巧設(shè)鋪墊題，促進(jìn)學(xué)生思維拾級(jí)而上

［摘 要］人教版教材中的某些單元練習(xí)題后標(biāo)著“？”的問(wèn)題為該單元的拓展練習(xí)題，旨在拓展知識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題能力，教師應(yīng)挖掘這些題目的教學(xué)潛力。文章以“百僧百饃”問(wèn)題為例，分析學(xué)生解題過(guò)程，了解學(xué)生思維水平，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)鋪墊題讓學(xué)生獨(dú)立解決，以提高解題能力，掌握解題模型。

［關(guān)鍵詞］“百僧百饃”問(wèn)題；鋪墊題；百僧百饃

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2025）11-0056-03

一、研究背景

人教版教材四年級(jí)下冊(cè)“雞兔同籠”的課后練習(xí)中編排了一道標(biāo)記有“？”的“百僧百饃”問(wèn)題：“100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭。大和尚一人吃3個(gè)，小和尚3人吃一個(gè)。大、小和尚各多少人？”

筆者在學(xué)生解決“百僧百饃”問(wèn)題之前設(shè)計(jì)鋪墊題，希望能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

二、研究路徑

本研究選取了一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校中四年級(jí)兩個(gè)班級(jí)，共計(jì)82名學(xué)業(yè)水平相當(dāng)?shù)膶W(xué)生作為測(cè)試對(duì)象。

研究過(guò)程分為七個(gè)步驟。

①對(duì)學(xué)生進(jìn)行初次“百僧百饃”問(wèn)題測(cè)試。

②分析測(cè)試結(jié)果，探究學(xué)生的解題思路和遇到的難點(diǎn)。

③依據(jù)分析，并結(jié)合題目的特性，設(shè)計(jì)一組相應(yīng)的鋪墊題。

④學(xué)生獨(dú)立完成鋪墊題。

⑤對(duì)學(xué)生進(jìn)行第二次測(cè)試，包括“百僧百饃”問(wèn)題以及相應(yīng)的變式題。

⑥三個(gè)月后（即五年級(jí)開(kāi)學(xué)初），對(duì)學(xué)生進(jìn)行第三次測(cè)試。

⑦進(jìn)行分析研究，并得出研究結(jié)論。

三、教學(xué)實(shí)踐

（一）第一次測(cè)試結(jié)果及分析

“百僧百饃”問(wèn)題出自明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》，它要求學(xué)生在未學(xué)習(xí)列方程等方法前，辨識(shí)此類型問(wèn)題與“雞兔同籠”問(wèn)題的不同，運(yùn)用“整體分組”等策略來(lái)解決。

在參與測(cè)試的82名四年級(jí)學(xué)生中，有17人能正確求解，約占總?cè)藬?shù)的20.73%，而約79.27%的學(xué)生未能正確解答。在初次測(cè)試中，能夠正確解答的學(xué)生采用了列表法和分組法，而在未能正確求解的學(xué)生中，雖有部分學(xué)生也使用了分組法，但在應(yīng)用過(guò)程中遇到了問(wèn)題。盡管有學(xué)生嘗試使用假設(shè)法，但結(jié)果并不正確。具體情況如下。

學(xué)生在掌握“雞兔同籠”問(wèn)題的求解方法后，會(huì)嘗試用列表法求解“百僧百饃”問(wèn)題，并得出正確答案。

使用假設(shè)法時(shí)，需要利用大和尚比小和尚多吃的饅頭數(shù)進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)?-1/3=22/3（個(gè)），每個(gè)大和尚比每個(gè)小和尚多吃的饅頭數(shù)是2/23個(gè)，不是整數(shù)個(gè)，而學(xué)生在分?jǐn)?shù)的計(jì)算方面存在困難，常常不知道如何繼續(xù)。

大約一半的學(xué)生想到了將大和尚和小和尚捆綁分組的策略。部分學(xué)生將1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚分為一組，從而求出正確答案。但學(xué)生遇到了以下問(wèn)題：一是混淆捆綁對(duì)象，比如將1個(gè)大和尚、3個(gè)小和尚和4個(gè)饅頭捆綁為一組，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤；二是即使分為了25組，也不清楚每組中大和尚和小和尚的數(shù)量，無(wú)法區(qū)分兩者。這表明他們還不能熟練使用分組整體法來(lái)解決問(wèn)題。

（二）設(shè)計(jì)鋪墊題

為幫助學(xué)生解決難題、理解題意并突破難點(diǎn)，筆者根據(jù)學(xué)生的解題過(guò)程和“百僧百饃”問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了輔助教學(xué)的鋪墊題。

