回歸教材與高考真題，提高解析幾何復(fù)習(xí)效率

一、背景

高三學(xué)習(xí)的主旋律是復(fù)習(xí)，教師通過系統(tǒng)的復(fù)習(xí)課來(lái)讓學(xué)生回顧知識(shí)與方法，整合與完善高中數(shù)學(xué)知識(shí)的框架，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。高三復(fù)習(xí)課與新授課的區(qū)別在于，前者更重視對(duì)挖掘知識(shí)深度，延伸知識(shí)的廣度，積淀知識(shí)的厚度，而實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)效果則需教師回歸基礎(chǔ)、回歸教材，挖掘教材與高考真題之間的聯(lián)系，提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性與實(shí)效性。

每年的數(shù)學(xué)高考題都會(huì)引起一線教師極大的關(guān)注，高考真題經(jīng)命題者反復(fù)斟酌、打磨后最終定型，是高三數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)上需要反復(fù)研究的。因此在高三復(fù)習(xí)過程中，教師有意識(shí)、有自的地對(duì)高考試題進(jìn)行反思探討，挖掘高考試題與教材的內(nèi)在聯(lián)系，可以有效提高教學(xué)效率。本文以解析幾何中熱點(diǎn)問題定點(diǎn)、定直線問題為依托，引入人教A版教材選擇性必修一第三章的一道例題，結(jié)合兩道高考真題，引導(dǎo)學(xué)生在解析幾何問題時(shí)要注重幾何性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合代數(shù)特征與幾何特征才能降低運(yùn)算量，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、非對(duì)稱轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。

二、教學(xué)過程簡(jiǎn)錄

（一）筑：教材引入，精設(shè)問題

選擇性必修一第108頁(yè)例3：設(shè) A？ B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5，0）和（5，0）.直線 相交于點(diǎn) M 且它們的斜率之積是- ，求點(diǎn) M 的軌跡方程。

學(xué)生能夠采用直接翻譯條件的方式迅速得到點(diǎn)M 的軌跡是挖去左右兩個(gè)定點(diǎn)的橢圓。

教師提問：（1）橢圓中的 和 b 分別是什么？

（2） 與這個(gè)橢圓有何關(guān)聯(lián)？

從而提煉得一般性的判定：定點(diǎn) A（-a，0），B（a，0） 0），動(dòng)點(diǎn) M 滿足 則動(dòng)點(diǎn)M在橢圓 上（除去 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)）。

教師（提問）：滿足斜率積條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是橢圓的一部分，則橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與左右頂點(diǎn)的斜率積為定值，是否可以將左右頂點(diǎn)推廣至更一般性的點(diǎn)？

學(xué)生迅速得到一般性的結(jié)論：已知 A∨ B 是橢圓 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓上。當(dāng)PA、PB斜率存在時(shí)，則有kpt'km=e2-1=-2

教師（總結(jié)）：事實(shí)上，在雙曲線中也有類似結(jié)論，這是大家熟知的第三定義。而這個(gè)定義成立的前提是橢圓與雙曲線本身具有的中心對(duì)稱性，代數(shù)結(jié)論背后隱藏的是圓錐曲線的幾何特征，體現(xiàn)了解析幾何中的數(shù)與形的結(jié)合?；貧w教材，我們不僅是要重溫重要的結(jié)論，更要體會(huì)結(jié)論生成的原因與教材例題呈現(xiàn)結(jié)論的延展。

我們將一般性結(jié)論推廣至雙曲線：在雙曲線 c -=1（agt;0，bgt;0）中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)， P 是雙曲線上異于 A？ B 的一點(diǎn)，若 存在，則有：kPA kpB=e2-1=b2 （同理可證）

（二）練：思維啟迪，鑄就素養(yǎng)

例1：（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)lt;理gt;試題）橢2+=1（agt;0，bgt;）的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)PQ均在

c 上，且關(guān)于 y 軸對(duì)稱。若直線 的斜率之積

為 ，則 c 的離心率為 （ ）

學(xué)生解法一：設(shè)

