“多元”聚合 重構(gòu)運算模型

［摘 要］模型意識的構(gòu)建與發(fā)展對小學生的數(shù)學學習和思維發(fā)展具有重要意義。同分母分數(shù)加、減法上承整數(shù)加、減法和小數(shù)加、減法，下啟異分母分數(shù)加、減法，就內(nèi)容而言并不復雜。教學目標不能簡單定義為理解算理、掌握算法，而應在此基礎上將整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加、減法進行深入勾連，在整體化、結(jié)構(gòu)化教學前提下重構(gòu)運算模型，體現(xiàn)加減運算的一致性，發(fā)展學生的模型意識，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

［關鍵詞］整體化；結(jié)構(gòu)化；一致性；重構(gòu)運算模型

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0052-04

《義務教育數(shù)學課程標準（2022版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，要整體把握教學內(nèi)容之間的關聯(lián)，注重教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學知識體系。同時，《課程標準》還指出，對小學階段“數(shù)與運算”主題，要幫助學生理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)基于計數(shù)單位表達的一致性。整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)都是對有多少個計數(shù)單位的表達，而數(shù)的運算本質(zhì)是計數(shù)單位的分與合?；诖?，筆者以人教版教材五年級下冊第六單元“分數(shù)的加法和減法”中“同分母分數(shù)加、減法”一課為例，談如何從整體化、結(jié)構(gòu)化、一致性等多元視角培養(yǎng)學生的模型意識，重構(gòu)統(tǒng)一的運算模型。

一、運用多元化視角，溝通模型的意義，落實“四能”培養(yǎng)

【教學片段一】

出示教材例1情境圖（如圖1），并給出描述：

【教學策略】

《課程標準》指出，課程目標以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向，進一步強調(diào)使學生獲得數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），發(fā)展運用數(shù)學知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。

由此可以看到，在培養(yǎng)學生的模型意識、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的過程中，需要讓學生獲得“四基”、發(fā)展“四能”。那么，教師關注學生從生活情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決的能力就顯得尤為重要。

因此，筆者在呈現(xiàn)教材情境時沒有直接完整出示條件和問題，而是讓學生在具體情境中以多元化的視角經(jīng)歷尋找信息、分析信息、提出問題、列式計算的過程，從而讓學生理解分數(shù)加減法的意義和整數(shù)加減法的意義相同，為進一步建構(gòu)整數(shù)與分數(shù)加減運算的模型提供意義支撐。整個教學環(huán)節(jié)包括自主探究、交流匯報，使學生豐富了體驗、積累了經(jīng)驗，同時凸顯了整數(shù)與分數(shù)計算教學之間的聯(lián)系，初步構(gòu)建整數(shù)加減法和分數(shù)加減法在意義上的一致性，構(gòu)建在意義支撐下的運算模型。

二、運用多元化表征，詮釋模型的本質(zhì)，落實素養(yǎng)發(fā)展

（一）運用數(shù)、形、義多元結(jié)合，理解算理，豐富模型內(nèi)涵

借助問題清單，運用多元化表征，讓學生在具體的活動中借助圓、正方形、線段等直觀圖揭示同分母分數(shù)加、減法的算理，借助數(shù)形結(jié)合的直觀表達擺脫對形的依賴，用分數(shù)單位來解釋算理，深入理解分數(shù)加減運算模型的本質(zhì)。

對于簡單的同分母分數(shù)加法，教師可以大膽地讓學生展示他們已經(jīng)掌握的方法，將目光聚焦到“為什么這樣算”的算理探究上，給予學生足夠的時間和空間去表達，并借助圓、正方形、線段等直觀圖和說一說、寫一寫等方式，讓學生在多元表征的支撐下理解同分母分數(shù)加、減法的算理，理解運算模型的本質(zhì)。

教學時要緊扣關鍵問題“變與不變”，即“分母為什么不變”“分子相加代表著什么”“同分母分數(shù)相加，相同的是什么”等問題，抽象出“分數(shù)單位相同，只要把分數(shù)單位的個數(shù)相加”這一加法運算的本質(zhì)，讓學生在數(shù)與形的雙重驗證下理解“變與不變”的本質(zhì)含義，實現(xiàn)由形到義，再由義到形的多元互證，從而理解分數(shù)加法的算理，豐富模型的內(nèi)涵。

（二）由模型變式到內(nèi)涵統(tǒng)一，發(fā)展學生的推理意識

從分數(shù)加法到分數(shù)減法，計算模型發(fā)生了一定的形變，但模型的本質(zhì)內(nèi)涵依然是統(tǒng)一的，并沒有發(fā)生根本性的變化。正是基于這一點，筆者在教學同分母分數(shù)減法時并沒有重走教學同分母分數(shù)加法的老路子，而是基于學生已有的認知基礎，讓學生擺脫對形的依賴，借用分數(shù)的意義展開推理，做到“知其然更知其所以然”，有效發(fā)展推理意識。

