固體力學(xué)工程導(dǎo)向型“三步走”教學(xué)探索

摘要 傳統(tǒng)力學(xué)課程的教學(xué)主要依賴課堂講授和習(xí)題練習(xí)，存在學(xué)生參與度有限、理論與實際應(yīng)用聯(lián)系不夠緊密等問題，落后于新時代教育的發(fā)展。為了提高固體力學(xué)導(dǎo)論課程的教學(xué)效果，更好地幫助學(xué)生理解固體力學(xué)的基本概念、基本研究思想和基本理論，夯實基礎(chǔ)知識，文章提出了以工程導(dǎo)向型教學(xué)為理念，強化工程思維的固體力學(xué)導(dǎo)論課程改革方案。以接觸力學(xué)部分的講授內(nèi)容為例，首先通過理論教學(xué)建立知識體系；其次通過典型例題講解，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；最后拓展工程案例，在工程應(yīng)用中檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。希望通過這種“三步走”的教學(xué)方法可以促進學(xué)生全面發(fā)展，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 固體力學(xué)導(dǎo)論；工程導(dǎo)向；教學(xué)方法；接觸力學(xué)

中圖分類號：G424 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2025.07.019

固體力學(xué)主要研究運動、力與固體變形行為，是諸多學(xué)科和應(yīng)用領(lǐng)域的核心研究內(nèi)容。固體力學(xué)導(dǎo)論課程主要面向工科專業(yè)的碩士和博士研究生，內(nèi)容包含固體力學(xué)的基本概念、基本理論和分析方法，可為航天航空、化工、土木工程、機械工程、力學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理學(xué)等專業(yè)的學(xué)生在結(jié)構(gòu)設(shè)計、材料選擇、安全評估方面提供科研所需的基本知識和信息來源，為后續(xù)更深入的研究奠定基礎(chǔ)[1]。

傳統(tǒng)力學(xué)課程的教學(xué)方法以課堂講授和習(xí)題練習(xí)為主[2]，這種教學(xué)方法雖然有助于學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)理論知識，但也存在一些不足：①學(xué)生參與度有限。固體力學(xué)導(dǎo)論課程內(nèi)容眾多、知識點繁雜，教師單向講授的模式不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生容易出現(xiàn)注意力不集中、學(xué)習(xí)積極性不高的情況。②理論與應(yīng)用聯(lián)系不夠緊密。傳統(tǒng)固體力學(xué)研究的問題較為抽象，課堂講授的內(nèi)容與實際工程應(yīng)用差異較大，學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容體會不深。為了克服上述不足并優(yōu)化教學(xué)效果，可以對傳統(tǒng)教學(xué)方法進行適當(dāng)調(diào)整，以提升學(xué)習(xí)效率為目標(biāo)，在教學(xué)過程中確立學(xué)生的主體地位，在保證學(xué)生掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容的同時，全方位提高學(xué)生的思考能力與應(yīng)用能力。

工程導(dǎo)向型教學(xué)是一種基于問題和實際應(yīng)用的教學(xué)理念[3-4]，與固體力學(xué)導(dǎo)論課程“將理論應(yīng)用于工程”的教學(xué)目標(biāo)相符合。本文基于工程導(dǎo)向型教學(xué)理念，以固體力學(xué)導(dǎo)論課程中接觸力學(xué)部分的教學(xué)探索為例，圍繞基本概念介紹、典型例題講解和工程案例應(yīng)用“三步走”的方法展開，旨在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力。

圖1 展示了工程導(dǎo)向型“三步走”教學(xué)的基本流程。首先，課程教學(xué)按照教學(xué)計劃講解接觸力學(xué)的基本概念和理論，授課教師可以通過幻燈片圖片或視頻的方式簡要介紹大國重器、大國工程及科技前沿中的接觸力學(xué)問題，凸顯接觸力學(xué)在工程應(yīng)用中的重要意義，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如探討飛機起落架在著陸時承受的接觸力對于飛機平穩(wěn)著陸和使用壽命的影響；導(dǎo)彈彈頭與打擊目標(biāo)間的接觸力分布對于破壞效果的影響；太空飛船與空間站對接過程中的接觸力對于對接強度和穩(wěn)定性的影響；跨海大橋中橋墩與海底地基間的接觸力對于橋梁抗震性和抗沖擊性的影響等。其次，授課教師對接觸力學(xué)中的典型例題進行講解，包括建立力學(xué)模型的方法，分析思路和求解過程。最后，授課教師根據(jù)課時安排可以選用一些工程實際案例，讓學(xué)生通過理論推導(dǎo)、數(shù)值模擬等方式進行工程應(yīng)用，加深學(xué)生對接觸力學(xué)相關(guān)理論的理解，為后續(xù)的課題研究奠定基礎(chǔ)。