學(xué)生解法二：直接利用斜率積的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將 Q 點(diǎn)關(guān)于 x 軸對(duì)稱，得到 點(diǎn)，

例2：已知 是橢圓 與雙曲線x2 的公共頂點(diǎn)， P 是雙曲線上的一點(diǎn)， P A：，P B 交橢圓于 M，N 若 M N 過橢圓的焦點(diǎn)為F ，且 ，則橢圓的離心率為 。

學(xué)生解法：利用橢圓與雙曲線的斜率積關(guān)系，點(diǎn)P 在雙曲線上，因而有 ，且點(diǎn) P 也在橢圓上，也有kpB=b2， ，對(duì)比兩個(gè)等式可得 ，由橢圓與雙曲線的軸對(duì)稱性可知 M，N 兩點(diǎn)關(guān)于x 軸對(duì)稱。設(shè)點(diǎn) ，由 ，

學(xué)生在處理這個(gè)題目時(shí)容易得到兩個(gè)斜率積關(guān)系，很多學(xué)生停在這個(gè)地方無(wú)法動(dòng)筆，容易忽略M，N 兩點(diǎn)的對(duì)稱性，其根本原因是未能將斜率積關(guān)系轉(zhuǎn)化出來(lái)的代數(shù)關(guān)系與圓錐曲線的幾何特征結(jié)合起來(lái)，而這正是解析幾何問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)。教師設(shè)置這道例題正是希望學(xué)生除了關(guān)注代數(shù)特征，還需要有意識(shí)地判斷其可以與哪些幾何特征結(jié)合起來(lái)，這也正是本節(jié)復(fù)習(xí)課的初衷。

例3：已知橢圓c：2 ，過 c 中心的直線交 c 于 M，N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在 x 軸上，其橫坐標(biāo)是點(diǎn) M 橫坐標(biāo)的3倍，直線 N P 交 c 于點(diǎn) Q ，若直線QM恰好是以 M N 為直徑的圓的切線，則 c 的離心率為（ ）

A.√2 2

學(xué)生解法：設(shè) ，則 ，設(shè) 分別為直線 M N，Q M，N P 的斜率，則 直線QM是以MN為直徑的圓的切線，所以 O M⊥ MN，kik2=-1，所以k2k=-- ，又因 Q 在直線 N P 上，所以k=2+y，因M、Q在2 上，且兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故 即

本題中 M，Q 在橢圓上，且兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，他們的斜率積關(guān)系一旦確定，就等于橢圓的離心率已經(jīng)確定。本題在本節(jié)課中起承上啟下的作用，與例2有關(guān)聯(lián)，為思考下一環(huán)節(jié)中難度較大的兩道高考真題做好鋪墊。

（三）探：強(qiáng)化探究，思維拓展

例4：（2020·新課標(biāo)I，文21理20）已知 分別為橢圓 的左、右頂點(diǎn)， G 為 E 的上頂點(diǎn)， P 為直線 x=6 上的動(dòng)點(diǎn)， P A 與 E 的另一交點(diǎn)為 與 E 的另一交點(diǎn)為 D 。證明：直線 C D 過定點(diǎn)。

學(xué)生思路一：設(shè)點(diǎn) ，通過 P 點(diǎn)表示 （2 ，分別寫出直線 A P 與直線 B P 的方程為： 與 ，將兩直線分別與橢圓聯(lián)立，通過\"設(shè)而要求\"的思路，借用韋達(dá)定理分別求得點(diǎn) c 坐標(biāo)為 ，點(diǎn) D 坐標(biāo)為 此時(shí)結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，可以判定直線的定點(diǎn)在 x 軸上，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線 C D 方程為 ，令 y=0 ，可得直線過定點(diǎn)