1.破解假設(shè)法難點(diǎn)的鋪墊題

學(xué)生在利用假設(shè)法求解“百僧百饃”問(wèn)題時(shí)，會(huì)遷移“雞兔同籠”問(wèn)題的解題思路，把小和尚看成大和尚，但每個(gè)大和尚比每個(gè)小和尚多吃[223]個(gè)饅頭，學(xué)生還未掌握分?jǐn)?shù)加減法，更別提分?jǐn)?shù)除法了。因此，筆者設(shè)計(jì)了假設(shè)法的鋪墊題幫助學(xué)生破解難點(diǎn)。

【教學(xué)片段一】假設(shè)法的鋪墊題

問(wèn)題：觀察圖形，填一填（如圖1）。

分析：把一個(gè)饅頭平均分成3份，3個(gè)饅頭就是9份，100個(gè)饅頭就是300份，每把一個(gè)小和尚看成大和尚就多吃8份饅頭，這樣就可以把分?jǐn)?shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成整數(shù)問(wèn)題，再用假設(shè)法解題就簡(jiǎn)單多了。

2.破解整體法難點(diǎn)的鋪墊題

四年級(jí)學(xué)生已經(jīng)通過(guò)一些例子接觸過(guò)整體法，例如已知三個(gè)數(shù)的總和與其中兩個(gè)數(shù)的和，求第三個(gè)數(shù)，以及捆綁銷(xiāo)售問(wèn)題、行程問(wèn)題中的相遇問(wèn)題等。盡管如此，學(xué)生對(duì)用整體法解決問(wèn)題的理解仍不夠。例如在“百僧百饃”問(wèn)題中，學(xué)生往往只考慮假設(shè)法，而忽略整體分組法。為此，筆者設(shè)計(jì)了鋪墊題，以幫助學(xué)生更好地理解和運(yùn)用整體思想來(lái)解決問(wèn)題。

【教學(xué)片段二】整體法的鋪墊題1

問(wèn)題：籠子里有雞和兔，共有96只腳，已知雞和兔的數(shù)量相等，那么雞和兔各有多少只？

分析：鋪墊題中有雞和兔腳的總數(shù)、雞的數(shù)量等于兔的數(shù)量等條件，沒(méi)有給出雞和兔的總數(shù)?？吹竭@樣的條件，學(xué)生很可能會(huì)放棄假設(shè)法，而將1只雞和1只兔捆綁成一組，每組中雞的腳有2只、兔的腳有4只，共計(jì)6只腳。接著，用腳的總數(shù)除以每組的腳數(shù)，96÷6=16（組），得出共有16組。由于每組中只有1只雞和1只兔，因此可以得出籠子里有16只雞和16只兔。通過(guò)這個(gè)鋪墊題，學(xué)生能夠回憶起運(yùn)用整體思想去思考和解決問(wèn)題的方法，從而擺脫假設(shè)法的固有思維模式。

用整體法求解“百僧百饃”問(wèn)題時(shí)，由于數(shù)據(jù)量大且復(fù)雜，學(xué)生又沒(méi)有生活經(jīng)驗(yàn)，所以易混淆。為此，筆者又設(shè)計(jì)了另一道鋪墊題，立足現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生理解如何將事物視為整體進(jìn)行分組，以便清晰解題。

【教學(xué)片段三】整體法的鋪墊題2

問(wèn)題：一家早餐店里每個(gè)菜包1元，每個(gè)肉包3元。一天，店里接到一筆訂單，按每3個(gè)菜包和1個(gè)肉包裝成一份進(jìn)行配制，一共預(yù)訂100個(gè)包子，這100個(gè)包子一共要多少錢(qián)？

分析：根據(jù)題意，將3個(gè)菜包和1個(gè)肉包裝成一份，即3個(gè)菜包加上1個(gè)肉包共4個(gè)包子構(gòu)成一組，100÷4=25（組）。每組包含3個(gè)菜包和1個(gè)肉包，共需支付6元，計(jì)算25組的總費(fèi)用，即6×25=150（元），一共要150元。通過(guò)將菜包和肉包捆綁銷(xiāo)售，連通“百僧百饃”問(wèn)題，幫助學(xué)生理解用整體法解決問(wèn)題的思路。

（三）第二次測(cè)試結(jié)果及分析

在學(xué)生獨(dú)立完成上述的鋪墊題后，筆者未進(jìn)行任何形式的講解，直接進(jìn)行了難度較高的第二次測(cè)試，測(cè)試內(nèi)容包括“百僧百饃”問(wèn)題及其變式題。

【教學(xué)片段四】“百僧百饃”問(wèn)題的變式題

問(wèn)題：師傅做大小不同零件，做1個(gè)大零件需要3分鐘，做3個(gè)小零件需要1分鐘，王師傅花了80分鐘，一共做了80個(gè)零件，王師傅做了幾個(gè)大零件、幾個(gè)小零件？