1 接觸力學(xué)基礎(chǔ)概念介紹

接觸力學(xué)主要研究接觸物體之間力的傳遞和分布規(guī)律以及由此產(chǎn)生的變形和運動行為[5]。為了方便學(xué)生掌握接觸力學(xué)的基本概念、基本理論和分析方法，教學(xué)過程從工程實際應(yīng)用的簡化模型角度出發(fā)，圍繞半無限大空間和具有高度對稱性的彈性接觸問題展開，討論接觸問題的理論解釋及變形場特征。

首先介紹彈性接觸理論的理想化模型。對于接觸區(qū)域尺寸遠小于接觸物體表面輪廓尺寸的情況，將接觸物體近似為以平表面為界的半無限彈性體，通過疊加半無限彈性體在法向和切向載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和位移，可以計算兩接觸物體因發(fā)生接觸而產(chǎn)生的變形行為。

其次根據(jù)接觸物體的特征，將接觸問題分為平面應(yīng)變問題和軸對稱問題，其中重點介紹Hertz 彈性接觸模型[6]，并分析模型中各個假設(shè)對于簡化問題的作用，幫助學(xué)生更好地理解接觸過程及相關(guān)概念。進一步引出考慮彈性體間粘連效應(yīng)的JKR 模型[7-8]，并分析JKR 模型與Hertz 模型的區(qū)別，加深學(xué)生對于粘連效應(yīng)的理解。

再次介紹考慮切向載荷的滑動接觸問題，其中重點介紹滑動模型和滑動條件，推導(dǎo)軸對稱球體發(fā)生局部滑動時接觸面上的應(yīng)力及位移分布形式，并與單一法向載荷作用的情況進行對比，加深學(xué)生對于滑動接觸過程的理解。

最后介紹剛性平表面與可變形隨機粗糙表面間的接觸問題，其中重點介紹Greenwood 和Williamson 提出的GW 模型[9]。通過假設(shè)粗糙表面上微凸體的形狀和分布形式并結(jié)合Hertz 接觸理論，可以預(yù)測出粗糙表面上的真實接觸面積和平均接觸載荷情況，有助于加深學(xué)生對工程實際應(yīng)用中接觸摩擦和接觸磨損等現(xiàn)象的理解。

2 接觸力學(xué)典型例題講解

為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握課程內(nèi)容，授課教師可以適當(dāng)選取一些與知識點對應(yīng)的典型例題進行講解。例如在講解平面應(yīng)變接觸問題時，可以由平面Hertz 彈性接觸問題展開，下面進行簡要介紹。如圖2 所示，兩個軸向相互平行的曲率半徑分別為1和2的圓柱體在載荷作用下在豎直方向上發(fā)生無摩擦接觸，接觸面寬度為2 。以接觸面中心為原點、圓柱體軸向為方向、下壓方向為方向建立空間直角坐標(biāo)系。由于圓柱體在y 方向上的尺寸遠大于方向上的尺寸，在后續(xù)分析過程中可以采用平面應(yīng)變假設(shè)。

假設(shè)剛發(fā)生接觸時兩個圓柱體表面上對應(yīng)點之間的距離為（隨坐標(biāo)變化而變化），在接觸過程中兩圓柱體內(nèi)遠處的點1和2平行于軸發(fā)生的相對位移為，則在接觸面內(nèi)兩圓柱體表面對應(yīng)點由于載荷作用而發(fā)生平行于方向的相對位移為

講授完典型例題后，授課教師可進一步提出一些可以促進學(xué)生思考的問題。比如在沖壓加工過程中，如何通過沖頭表面形狀設(shè)計使得接觸面上的法向分布載荷更為均勻，以延長沖頭使用壽命？另外，能否通過設(shè)計使得接觸面上的法向分布載荷更為集中，讓安全錘破窗過程更為省力？通過這種問題驅(qū)動的方式，引發(fā)學(xué)生對工程應(yīng)用的思考，加深其對理論知識的理解。