學(xué)生思路二：通過幾何關(guān)系發(fā)現(xiàn)直線 A P 與直線B P 的斜率關(guān)系為 ，因?yàn)?c 點(diǎn)在橢圓上，則（204號(hào) ，結(jié)合兩個(gè)斜率關(guān)系，以 為橋梁，則 ，設(shè) ，直線 C D：x=m y+t 與橢圓聯(lián)立得： 。本題從韋達(dá)非對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的斜率積下的定點(diǎn)模型，代人得 ，化簡(jiǎn)得： ，利用韋達(dá)定理整體代人可得：t=

學(xué)生第一次解本題時(shí)，下意識(shí)地將直線 C D 設(shè)為 y=k x+t ，根據(jù)直線 A P 與直線 B P 的斜率關(guān)系為 ，建立一個(gè)非對(duì)稱的兩根關(guān)系式： y，往下計(jì)算涉及不對(duì)稱韋達(dá)定理的處理，計(jì)算量較大，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是難度較大的。而學(xué)生在課堂上提出的第二種思路，則要求學(xué)生首先對(duì)橢圓的斜率積過定點(diǎn)的模型非常熟悉，并且對(duì)橢圓中的斜率積關(guān)系能夠靈活應(yīng)用，將代數(shù)特征與幾何關(guān)系 結(jié)合到一起，從而將韋達(dá)非對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生非常熟悉的定點(diǎn)模型。

例5：（2023·新高考全國(guó) I 改編）已知雙曲線 c 的方程為：2 ，記 c 的左、右頂點(diǎn)分別為 ，過點(diǎn) （-4，0） 的直線與 c 的左支交于 M，N 兩點(diǎn)，直線 與 交于點(diǎn) P 證明：點(diǎn) P 在定直線上。

學(xué)生解法：設(shè) ，所以設(shè)直線MN線的方程為 x=m y-4 ，且 與2 聯(lián)立可得 ，且 0，則y+y=4 ，直線 的方程為 ，直線 的方程為 2），聯(lián)立可得 ，由 可得 x=-1 ，即 ，據(jù)此可得點(diǎn) P 在定直線 x=-1 上運(yùn)動(dòng)。

教師提問學(xué)生點(diǎn)與點(diǎn)的位置有何特殊性，試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中也蘊(yùn)含了斜率積關(guān)系，從而將韋達(dá)非對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，引導(dǎo)學(xué)生提出第二種方法。

解法二：設(shè) ，所以設(shè)直線MN的方程為 x=m y-4 ，且 與 聯(lián)立可得： ，且 ，則 直線 的方程為 y= ，直線 的方程為 ，聯(lián)立可得x+2 （2號(hào) ，又因?yàn)? ，因此， 原式可以轉(zhuǎn)化為x+2 ，以下解法同解法一。

這兩道例題都體現(xiàn)了在解析幾何中，將斜率積這個(gè)代數(shù)特征與題中現(xiàn)有的斜率關(guān)系即幾何關(guān)系結(jié)合后，能夠極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算，將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的題型，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想

教師提問：（1）點(diǎn) P 的軌跡方程是什么？（2）點(diǎn) P 軌跡的形成與本節(jié)引入的教材例3的聯(lián)系是什么？

此處設(shè)問是將此道高考真題與教材題進(jìn)行聯(lián)系。通過本節(jié)課的引例，學(xué)生可知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率積為定值，可得軌跡為橢圓的一部分，而例4則是動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率之商為定值，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線的一部分。由此可見，例3與例4兩道高考真題其實(shí)是來(lái)源于教材又高于教材的例題，不僅體現(xiàn)在對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，還體現(xiàn)在對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步延伸與探究。而教材的探究也不止步于動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率之積為定值的軌跡問題，在這個(gè)章節(jié)的章末習(xí)題的第九題如下：

已知 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 （-1，0）（1，0） ，直線 相交于點(diǎn) M ，且它們的斜率之和是2，求點(diǎn)M 的軌跡方程。

教師在此環(huán)節(jié)給學(xué)生留下探究的余地，提出一系列探究問題：（1）若斜率之積為2，則點(diǎn) M 的軌跡方程是什么？（2）若斜率之商為2，則點(diǎn) M 的軌跡方程是什么？（3）若點(diǎn) M 的斜率之差為2，則點(diǎn) M 的軌跡方程是什么？