分析：變式題改變了問(wèn)題的情境，但題目類型仍然相同，只要學(xué)生建立起“百僧百饃”問(wèn)題的解題模型，遇到類似問(wèn)題就能靈活解決。

1.計(jì)算正確率顯著提高

正確解答“百僧百饃”問(wèn)題的學(xué)生人數(shù)從首次測(cè)試的17人增加到57人，解題正確率從20.73%顯著提高至69.51%。正確解決變式題的學(xué)生有45人，正確率為54.88%，其中有32人采用了分組法，占正確人數(shù)的71.11%。

2.解題方法趨向多樣

在完成基礎(chǔ)題目之后，使用列表法、整體分組法和假設(shè)法的學(xué)生均能正確解答。此外，還有部分學(xué)生采用畫(huà)圖法。

3.解題思路逐步明晰

有了鋪墊題的過(guò)渡，學(xué)生在第二次測(cè)試時(shí)比第一次有了更清晰的理解。他們?cè)诿鎸?duì)問(wèn)題時(shí)，不再盲目地嘗試各種方法，而是能夠根據(jù)鋪墊題的提示，有針對(duì)性地選擇解題方法。此外，學(xué)生在解題過(guò)程中也更加注重對(duì)題目信息的理解和分析，能夠準(zhǔn)確地把握問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，避免了因理解偏差而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。

部分學(xué)生第一次測(cè)試時(shí)答錯(cuò)了，而在第二次測(cè)試時(shí)計(jì)算正確，筆者選取兩名學(xué)生的兩次解答過(guò)程進(jìn)行對(duì)比分析。

生1的兩次解答過(guò)程見(jiàn)表1。在第一次測(cè)試中，生1也使用了分組的方法進(jìn)行解答，卻不明白把什么分成一組，把題目中所有出現(xiàn)過(guò)的和隱含的數(shù)據(jù)都加在一起作為一組，眉毛胡子一把抓。經(jīng)過(guò)鋪墊題的提示，在第二次測(cè)試中，生1厘清了應(yīng)該把每個(gè)大和尚吃的3個(gè)饅頭和每3個(gè)小和尚吃的1個(gè)饅頭捆綁為一組。

生2的兩次解答過(guò)程見(jiàn)表2。在第一次測(cè)試中，用分組法將1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚分為1組，算出一共有25組，但是以為25是小和尚的人數(shù)，而小和尚人數(shù)應(yīng)該是3的倍數(shù)，所以想當(dāng)然地直接在算式后面加上數(shù)字“2”得到“27”。在第二次測(cè)試中，生2能很清楚地表達(dá)計(jì)算過(guò)程，理解一共有25組，每組里面有1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚。

（四）第三次測(cè)試結(jié)果及分析

第二次的測(cè)試中，學(xué)生是不是因?yàn)閷?duì)鋪墊題的短時(shí)記憶才正確解答的呢？對(duì)此，筆者選擇了在三個(gè)月后對(duì)學(xué)生進(jìn)行第三次測(cè)試，結(jié)果顯示正確率為60.98%，明顯高于第一次測(cè)試正確率，說(shuō)明學(xué)生腦中已經(jīng)建立起了“百僧百饃”問(wèn)題的解題模型。

四、研究啟示

從教學(xué)實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以從鋪墊題中逐步發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題。

首先，部分學(xué)生的思維模式較為封閉，靈活性有待提高。

通過(guò)上述三次測(cè)試可知，仍有30%-40%的學(xué)生不能正確解決這個(gè)問(wèn)題，究其原因是部分學(xué)生不會(huì)針對(duì)題目的特點(diǎn)靈活選擇合適的方法，思考問(wèn)題時(shí)拘泥于一個(gè)方向，即便看到前方是個(gè)“死胡同”也不回頭，而是想通過(guò)“鑿墻”找到“出路”，未能從多角度探索其他可能的解題途徑。因此，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維靈活性的訓(xùn)練，以培養(yǎng)其發(fā)散思維的能力。

其次，教師應(yīng)深入理解學(xué)生解題思維，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)鋪墊。

測(cè)試顯示，學(xué)生獨(dú)立完成鋪墊題有助于他們解決“百僧百饃”問(wèn)題，提高他們的解題效率。鋪墊題的設(shè)計(jì)應(yīng)基于學(xué)生認(rèn)知水平，教師需要分析學(xué)生的理解程度，識(shí)別解題難點(diǎn)，挑選易于理解的解題策略來(lái)設(shè)計(jì)題目。這樣，學(xué)生能利用已有認(rèn)知逐步掌握新的解題方法。學(xué)生通過(guò)自我解題、思考和反思，能發(fā)現(xiàn)最佳解題路徑，提升解題能力和培養(yǎng)核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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（責(zé)編" " 楊偲培）