3 接觸力學(xué)工程案例應(yīng)用

有許多工程案例與接觸力學(xué)知識直接相關(guān)，授課教師可以尋找教學(xué)與工程案例之間的聯(lián)系，將其引入課堂，進一步確立學(xué)生在教學(xué)過程中的主體地位，鍛煉學(xué)生分析問題、解決問題的能力。根據(jù)課時安排，授課教師可以將學(xué)生分為多個小組，依照學(xué)生自己的興趣選取研究內(nèi)容和研究方向，并定期組織研討匯報，從而激發(fā)學(xué)生的探索欲和主觀能動性，使得學(xué)生在應(yīng)用過程中鞏固知識體系、深化力學(xué)分析思想、提升綜合素質(zhì)。工程案例的內(nèi)容可以從以下幾個方面選?。孩佥喬ヅc路面間的接觸問題與優(yōu)化策略；②滾動軸承中滾動體與滾道之間的接觸問題與優(yōu)化策略；③硬度測試中壓頭與被測材料間的接觸問題與優(yōu)化策略。下面對各部分內(nèi)容進行具體介紹。

3.1 輪胎與路面間的接觸問題與優(yōu)化策略

輪胎與路面間的接觸問題在汽車工程中具有重要意義，直接關(guān)系到車輛的燃油效率、耐久性和舒適性等指標(biāo)。學(xué)生可以應(yīng)用接觸力學(xué)和摩擦學(xué)等理論，建立描述輪胎與路面間接觸的力學(xué)理論模型或有限元模型，并分析不同的輪胎結(jié)構(gòu)、地面狀態(tài)、胎壓、負載和速度等因素對于輪胎接觸面形狀、接觸應(yīng)力分布、磨損效率的影響，從而優(yōu)化輪胎結(jié)構(gòu)參數(shù)、明確服役工況，提升車輛性能（圖3a，p61）。

首先，使用CAD 軟件建立輪胎和路面的幾何模型，輪胎模型應(yīng)包括輪胎胎體、輪轂等結(jié)構(gòu)。之后為輪胎的各個部分賦予合適的材料模型，如橡膠材料可以采用彈性或超彈性材料本構(gòu)模型（如Mooney-Rivlin、Neo-Hookean 模型），鋼材料使用彈性模型，并根據(jù)其他文獻資料或工程經(jīng)驗設(shè)定相應(yīng)的彈性模量、泊松比等材料參數(shù)。其次，設(shè)定輪胎的邊界條件，如輪轂部分的固定約束；定義輪胎和路面之間的接觸關(guān)系、接觸面屬性（如摩擦系數(shù)、接觸剛度）和接觸求解算法（如罰函數(shù)法、拉格朗日乘子法）；施加服役工況下的載荷，包括壓力、剪切力和彎扭矩等。最后，對幾何模型進行網(wǎng)格劃分，確保網(wǎng)格質(zhì)量，特別是在輪胎接觸區(qū)域要有足夠精細的網(wǎng)格。經(jīng)求解計算后，導(dǎo)出輪胎在不同載荷和工況下的接觸面形狀、接觸面積、接觸應(yīng)力分布等結(jié)果，并給出相應(yīng)的優(yōu)化策略：①考慮優(yōu)化胎面花紋形狀和深度，以改善接觸應(yīng)力分布，增加接觸面積，減少局部高應(yīng)力區(qū)域；②選擇耐磨、耐疲勞的橡膠材料，提高輪胎的使用壽命；③保持合適的胎壓，確保輪胎接觸面形狀合理，接觸應(yīng)力分布均勻，減少過高或過低胎壓引起的異常磨損。

3.2 滾動軸承中滾動體與滾道之間的接觸問題與優(yōu)化策略

軸承是在機械傳動過程中用于支撐機械旋轉(zhuǎn)體以降低轉(zhuǎn)動過程中摩擦系數(shù)的部件。滾動軸承的性能和使用壽命依賴于內(nèi)部滾動體與滾道之間的接觸行為。學(xué)生可以應(yīng)用接觸力學(xué)和摩擦學(xué)等理論，建立描述滾動體與滾道間接觸的理論模型或有限元模型，分析滾動體力學(xué)參數(shù)、負載、運轉(zhuǎn)速度和潤滑程度等因素對滾道接觸面上接觸應(yīng)力分布、疲勞壽命和傳動損耗的影響，從而提出合理的軸承結(jié)構(gòu)設(shè)計和潤滑方案以提高軸承運行效率、延長使用壽命（圖3b）。