（四）策：由表及里，思維升華

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)與方法進(jìn)行小結(jié)，在知識(shí)層面需要理解并學(xué)會(huì)應(yīng)用橢圓與雙曲線中的斜率積關(guān)系，其中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想、將韋達(dá)非對(duì)稱轉(zhuǎn)化成對(duì)稱的韋達(dá)定理，更重要的是數(shù)形結(jié)合的思想，將代數(shù)特征與圓錐曲線中的幾何特征（本節(jié)課的幾何特征基本體現(xiàn)在對(duì)稱性上）結(jié)合應(yīng)用，才能真正達(dá)到降低運(yùn)算量的目的，這正是教材與高考真題所反饋的一個(gè)重要信息?；貧w課本，學(xué)生應(yīng)該重視教材例題與習(xí)題中呈現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)與解決問題所采取的思想與方法。

三、高三復(fù)習(xí)課應(yīng)注重的三個(gè)問題

（一）重視高考真題使用與歸類

高考真題體現(xiàn)了命題者對(duì)考試內(nèi)容的深思熟慮，對(duì)學(xué)科素養(yǎng)的高度認(rèn)識(shí)，它們是最好的復(fù)習(xí)資源。教師認(rèn)真研究與思考高考真題，理解與回顧命題者的命題思路和涉誤角度，對(duì)高三復(fù)習(xí)課有事半功倍的效果。那么如何在復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)中利用高考真題，讓其發(fā)揮最大效應(yīng)，是高三教師思考的方向。在本案例中，教師通過引入一道課本例題，讓學(xué)生回顧橢圓與雙曲線的第三定義，并理解這種代數(shù)關(guān)系成立的原因是橢圓具有中心對(duì)稱性，例1恰好體現(xiàn)引例中代數(shù)特征與幾何對(duì)稱性的結(jié)合。例3與例4兩道高考真題分別考查求定點(diǎn)與定值的問題，再利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，可歸類為解析幾何中對(duì)稱性的韋達(dá)定理的整體代入。

（二）重視教材的例題與典型習(xí)題

教材中的例題的解題方法與其中蘊(yùn)含的思想方法具有典型性，通常可以推廣至一般題型，形成推論。教師在進(jìn)行高三教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要利用例題的教學(xué)價(jià)值，歸類通性通法，挖掘數(shù)學(xué)思想。本課的教材例題作為引例，其證明過程包含了“點(diǎn)差法”，這是解析幾何中的中點(diǎn)弦問題的常用方法，其內(nèi)涵在于圓錐曲線的對(duì)稱性?！皥A錐曲線”在高考中常出現(xiàn)定點(diǎn)與定值問題，在新教材的課題及課后習(xí)題中都涉及直線的定點(diǎn)問題或定值問題。本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生掌握定點(diǎn)、定值這類問題的解題策略，更能深刻體會(huì)高考真題源于教材而又高于教材。高三教師應(yīng)在復(fù)習(xí)課中重視對(duì)教材例題及課后習(xí)題的研究，進(jìn)行拓展延伸，將教材的例題與高考真題進(jìn)行銜接。

（三）重視通法與數(shù)學(xué)思想的灌輸

在本節(jié)課中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生借助斜率積關(guān)系將非對(duì)稱的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。本節(jié)課將傳統(tǒng)的解析幾何問題的解題導(dǎo)向轉(zhuǎn)化為以素養(yǎng)為自標(biāo)的過程性教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生理解問題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)舉一反三，夯實(shí)基礎(chǔ)。在新課標(biāo)、新教材、新高考的背景下，教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解并熟練應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)與通用方法，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的理解能力。教師只有在基礎(chǔ)方法與數(shù)學(xué)思想的灌輸上下功夫，才能使學(xué)生在理解的前提下靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展，回歸育人本位。

（作者單位：深圳市新安中學(xué)lt;集團(tuán)gt;高中部）

編輯：陳鮮艷