(shí)物模型。在打印完成后，學(xué)生對(duì)3D打印茶杯的容量進(jìn)行實(shí)際測(cè)量，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。測(cè)量結(jié)果顯示，打印茶杯的容量與實(shí)際茶杯容量相近，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)確性。

為進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，教師結(jié)合作業(yè)設(shè)計(jì)安排模型改進(jìn)任務(wù)，并鼓勵(lì)學(xué)生探討不同的建模假設(shè)。例如：設(shè)內(nèi)壁呈橢圓面，已知部分旋轉(zhuǎn)橢圓體的高度為 5cm ，體積為 125mL ，要求推導(dǎo)截面所在橢圓的方程。該任務(wù)要求學(xué)生重新分析幾何特性，探索新的建模方法，并思考如何利用已知體積和高度求解橢圓參數(shù)。此外，學(xué)生還需進(jìn)一步探討不同旋轉(zhuǎn)曲面對(duì)建模結(jié)果的影響，例如：若內(nèi)壁并非理想拋物線形狀，而是更接近某種變形的曲面，該如何調(diào)整模型？若茶杯底部非封閉，而是存在孔洞，是否需要修正體積計(jì)算方法？

綜上所述，本研究通過“探究旋轉(zhuǎn)拋物體的體積\"這一具體案例，探討了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，采用情境創(chuàng)設(shè)與問題驅(qū)動(dòng)的策略，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)建模的全過程。合理的情境創(chuàng)設(shè)能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用性，而數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐不僅提升了學(xué)生的邏輯推理能力，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)抽象意識(shí)和問題解決能力。此外，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不同方法（如解析幾何、積分思想、祖晅原理等）進(jìn)行多元化思考，并通過計(jì)算機(jī)工具輔助建模，以提升求解的精準(zhǔn)性與效率。

（作者單位：甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原縣第一中學(xué)lt;原鎮(zhèn)原中學(xué)gt;）

編輯：曾彥慧