首先，使用CAD 軟件建立滾動軸承的幾何模型，包括內(nèi)圈、外圈和滾動體。之后為滾動軸承的各個部分賦予合適的材料模型，如內(nèi)圈和外圈通常采用高強度鋼，滾動體材料選擇高硬度鋼。其次，設(shè)定軸承的邊界條件，如固定軸承內(nèi)圈或外圈的一部分以模擬實際工作中的固定支撐；定義滾動體與滾道之間的接觸關(guān)系、接觸面屬性和接觸求解算法；施加服役工況下的載荷，包括軸向載荷、徑向載荷和可能的彎扭力矩。最后，對幾何模型進行網(wǎng)格劃分。經(jīng)計算求解后導(dǎo)出滾動軸承在不同載荷、運轉(zhuǎn)速度和潤滑條件下的接觸應(yīng)力分布、摩擦力分布等結(jié)果，并給出相應(yīng)的優(yōu)化策略：①優(yōu)化滾動體的形狀（如球形、圓柱形）和尺寸，以改善接觸應(yīng)力分布，減少局部高應(yīng)力區(qū)域；②優(yōu)化滾道的曲率半徑和表面粗糙度，以提高接觸面的負載能力和耐磨性；③采用合適的潤滑方式（如滴油潤滑），確保潤滑劑能夠充分覆蓋接觸面，降低接觸摩擦系數(shù)，提高軸承效率。

3.3 硬度測試中壓頭與被測材料間的接觸問題與優(yōu)化策略

硬度是一種描述材料抵抗變形、壓痕或劃痕能力的指標(biāo)，已被廣泛應(yīng)用于評估不同金屬、陶瓷、塑料等材料的機械性能。學(xué)生可以通過硬度測試實驗，分析不同類型壓頭在測量相同材料時的壓痕尺寸和形狀，建立不同壓痕實驗測量硬度值之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，提出硬度測試改進方法以提升測試結(jié)果的可靠性（圖3c）。

首先，使用CAD 軟件建立壓頭和被測材料的幾何模型，其中常見的壓頭包括維氏四棱錐壓頭、布氏球形壓頭和洛氏圓錐壓頭。之后為壓頭和被測材料設(shè)置合適的材料模型，如壓頭使用線彈性模型，被測材料使用彈塑性模型。其次，設(shè)定壓頭和被測材料的邊界條件，定義壓頭和被測材料之間的接觸關(guān)系、接觸面屬性和接觸求解算法；施加接觸過程中壓頭上的壓入力。最后，對幾何模型進行網(wǎng)格劃分。經(jīng)求解計算后導(dǎo)出不同類型壓頭接觸區(qū)域內(nèi)的壓痕尺寸、壓痕深度和接觸壓力分布等結(jié)果，并進行對比分析，通過數(shù)值擬合和回歸的方法建立各硬度值之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。還可以進一步考慮新型壓頭的設(shè)計方案，并優(yōu)化其幾何形狀和材料，以減少壓痕尺寸誤差，提高測試精度。

4 結(jié)語

在固體力學(xué)導(dǎo)論課程教學(xué)中，教師需要深入淺出，從基本研究思想出發(fā)，系統(tǒng)而翔實地描述固體力學(xué)問題的物理背景和物理過程，同時結(jié)合工程案例，為學(xué)生介紹固體力學(xué)知識的應(yīng)用方法。本文以固體力學(xué)課程中接觸力學(xué)部分的教學(xué)為例，介紹了工程導(dǎo)向型教學(xué)方法的具體應(yīng)用，通過基本概念介紹、典型例題講解和工程案例應(yīng)用“三步走”的方法提高學(xué)生的課堂參與度，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，為未來更加深入的研究奠定基礎(chǔ)。希望本文提出的工程導(dǎo)向型教學(xué)方法可為其他工科專業(yè)課程的教學(xué)起到參考作用，幫助學(xué)生更好地理解知識、掌握知識和應(yīng)用知識。

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