三、運用多元化表達，解 “形”立“義”，重構(gòu)運算模型

【教學片段三】

（一）整合模型，聯(lián)系整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加減運算

在以往的教學中，教師建立模型后就讓學生應用模型解決問題，忽視了重要的一步——將同類模型進行整合，從整體化、結(jié)構(gòu)化、一致性等多元視角對模型進行再認識，再建構(gòu)。對比教材中呈現(xiàn)的整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減法的探究過程，可以發(fā)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)以及分數(shù)加減法的算理都是基于計數(shù)單位和個數(shù)建立的，不同的是它們在計算模型上有著很大的差別。教師需要從運算的一致性角度對運算模型進行結(jié)構(gòu)化整合，促使學生通過多元化視角對多個不同模型進行全面理解，從而構(gòu)建一個統(tǒng)一的加減運算模型，解決學生認知上的難點。

在所有的加減運算中，分數(shù)加減法尤為特殊，因為它不像整數(shù)、小數(shù)那樣有統(tǒng)一的豎式模型。除了分數(shù)的特殊表現(xiàn)形式，造成這一情況的原因還在于分數(shù)的計數(shù)單位不像整數(shù)與小數(shù)那樣有統(tǒng)一的“十進制”體系，使得分數(shù)不容易建立與整數(shù)、小數(shù)相同的豎式計算方式。但這并不妨礙學生通過自己的理解在一定的范圍內(nèi)建立分數(shù)加減法的豎式計算模型，并構(gòu)建分數(shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法之間的聯(lián)系。

（二）構(gòu)建分數(shù)加減法豎式，達成“形”的一致性

從整數(shù)到小數(shù)，加減法運算都有統(tǒng)一的豎式，分數(shù)加減法卻沒有豎式，這是為什么？筆者猜想學生的心中也會有同樣的困惑。本著從學情出發(fā)的原則，筆者在教學中讓學生嘗試著列一列分數(shù)加減法豎式，沒想到學生還真列出來了，他們將原有的分數(shù)進行轉(zhuǎn)動、調(diào)整、補充，形成了與整數(shù)、小數(shù)加減法相統(tǒng)一的豎式計算模型（如圖6）。

這樣一個小小的形狀改變就能將分數(shù)豎式清晰地表達出來。此時教師只需將分數(shù)豎式與整數(shù)、小數(shù)豎式進行對比整合，借助多元化視角明確分數(shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法的相同點與不同點，從而直觀地從“形”上統(tǒng)一分數(shù)、整數(shù)、小數(shù)的加減法，構(gòu)建加減運算在形上的一致性。

（三）借助豎式對比關聯(lián)，構(gòu)建“義”的一致性

有了分數(shù)豎式的加持，學生就有了具體直觀的對比參照物。通過對比不難發(fā)現(xiàn)，“3+1”就是分數(shù)單位個數(shù)的相加，而[18]是計數(shù)單位，就像整數(shù)與小數(shù)中的個、十、百、千、十分之一、百分之一等計數(shù)單位一樣。因為計數(shù)單位不變，所以分母中的“8”不需要改變，如此便完成了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)加減法在意義上的統(tǒng)一，即相同計數(shù)單位個數(shù)的累加或相減。從本質(zhì)意義上理解并構(gòu)建加減運算的一致性，為學生后續(xù)學習異分母分數(shù)加減法等知識積累了學習經(jīng)驗，構(gòu)建了基本模型支撐，真正實現(xiàn)教學內(nèi)容的整體化、結(jié)構(gòu)化，在多元化視角的融合下幫助學生建立體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化、多元化數(shù)學知識體系。

總之，從最初的建立整數(shù)加減運算模型到小數(shù)加減運算的模型拓展變式，再到同分母分數(shù)加減運算時的模型突變，在整個加減運算的過程中完成了建模、變模、破模的一系列模型構(gòu)建過程。特別是本課通過溝通整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)加減運算之間的關系，將整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)加減運算模型從“形”與“義”兩個方面進行了整體化、結(jié)構(gòu)化的統(tǒng)一構(gòu)建，幫助學生深入理解了加減運算模型的意義，體現(xiàn)了計算教學的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化和一致性。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 查云全.“雙減”背景下小學數(shù)學落實核心素養(yǎng)有效性作業(yè)設計[J].云南教育（小學教師），2023（9）：39-40.

[2] 劉青燕.“雙減”背景下小學數(shù)學體驗式“小作業(yè)”設計[J].新課程研究，2023（22）：85-87，91.

[3] 趙莉.小學數(shù)學數(shù)的概念一致性與運算一致性研究[D].長春：東北師范大學，2023.

[4] 潘曉杰，姜麗麗.計算教學引導學生理解算理的必要性[J].內(nèi)蒙古教育，2023（6）：57-63.

（責編 楊偲培）